Analitikaliq geometriya

1.Birinshi tartipli tuwri siziqlar
Aniqlama: Birinshi tartipli siziqlar tegisliktegi algebraliq siziq – bul bazi bir affin koordinatalar kosherinde korinisindegi teńleme menen aniqlanǵan koplik. Bul jerde kópmúyeslik:

sani kópmúyeshliktiń darejesi hám iymek siziqtiń tartibi delinedi. Eger koefficientlerden keminde birewi 0 den parq qilatuǵin bolsa, iymek siziqtin parametrik teńlemesi tomendegi koriniste ańlatiladi:
yamasa
Bunda parametr
Misal 1. sheńberde

Korinisinde ańlatiliwi múmkin.
Tegisliktegi tuwrilar parametrik krinisinde tómendegishe korsetiliwi múmkin:
yamasa
Bul jerde tuwri siziqtiń bazi bir baslanǵish noqatlari, al nolge teń bolmaǵan vektor, ańlatpa, biz siziqtiń kanonik teńlemesin alamiz:

Aniqlama: kanonikaliq teńlemede bazida bolshek bolimleri nolge teńlestiriledi. Soniń menen birge san nolge teń boladi.

Uliwmaliq teńlemesi:

bunda

Demek, har qanday tuwri siziq birinshi tartipli teńleme menen berilgen. Kerisinshe har qanday birinshi tartipli teńleme tuwri siziqti ańlatadi. Haqiyqatinda da teńlemeni koreyik. Maselen bosin. Biz baslanǵish noqat sipatinda qabil etemiz, bul jerde teńlemeden tabiladi.

Baǵitlawshi vector sipatinda ni táńlaymiz. Keyin haqiyqiy teńleme kanonik teńlemege teń boladi

Teorema: Tegisliktegi tuwri siziqlar aniq birinshi tartipli algebraliq siziqlar esaplanadi. Bunnan tisqari eki teńleme
Eger olar proportcional bolsa hám sonday bar bolsa yamasa , korinisinde jaza alamiz.
Dalillew: Birinshi soz joqarida dalillengen zarurligin dalilleyik. Aytayiq teńlemeler birdey tuwri siziqti belgileydi. Biz korsetkenimizdey, oniń baǵitlawshi vektori yamasa
Bul vektorlar kollinear, yaǵniy bar bolip ,
Tuwri siziqtin qalegen noqatin da korip shiǵamiz keyin


Lemma: tuwri siziqqa parallel bolǵan vektorlar oǵan saykes birdey teńleme menen aniqlanadi.
Dalillew: Har qanday vektorlar klassinda tuwriǵa parallel vektori bar bolip, onda eger hám bolsa ol jaǵdayda

Solay etip
,
Kerisinshe eger , bolsa bz vektorin tuwri siziqtaǵi noqattan keyinge qaldiramiz. Keyin basqa ushiniń koordinatalari teńlemesin qanaatlandiradi.


Teorema: teńlemeleri menen berilgen eki tuwri siziq bir noqatta kesilisedi
Eger bolsa
hám parallel boladi (ustpe-ust tusiwi da múmkin),
eger bolsa
Dalilleniwi: Eger olardiń baǵitlawshi vektorlari kollenear bolsa, yaǵniy vektor , vektor ge kollenear bolsa tuwri siziqlar parallel boladi. Bul bolsa

determinantiniń nolge teń ekenligin ańlatadi.
Aniqlama: qandayda bir tuwri siziqtiń teńlemesi bolsin. ushin oniń yarim tegislik teńsizlikti qanaatlandiratuǵin noqatlardiń kopligi sipatinda aniqlanadi. Tap sonday teris yarim tegislik teńsizlik penen aniqlanadi.
Tomendegi natiyje soni korsetedi, bul aniqlama geometriyaliq jaqtan tiykarlanǵan.
Teorema: Eger eki hám noqat te jatsa (saykes turde ) ,onda kesindide (saykes ) da jatadi. Eger hám (yamasa kerisinshe) bolsa, onda kesindi berilgen tuwri siziqti kesip otedi.
Dalillew: , bolsin kesindi noqatlariniń koordinatalari tomendegi koriniske iye:

