«Amaliyot ishi» 5330300 – Axborot xavfsizligi

Amaliyot ishini bajarish uchun quyidagi vazifalar qo’yildi :

1. 
   Gomomorfizm teoremalari.
   
2. 
   Tarmoq fayl tizimi.
   
3. 
   Diffi-Xellman algoritmi.
   
4. 
   SQL Serverda funksiyalar va protseduralar.
   

1.1 Normal qism gruppa
G gruppaning avtomorfizmlari gruppasi Aut(G)da bitta maxsus qism gruppa bor. Uni Inn(G) bilan belgilanadi va ichki avtomorfizmlar gruppasi deb ataladi. Quyidagi akslantirishlar bu gruppaning elementlari bo‘ladi:
I_a: g→aga^-1. Bu yerda I_a^-1= I_a-1, I_e – birlik avtomorfizm, I_a + I_b= I_ab , chunki (I_a + I_b)(g)= I_a( I_b (g))= I_a(bgb^-1)=abgb^-1a^-1= abg(ba)^-1= I_ab(g).
So‘nggi tenglik G gruppani uning ichki avtomorfizmlar gruppasi Inn(G) ga akslantiruvchi f(a)=I_a, a G formula bilan aniqlangan akslantirish izomorf akslantirishning f(a) +f(b) = f(a*b) shartini qanoatlantiradi, biroq bunda biyektivlik sharti bajarilmaydi.
Agar G Abel gruppasi bo‘lsa, u holda barcha a G uchun aga^-1=g o‘rinli va demak, I_a= I_e , ya’ni butun Inn(G) gruppa faqat bitta I_e elementdan iborat.
Agar barcha a, b G uchun f(a*b) = f(a) +f(b) o‘rinli bo‘lsa, unda gruppani +> gruppaga akslantiruvchi f:G _xG‘ akslantirish gomomorfizm deb ataladi.
Ker f={g G |f(g)=e^’ – G‘ gruppaning birlik elementi} to‘plam f gomomorfizmning yadrosi deb ataladi.
Gruppani o‘z-o‘ziga gomomorf akslantirish endomorfizm deb ataladi.
A to’plamdagi R binar munosabat refleksiv deyiladi, agar hamma x A lar uchun  x, x R , bo’lsa va irrefleksiv deyiladi hamma x A lar uchun  x, x R bo’lsa. R binar munosabat simmetrik deyiladi, agar  x, y R  y, x R bo’lsa, va antissimmetrik deyiladi, agar  x, y R i  y, x R x  y bo’lsa. R binar munosabat tranzitiv deyiladi, agar  x, y R va  y,z R x,z R. A to’plamdagi refleksiv, tranzitiv va simmetrik munosabat A dagi ekvivalentlik deyiladi. [x] R  x / R y | x, y R to’plam x elementning R ekvivalentlik bo’yicha ekvivalentlik sinfi (qo’shnilik sinfi) deyiladi. A to’plam elementlarining R ekvivalentlik bo’yicha ekvivalentlik sinflari to’plami A ning R bo’yicha faktor-to’plami deyiladi va A/R bilan belgilanadi. Agar A A i I    bo’lib, Ai lar juft-jufti bilan o’zaro kesishmasa, A ga   Ai iI majmuaning tarqatmasi (yoyilmasi) deyiladi. 1-m i s o l. Quyidagi a) refleksiv, simmetrik, tranzitivmas; b) refleksiv, antisimmetrik, tranzitivmas; 17 c) refleksiv, tranzitiv, simmetrikmas; d) antisimmetrik, tranzitiv, refleksivmas binar munosabatlarni tuzing. Yechish. Masalan, a)  x, y | x, yR, x  y 1 ; b)   2  x, y | x, yZ, x  y  x ; c)  x, y | x, yR, x  y ; d)  x, y | x, yR, x  y  0
Gomomorfizmning ta’rifida f akslantirishdan biyektivlik talab qilinmaydi. Lekin shunga qaramay f gomomorfizmning izomorfizmdan asosiy farqi, unda trivial bo‘lmagan Ker f yadroning mavjudligidir.
Agar Ker f={e} bo‘lsa, u holda f:G _x Inn f – izomorfizm bo‘ladi.
= a,b Ker f uchun f(a)=e^’, f(b)=e^’ f(a*b)= f(a) + f(b) =e^’ +e^’=e^’ va f(a^-1 )= f(a)^-1 =(e)^-1 =e^’.
Demak, Ker f yadro G gruppaning qism gruppasi ekan.
Faraz qilaylik, N= Ker f = G bo‘lsin. U holda =h H , g G uchun f(ghg¹)=f(g)f(h)f(g^-1)=f(g)e^’ f(g^-1)= e^’ , ya’ni ghg^-1 H bo‘ladi. Bu degani ghg^-1 =H bunda g ni g^-1 bilan, g^-1 ni g bilan almashtirib, g^-1 hg =H ya’ni, H = ghg^-1 ekanini aniqlaymiz. Demak, = g G uchun H= ghg^-1 . Bu xossa ega bo‘lgan qism gruppa normal qism gruppa deb ataladi.