Анализ системы линейных уравнений с помощью теоремы кронекера- капелли курсовой работа

1.3 Обобщение

Обобщим знания о системах уравнений с помощью таблицы 1.1.

Таблица 1.1

Понятия Или соотношения	Формула
Общая система линейных алгебраических уравнений
Основная матрица системы
Матрица-столбец свободных членов
Матрица-столбец неизвестных
Матричная форма записи системы
Расширенная матрица системы
Условие совместимости системы
Система имеет единственное решение
Система имеет бесконечное множество решений
Система несовместная
Квадратная система линейных алгебраических уравнений
Квадратная система имеет единственное решение
Квадратная система бесконечное множество решений	,
Квадратна система несовместная	,
Однородная система уравнений
Однородная система имеет только нулевое решение
Однородная система имеет нетривиальные решения
Квадратная однородная система имеет только нулевое решение
Квадратная однородная система имеет нетривиальные решения

Структура общего решения однородной системы ,
- Ф.С. Р.

- произвольные числа; , - число неизвестных.

Структура общего решения неоднородной системы ,

где - некоторое частное решение неоднородной системы, - общее решение соответствующей однородной системы.

1.4 Ответы на теоретические вопросы

1. Теорема Кронекера-Капелли: для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы

2. Система имеет единственное решение, если ранг матрицы этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы и равен количеству неизвестных системы.
3. Система имеет бесконечное множество решений, если ранг матрицы меньше количества неизвестных системы.
. Свободные переменные - те переменные, которые задаются произвольными значениями, а базисные переменные - те, которые выражаются через свободные.
5. Количество базисных переменных равняется рангу матрицы системы.
. Если ранг матрицы равен r, а количество неизвестных равняется n, то система может иметь (n-r) свободных переменных.
. Система называется однородной, если она имеет вид: АХ=0, т.е. все свободные члены равны нулю.
. Решение называется ненулевым, если все переменные одновременно не принимают значение 0.
. Для того, чтобы однородная система имела только тривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся количеству неизвестных системы.
. Для того, чтобы однородная система имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был меньше количества неизвестных системы.
. Максимальное число линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений.
. Однородная система уравнений имеет фундаментальную систему решений, если ранг матрицы системы не равен количеству переменных системы.
. Фундаментальная система решений однородной системы содержит (n-r) решений, где n - число неизвестных системы, r-ранг матрицы системы.
. Однородная система уравнений может иметь от 0 до (n-1) фундаментальных систем решений, где n - число неизвестных системы.
. Если свободным переменным поочередно придавать значения: 1, 0,0…0; 0, 1, 0…0; …; 0, 0, …, 1, то полученная фундаментальная система решений называется нормированной.