Amaliyot matritsaning xos son va xos vektorlarni topish

AMALIYOT 5. MATRITSANING XOS SON VA XOS VEKTORLARNI TOPISH.
Ixtiyoriy noldan farqli vektor olamiz va vektorlarni xosil qilamiz.
Keli-Gamilton munosabatini yozamiz:

yoki

vektor tenglama hosil qilinadi. Buni ochib yozaylik
(3)
(3) tenglamalar sistemasini misol uchun Gauss usuli bilan yechamiz va larni topamiz, natijada (2) xos ko’phad qurilgan bo’ladi, so’ng
D()  0
tenglamani yechib ₁, ₂, ..., lar topiladi.
Endi xos vektorlarni topamiz.
larni vektorlar orqali yoyib olamiz
.
quyidagi ko’phadni tuzamiz
.
vektorlarning quyidagi kombinatsiyasini tuzamiz
. (5)
Agar desak, bo’lganligi uchun

bo’ladi. koeffistientlar esa

rekurrent formula yordamida topiladi.
Agar (3) tenglamalar sistemasini yechishda Gauss usulini to’\ri yo’lini ta qadami bajarilsa, u holda vektorlar chiziqli erklidir. Shuning uchun (3) tenglamalar o’rniga quyidagi

tenglamalar sistemasini yechib lar topiladi va tenglamadan larni topamiz.
ko’phad matritsaning minimal ko’phadi deyiladi.
Xos vektor esa quyidagicha topiladi
,
bu erda

Misol 1.

matritsaning xarakteristik ko’phadi topilsin.
Yechish. deb olamiz. U xolda

Endi (3) tenglamalarni yozamiz



Misol 2.

matritsaning xos son sonlari va xos vektorlari topilsin.
Yechish. deb

larni hosil qilamiz va (3) sistemani yozamiz
.
Bu sistemani yechishda Gauss usulining uchinchi qadami bajarilmaydi, chunki 2 va 3-tenglamalar bir xil, demak lar chiziqli bo\liq.
larga bo\liq

sistemani tuzamiz. Bundan bo’ladi.
deb ni topamiz. ni topish uchun, bizga ma’lum

munosabatdan foydalanamiz



Endi xos vektorlarni topamiz:

,

ni topish uchun vektorni boshqacha tanlash kerak.

Danilevskiy usuli

Berilgan matritsa o’xshash almashtirish yordamida Frobenius

normal ko’rinishiga keltiriladi. Ma’lumki, matritsaning xarakteristik ko’phadi bo’ladi [1].

hosil qilinadi, so’ng hosil bo’ladi.
Har qadamdagi o’ngdan va chapdan ko’paytiriladigan matritsalarni ko’rinishini yozamiz
,
,
,

va hokazo. Natijada matritsa Frobenius normal ko’rinishiga keladi.
.
Danilevskiy usulida xos vektor quyidagicha topiladi:

bu erda

bo’lib, u matritsaning xos vektoridir.
Danilevskiy usulidagi noregulyar hol. Danilevskiy usulining qadami bajarilgan bo’lsin va ⁾ matritsa­ning elementi nolga teng bo’lsin. Navbatdagi qadamni odatdagidek bajarib bo’lmaydi. Bunda agar matritsaning elementidan hamda, masalan, element bo’lsa, ustunni ustun bilan almashtiramiz va xuddi shu nomerli satrlarni almashtirib yozamiz. Bunday almashtirishdan so’ng odatdagidek Danilevskiy usulini davom etdiramiz. Faraz qilaylik,

bo’lsin. U holda quyidagicha ko’rinishga ega bo’ladi
.
Bu erda Frobenius normal formasiga ega bo’lgan tartibli kvadrat matritsadir. esa tartibli kvadrat matritsa bo’lib, uni odatdagidek Danilevskiy usuli bilan Frobenius normal ko’rinishga keltirish mumkin.
Misol. Matritsaning xos son va xos vektorlari topilsin.

Yechish.



A⁽¹⁾ matritsada shuning uchun A⁽¹⁾ matritsaning 1- va 2-ustunlarini, so’ng 1- va 2-satrlarni almashtirib yozamiz. Bu amallarni bajarish matritsasini keltiramiz:
.
Natijada quyidagini hosil qilamiz:
.
Endi A⁽²⁾ ni topamiz, buning uchun larni yozamiz
, ,
.
Nihoyat,
, ,
.
Demak,
.
ni yechib, ekanligini topamiz.
va

bo’lib, A⁽¹⁾ matritsaning 1- va 2-ustunlarini almashtirish matritsasidir.
Shunday qilib
Shu yo’l bilan

topiladi.
Misollar.
Xos son va xos vektorni Krilov va Danilevskiy usullari bian toping.