Analitik geometrya

II BOB
MUNTAZAM KO‘PYOQLAR VA ULARNING HAJMLARI

2.1-§. Muntazam ko‘pyoqlar
Ko‘pyoqning barcha yoqlari kongurent muntazam ko‘pburchaklardan iborat bo‘lib, hamma ko‘pyoqli burchaklari ham kongurent bo‘lsa, u muntazam ko‘pyoq deb ataladi. Ravshanki, ko‘pyoqning har bir uchidan kamida uchta yog‘i o‘tganligi uchun yuqoridagi ikkinchi teoremaga asosan shu uchdagi barcha yassi burchaklarning yig‘indisi 4d dan kichikdir. Muntazam ko‘pyoqning yoqlari muntazam uchburchaklardan iborat bo‘lsa uning har bir uchidan uchta yoq o‘tishi (chunki 3*60<4d), to‘rtta yoq o‘tishi (chunki 4*60<4d), beshta yoq o‘tishi (5*60<4d) mumkin. Lekin bir uchdan oltita va undan ko‘p yoq o‘tishi mumkin emas. Demak, yoqlari muntazam uchburchakdan iborat faqatgina uch xil muntazam ko‘pyoq mavjud bo‘lishi mumkin. Bular quyidagilardir:

1. 
   Muntazam to‘rtyoq, odatda muntazam tetraedr deb yuritilib uning 4 ta yog‘i, 4 ta uchi va 6 ta qirrasi bor
   
2. 
   Muntazam sakkizyoq,oktaedr deb atalib, uning 8 ta yog‘i, 6 ta uchi va 12 ta qirrasi bor.
   
3. 
   Muntazam yigirmayoq, ikosaedr deb atalib, uning 20 ta yog‘i, 12 ta uchi va 30 ta qirrasi bor.
   

Endi yoqlari muntazam to‘rtburchakdan, ya‘ni kvadratdan iborat muntazam ko‘pyoqni ko‘raylik. Bunday muntazam ko‘pyoqning har bir uchidan faqat uchta yoq chiqishi mumkin(chunki 3*90<4d). Lekin bir uchdan to‘rtta va undan ortiq yoq chiqishi mumkin emas. Demak yoqlari muntazam to‘rtburchakdan iborat muntazam ko‘pyoq faqat bir tur bo‘lib, kubdan iborat, kubni ba‘zan geksaedr deb yuritiladi. Kub 6 ta yoqqa, 8 ta uchga va 12 ta qirraga ega.
Yoqlari muntazam beshburchaklardan iborat muntazam ko‘pyoqlarning ham turi bittadir. Uni ba‘zan dodekaedr deb atalib, 12 ta yoqdan, 20 ta uchdan va 30 ta qirradan iboratdir.
Demak, muntazam ko‘pyoqning yoqlari faqatgina muntazam uchburchak, muntazam to‘rtburchak, muntazam beshburchaklardangina iborat bo‘lib, ular 5 turga bo‘linadi.
Agar ko‘pyoqning barcha uchlari biror sferada yotsa, u holda bu sfera shu ko‘pyoqqa tashqi chizilgan deyiladi, agar ko‘pyoqning barcha yoqlari biror sferaga urinsa, bu sfera shu ko‘pyoqqa ichki chizilgan deb ataladi.
Muntazam ko‘pyoqlar uchun quyidagi o‘rinli: har qanday muntazam ko‘pyoqqa doimo ichki va tashqi sferalar chizish mumkin.