Amonova maftunaning “Matematika va uni o’qitish metodikasi”

Masala: Xodimga haftaning ixtiyoriy ikki kunini dam olish uchun tanlash imkoni berildi. Xodim dam olish kunlarini necha usulda tanlashi mumkin?
Yechish: Hafta kunlarini n=7 elementli {1,2,3, … ,7 } to‘plam singari qarasak, dam olish kunlari {1,2}, {1,3}, {2,4},… kabi juftliklardan iborat bo‘ladi. Bunda {i,j} va {j,i} bitta variantni ifodalaydi. Demak, dam olish kunlarini tanlash n=7 elementdan k=2 tadan kombinatsiyalarni tashkil etadi va shu sababli ularning soni

bo‘ladi.

Berilgan n ta elеmеntdan k tadan o‘rinlashtirish soni kabi belgilanadi va uning qiymati quyidagi formula bilan hisoblanishini isbotlash mumkin:

(6)
formula bilan hisoblanadi.
Masalan, {a,b,c} to‘plamdan n=3 ta elementdan k=2 tadan o‘rinlashtirishlar {а;b},{а;с},{b;с},{b;а},{с;а},{с;b} bo‘lib, ularning soni
.
Masala: Talaba 4 ta fan bo‘yicha qo‘shimcha tayyorlanish uchun ularning har biriga haftaning bir kunini ajratmoqchi bo‘ldi. Talaba hafta kunlarini fanlarga necha usulda taqsimlashi mumkin?
Yechish: Talabani I-IV fanlar uchun haftaning tanlagan kunlariini k=4 ta elementli X={x₁, x₂, x₃, x₄} to‘plam, hafta kunlarini esa n=7 elementdan iborat H={1,2,3, … ,7 } to‘plam singari qaraymiz. Bu holda XH bo‘lib, uni hosil etish n=7 ta elementdan k=4 tadan o‘rinlashtirishlarga mos keladi, chunki bunda elementlarning joylashish tartibi ham ahamiyatga ega. Masalan, {2,4,6,7} taqsimotda I fanga dushanba (2), II fanga chorshanba (4), III fanga juma (6) va IV fanga shanba(7) kunlari ajratilgan bo‘ladi. Unda {4,2,6,7}, {6,4,2,7} kabilar turlicha taqsimotlarni ifodalaydi. Demak, talaba fanlarga hafta kunlarini

usulda taqsimlashi mumkin.
Tayanch iboralar

Kombinatorik masala * Kombinatorika * Qo‘shish qoidasi * Ko‘paytirish qoidasi * O‘rin almashtirish * Kombinatsiya * Nyuton binomi * Binomial koeffitsiyent * O‘rinlashtirish .

Takrorlash uchun savollar

Qanday masalalar kombinatorik deyiladi?

Kombinatorika fani nima?
Kombinatorikaning qo‘shish qoidasi qanday ifodalaydi?
Qo‘shish qoidasiga misol kеltiring.
Kombinatorikada ko‘paytirish qoidasi mazmuni nimadan iborat?
Ko‘paytirish qoidasiga misol keltiring.
O‘rinlashtirish dеb nimaga aytiladi?
O‘rinlashtirishlar soni qanday topiladi?
Kombinatsiya ta’rifi qanday ifodalanadi ?
Kombinatsiyalar soni qanday formula bilan hisoblanadi?
Nyuton binomi qanday ko‘rinishda bo‘ladi?
Kombinatorik ayniyatlarga misollar keltiring.
O‘rin almashtirish qanday ta’riflanadi?
O‘rin almashtirishlar soni qanday topiladi?
Test
Qaysi masala kombinatorik bo‘lmaydi?
To‘plam elementlaridan ma’lum sondagi elementli barcha qism to‘plamlar sonini topish;
To‘plam elementlaridan ma’lum sondagi elementlarni tanlab olishlar sonini topish;
To‘plamning ma’lum sondagi bir qism elementlari o‘rnini almashtirishlar sonini topish ;
To‘plamdagi barcha elementlar o‘rnini almashtirishlar sonini topish;
To‘plamning eng katta va eng kichik elementlarini topish.

Kim birinchi bo‘lib kombinatorikani mustaqil fan sifatida o‘rgangan?

A) Dekart; B) Nyuton; C) Kantor; D) Leybnits; E) Paskal.

Agarda  tanlovni n() usulda,  tanlovni esa n() usulda amalga oshirish mumkin bo‘lsa, kombinatorikaning qo‘shish qoidasi qayerda to‘g‘ri ko‘rsatilgan?

A) n ( yoki )= n() + n(); B) n ( va )= n() + n();
C) n ( yoki )= n() +n()–n ( va );
D) n ( yoki )= n() +n()+n ( va ); E) n ( +)= n () + n().
I o‘quv guruhida 20, II o‘quv guruhida esa 25 talaba o‘qiydi. Kengashga ikkala guruhdan bitta talabani vakil sifatida tanlash kerak. Buni necha usulda amalga oshirish mumkin?
A) 20 ; B) 25 ; C) 35 ; D) 45 ; E) aniq ko‘rsatib bo‘lmaydi.

Mahsulotlar partiyasida 20 ta mahsulot bor. Bu partiyadan ikkita mahsulotni necha usulda tanlab olish mumkin?

A) 20 ; B) 40 ; C) 85 ; D) 240 ; E) 380 .

I qutida 8 dona oq , II qutida esa 7 dona qora sharlar bo‘lib, ular nomerlangan. Oq va qora sharlardan iborat juftlikni necha usulda tanlab olish mumkin?

A) 8 ; B) 7 ; C) 15 ; D) 56 ; E) 72 .

Berilgan n ta elementdan k tadan kombinatsiyalar soni qaysi formula bilan topiladi?

A) ; B) ; C) ;
D) ; E) .