Amxm = θ bu yerda θ

Chiziqli bog`liq va chiziqli erkli vektorlar sistemalari

n o`lchovli m ta vektorlardan iborat (*) vektorlar sistemasi berilgan bo`lsin.

a₁x₂ + a₂x₂ + … + a_mx_m = θ (bu yerda θ - n o`lchovli nol vektor) vektor tenglama yoki shuning o`zi m ta noma`lumli n ta chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasini tuzamiz.
a<sub>1</sub>x<sub>2</sub> + a<sub>2</sub>x<sub>2</sub> + … + a<sub>m</sub>x<sub>m</sub>=θ vektor tenglama aniq bo`lib, yagona trivial (nol) yechimga ega bo`lsa, (*) vektorlar sistemasi o`zaro chiziqli bog`lik bo`lmagan yoki chiziqli erkli vektorlar sistemasi deyiladi.
a₁x₂ + a₂x₂ + … + a_mx_m = θ vektor tenglama aniqmas bo`lib, trivial yechimdan tashqari notrivial (nolmas) yechimlarga ham ega bo`lsa, (*) vektorlar sistemasi chiziqli bog`lik sistema deyiladi. Aniqlik uchun nolmas (x<sub>1</sub>; x<sub>2</sub>; …; x<sub>m</sub>) yechimda x<sub>m</sub>≠0 bo`lsin. Unda

a^(m) = a₁ a₂- … a_m-1

munosabat o`rinli bo`lib, (*) vektorlaridan biri qolganlarining chiziqli kombinatsiyasiga teng. Bu esa sistemaning chiziqli bog`liqligini ang-latadi.

Agar vektorlar sistemasi yagona nolmas vektordan tashkil topgan bo`lsa chiziqli erkli; yagona nol vektordan iborat bo`lsa, chiziqli bog`-liqdir. Chiziqli erkli sistemaning har qanday qism osti sistemasi – chi-ziqli erkli, chiziqli bog`liq sistemaning har qanday kengaytirilgan siste-masi esa chiziqli bog`liqdir. Demak, tarkibida nol vektor mavjud har qanday vektorlar sistemasi chiziqli bog`liqdir.
Berilgan sistema vektorlari koordinatalaridan

matritsa tuzamiz.
(*) vektorlar sistemasining chiziqli erkli yoki chiziqli bog`liqligi quyidagi teorema yordamida aniqlanadi.
Teorema. Agar berilgan (*) sistema vektorlari aniqlaydigan A mat-ritsa rangi r sistema vektorlari soni m ga teng bo`lsin, ya`ni r = m, (*) sistema chiziqli erkli, agarda A matritsa rangi r, sistema vektorlari soni m dan kichik, ya`ni r < m bo`lsa, (*) sistema chiziqli bog`liqdir.
Teorema isboti bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining yagona trivial yechimga egaligi va trivial yechimdan tashqari notrivial yechim-larga egaligi haqidagi teorema asosida isbotlanadi va uning shartlari tasdig`ini quyidagi xususiy misollarda tekshirib ko`rish mumkin.
Masalalar.
1) R₂ haqiqiy fazoda (koordinatalar tekisligida) ikki a₁(a₁₁; a₂₁) va a₂(a₁₂; a₂₂) vektorlardan iborat sistema berilgan bo`lsin. Agar vektorlar kollinear bo`lmasa, r(A) = 2 = 2 = m munosabatlar o`rinli va sistema – chiziqli erkli. Agarda vektorlar kollinear bo`lsa, r(A) = 1 < 2 = m munosabatlar o`rinli bo`lib, sistema chiziqli bog`liqdir.
2) R<sub>2</sub> haqiqiy fazoda a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>k</sub> (k ≥ 3) vektorlar berilgan bo`lsin. Ushbu holda r(A) ≤ 2 < k = m munosabatlar o`rinli bo`lib, sistemaning ixtiyoriy vektori qolganlarining chiziqli kombinatsiyasi shaklida tasvirlanishi mumkin. R₂ fazoda 3 ta va undan ortiq vektorlar sistemasi har doim chiziqli bog`liq sistemani tashkil etadi.
3) R<sub>3</sub> haqiqiy fazoda a<sub>1</sub>(a<sub>11</sub>; a<sub>12</sub>; a<sub>13</sub>) va a<sub>2</sub>(a<sub>12</sub>; a<sub>22</sub>; a<sub>32</sub>) vektorlar sistemasi berilgan bo`lsin. Agar vektorlar kollinear bo`lmasa, r(A) = 2 = 2 = m munosabatlar o`rinli va sistema chiziqli erkli. Agarda vektorlar kollinear bo`lsa, r(A) = 1 < 2 = m shartlar bajariladi va sistema chiziqli bog`liqdir.
4) R₃ haqiqiy fazoda a₁, a₂, a₃ vektorlardan iborat sistema berilgan bo`lsin. Agar vektorlar o`zaro komplanar bo`lmasa, r(A) = 3 = 3 = m munosabatlar o`rinli va sistema – chiziqli erkli. Aks holda, r(A) ≤ 2 < 3 = m shartlar o`rinli bo`lib sistema chiziqli bog`liqdir.
5) R<sub>3</sub> haqiqiy fazoda a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>,…, a<sub>k</sub> (k ≥ 4) vektorlar sistemasi uchun r(A) ≤ 3 < k = m munosabatlar o`rinli bo`lib, sistema har doim chiziqli bog`liq. R₃ fazoda kamida to`rtta vektorlardan iborat har qanday sistema chiziqli bog`liqdir va hokazo.
Masala. a₁(2; -1; 3; 0), a₂(8; -9; 1; -4), a₃(-3; 4; 1; 2) vektorlar sistemasining chiziqli erkli yoki chiziqli bog`liqligini aniqlang.
Sistema vektorlari koordinatalaridan matritsa tuzamiz va uning rangini Gauss algoritmi yordamida aniqlaymiz:



r(A) = 2 < 3 = m munosabatlar o`rinli bo`lgani uchun berilgan sistema chiziqli bog`liq sistemani tashkil etadi.