Keyin

Bunnan tisqari bul qatan oń boladi. Demek eger hám yamasa ke tiyisli bolsa, yaǵniy hám birdey belgige iye hám birdey belgige iye. Eger hám qarama-qarsi belgiler bolsa hám ushin saykes turde ge teń boladi.
Aniqlama: Vektor oń yarim tegislikte tomendegi manisti korsetedi. Eger biz oni bazi bir noqattan tuwri siziqqa qaldiratuǵin bolsaq, onda oniń aqiri boladi. Haqiyqattan da

=

Aniqlama: Fikserlengen noqattan otken tegisliktegi barliq tuwri siziqlar kopligine tuwrilar dastesi deymiz, berilgen fikserlengen noqat dasteniń orayi dep ataladi.
Tegislikte berilgen barliq tuwrilar kopligi prallel tuwrilar bolsa tuwrilar dastesine tiyisli emes delinedi. (Terminalogiya proekcion geometriya menen baylanisli bul jerde parallel tuwrilar tiyisli emes noqatta kesilisedi.)
Teorema: teńlemege iye bolǵan tuwri siziq, bir-birine teń bolmaǵan hám tuwrilar teńlemelerine iye bolsa, eger bul teńlemeler hám tuwrilariniń notrivial siziqli kombinaciyasi bolsa onda: boladi.
Dalilleniwi: Dalep tuwrilar dastesine tiyisli bolǵan jaǵdaydi kóreyik, yaǵniy tuwrisi bul dastege tiyisli, eger bolsa
Zarurliligi: 0tuwrisindaǵi qalegen noqat bolsin. Teńlemeni korip shiǵayiq:

Bul teńleme birinshi darejeden joqari emes. Bunnan tisqari hám ekewi de nolge teń bola almaydi. hám kollenear bolmaǵanliǵi sebepli ge erisemiz.
Solay etip, bul birinshi darejedegi teńleme hám ol tuwri siziqti ańlatadi. hám di ke almastirip, usi siziq olar arqali otiwin aniqlastirip alamiz, yaǵniy tuwrisina tuwri keledi. Daslepki teorema boyinsha usi ańlatpa koriniske iye

Jetkilikliligi: Bizge

berilgen bolsin. Biz tuwrilar dastesine tiyisli bolmaǵan jaǵdydi qaraymiz:

Zarurliligi: tuwrisindaǵi qalegen noqat bolsin. Tomendegi teńlemeni korip shiǵayiq:

Bul teńleme birinshi darejeden joqari emes, bunnan tisqari hám nolge teń bola almaydi. hám kollenear bolǵanliqtan boladi yamasa kerisinshe bul vektor nolge teń bolǵanliqtan hám kollenear boladi.
teńlemede sheshimler bolǵanliǵi sebepli maseleni teńlik den kelip shiǵadi, yaǵniy hám proporcional boladi, demek daslepki teorema boyinsha bizde boladi, bul bolsa shártke keri boladi. Solay etip, bul arqali ótiwshi hám ge parallel bolǵan tuwri siziqti belgileytuǵin birinshi tartipli teńleme. Dalillewdin zarurliligi usi tarzde juwmaqlanadi.
Jetkilikliligi: Bizge berilgen bolsin. Demek vektor hám ge kollenear boladi. Bul tuwri siziqli teńleme bolǵanliǵi ushin bizde boladi. Soniń ushin
Juwmaq: Úsh tuwri bir dastegi tiyisli boladi,
eger bolsa
Aniqlama: Eger bolsa hám normal vektori birlik vektor bolsa tuwriniń normal teńlemesi delinedi.
Eskertiw: Har bir tuwri siziq eki normal teńlemege iye.
Olar teńlemesinen kelip shiǵadi.
Aniqlama: Eger normal teńleme bolsa, onda tuwri siziqtan awisiwi dep ataladi.