Amaliy topshiriqlarni bajarish uchun zarur ma’lumotlar Asosiy belgilashlar. Silvestr kriteriylari

1-teorema. Faraz qilaylik, funksiya chegaralangan va yopik to’plamda aniklangan hamda quyidan(yuqoridan) yarim uzluksiz bo’lsin. U xolda funksiya to’plamda quyidan(yuqoridan) chegaralangan va minimum (maksimum)ni topish haqidagi (1) masalaning yechimlari to’plami

bo’sh bo’lmagan chegaralangan va yopiq to’plam bo’ladi.
Teoremada aytilgan quyidan(yuqoridan) yarim uzluksiz funksiya tushunchasini eslatib o’tamiz.
5-ta’rif. Agar nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma- ketlik uchun, munosabat o’rinli bo’lsa, funksiya nuktada quyidan(yuqoridan) yarim uzluksiz deyiladi.
Agar funksiya to’plamning xar bir nuqtasida quyidan
(yuqoridan) yarim uzluksiz bo’lsa,u to’plamda quyidan(yuqoridan)yarim uzluk-
siz deyiladi.
Agar funksiya uzluksiz bo’lsa, u ham quyidan, ham yuqoridan yarim uzluksiz bo’ladi.
to’plam chegaralanmagan xolda, Veyershtrass teoremasining quyidagi modifikasiyasidan foydalanish mumkin .
2-teorema. Faraz qilaylik, funksiya bo’sh bo’lmagan yopiq to’p-
lamda quyidan(yuqoridan) yarim uzluksiz bo’lsin .U holda , agar biror
uchun,
(5)
to’plam, bo’sh bo’lmagan va chegaralangan to’plam bo’lsa, 1-teoremaning tasdiq-
lari o’z kuchida qoladi.
4 – chizma. 5 – chizma.
Misollar.1)
Bu masalaning reja-
lar to’plami chegaralangan va yopiq to’plamdir (u 4-chizmada OABC to’rtburchak-
dan iborat). Shuning uchun, 1-teoremaga asosan,masalaning yechimi mavjud.
2) .Bumasalaning rejalar to’plami chegaralanmagan
yopiq to’plamdir(5-chizma).

to’plamni quramiz. to’plam chegaralangan. 2-teoremaga asosan, masala-
ning yechimi mavjud.
3)
Bu masalaning rejalar to’plami
.
c=20 ga mos keluvchi M(20) to’plamni quramiz:

ya’ni M(20) chegaralangan yopiq to’plamdir.Demak, 2-teoremaga asosan, beril-
gan masalaning yechimi mavjud.
f(x) funksiyaning sath to’plamlari deb ataluvchi, (5) ko’rinishdagi to’p-
lamlarning chegaralanganligini tekshirishda, quyidagi lemmadan foydalanish mumkin.
Lemma. Agar ixtiyoriy uchun bo’lsa,har bir uchun (5) sath to’plami(agar u bo’sh bo’lmasa) chegaralangan bo’ladi.
Misol. funksiyaning sath to’plami bo’sh emas ( nuqta shu to’plamga tegishli). ya’ni bo’lgani uchun, lemmaga asosan, to’plam chegaralangandir.Demak, 2-teoremaga asosan, masalaning yechimi mavjud.
Adabiyotlar: [1],II- bob, 1- §,[2],III-bob, 1- §.
5.Mashqlar.
1)Quyidagi funksiyalar uchun vektor va matrisani hisoblang hamda matrisaning ishorasini tekshiring:
2)Quyidagi funksiyalarning berilgan G to’plamda qavariq yoki botiq ekanligini aniqlang.

3) Quyidagi funksiyalar uchun berilganda sath to’plamini tuzing(chizmasi ham yasalsin):

4) Veyershtrass teoremasidan foydalanib, kuyidagi masalalar yechimining mavjudligi isbotlansin: