Analytical Mechanics This page intentionally left blank

g

w

j

P

2

Fig. 4.6

Applying equations (4.153) we then find

ω

±

=

Ω

2

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

1

2

1 +

Ω

1

Ω

2

2

+

1

µ

±

1

2

⎡

⎣ 1 +

Ω

1

Ω

2

2

−

1

µ

2

+

4

µ

⎤

⎦

1/2

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

1/2

.

What happens in the limiting cases

Ω

1

/

Ω

2

1 and

Ω

1

/

Ω

2

1?

Problem 6

Consider the holonomic system with smooth fixed constraints, and with l degrees

of freedom, associated with the kinetic energy

T =

1

2

˙q

T

S

· q,

where S is a constant symmetric positive definite matrix. Let q = A(s)Q be a

group of linear transformations with A(s) an l

×l matrix, such that A(0) = 1.

(i) How must A(s) be chosen for T to be invariant?

(ii) If there are no active forces, which is the corresponding first integral

(Noether’s theorem)?

(iii) If there exists a potential

U(q), what conditions on its structure must be

imposed to ensure that the transformation is admissible for the Lagrangian?

178

The dynamics of discrete systems. Lagrangian formalism

4.14

Solution

(i) A

T

SA = S. This transformation leaves the Riemannian metric associated

with the kinetic energy invariant. Verify that the matrices with this property

form a group and study the special case l = 2. (Hint: Choose the coordinates

so that S is diagonal and prove that det(A) = 1, A

11

= A

22

. Then A(s) can

be looked for in the form

A(s) =

cos s

c sin s

−c

−1

sin s

cos s

,

obtaining c = (S

22

/S

11

)

1/2

.)

(ii) Since p = S ˙q and

dA

ds

Q

s

=0

= ˙

A(0)q,

the first integral is given by I = ˙q

T

S ˙

A(0)q.

(iii) It must be that

U(A(s)Q) = U(Q). In the particular case that S = k1,

k > 0, then A(s) is a group In this case ˙

A(0) =

Ω

is skew-symmetric and

the first integral takes the form I =

i>j

Ω

ij

(p

i

q

j

− p

j

q

i

).

5 MOTION IN A CENTRAL FIELD

5.1

Orbits in a central field

Consider a point particle of mass m and denote by r the position vector in the

space R

3

. Recall that a central field F(r) of the form

F(r) = f (r)

r

r

,

r =

|r| =

/ 0,

(5.1)

where f : (0, +

∞) → R is a regular function, is conservative (Example 2.2) with

potential energy V (r) =

− f(r) dr. The moment of the field (5.1) with respect

to the centre is zero, yielding conservation of the angular momentum L. The

motion takes place in the plane passing through the origin and orthogonal to

L, namely the plane identified by the initial position vector r

0

and the initial

velocity vector v

0

(note that in the case L = 0, the vectors r

0

and v

0

are

necessarily parallel and the motion takes place along a line).

We now introduce in the orbit plane (which we assume to be the (x, y) plane,

as shown in Fig. 5.1) the polar coordinates

x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ.

(5.2)

The angular momentum of the system, L, can then be identified with the

component L

z

:

L

z

= m(x ˙

y

− y ˙x) = mr

2

˙

ϕ,

(5.3)

and the conservation of L yields that L

z

is constant along the motion. The

conservation of L

z

also yields Kepler’s second law, about the area swept by the

vector r = r(t) in the time interval (0, t):

S(t) =

1

2

ϕ

(t)

ϕ

(0)

r

2

(ϕ) dϕ =

1

2

t

0

r

2

˙

ϕ dτ =

L

z

t

2m

.

(5.4)

T

heorem 5.1 (Kepler’s second law) The areal velocity

˙

S(t) =

L

z

2m

(5.5)

is a constant, and its value is also known as the area constant.

180

Motion in a central field

5.1

y

v

v

0

r

r

0

w

w

0

F

L

O

x

Fig. 5.1

Introduce the radial unit vector e

r

= (cos ϕ, sin ϕ) and the orthogonal unit

vector e

ϕ

= (

− sin ϕ, cos ϕ). The equation of motion

m¨

r = f (r)

r

r

=

−V (r)

r

r

(5.6)

can then be written componentwise as follows:

1

r

d

dt

(r

2

˙

ϕ) = 2 ˙r ˙

ϕ + r ¨

ϕ = 0,

m¨

r

− mr ˙ϕ

2

=

−

dV

dr

,

(5.7)

and the first equation simply expresses the conservation of L

z

.

D

efinition 5.1 The function

V

e

(r) = V (r) +

L

2

z

2mr

2

(5.8)

is called the effective potential energy.

Using V

e

(r) in (5.6), and considering equation (5.3), the equation governing

the radial motion becomes

m¨

r =

−

dV

e

dr

(r).

(5.9)

The total energy E also takes a simple form, given by

E =

1

2

m ˙r

2

+ V (r) =

1

2

m ˙r

2

+ V

e

(r),

(5.10)

5.1

Motion in a central field

181

showing that the problem is equivalent to the one-dimensional motion of a point

particle of mass m under the action of a force field with potential energy equal

to the effective potential V

e

. Note that shifting the term mr ˙

ϕ

2

to the right-hand

side of equation (5.7) is equivalent to writing the equation of motion in the

non-inertial reference system with an axis coinciding with the direction of the

radius r. The effective potential energy is the potential energy computed by such

an observer.

Remark 5.1

It is possible to reach the same conclusion through the use of the Lagrangian

formalism. Indeed, the Lagrangian of a point particle of mass m under the action

of a central field can be written as

L =

m

2

( ˙

x

2

+ ˙

y

2

+ ˙

z

2

)

− V ( x

2

+ y

2

+ z

2

),

(5.11)

and is clearly invariant under the action of rotations around the origin. It follows

from Noether’s theorem (4.4) that the angular momentum L is conserved. If the

motion is in the (x, y) plane and ˙

z

≡ 0, and after introducing polar coordinates

(5.2) the Lagrangian becomes

L =

m

2

( ˙r

2

+ r

2

˙

ϕ

2

)

− V (r).

(5.12)

The coordinate ϕ is cyclic, and hence L

z

= ∂L/∂ ˙

ϕ is constant, and the motion

is reduced to one-dimensional motion with energy (5.10).

If L

z

= 0, the motion is along the half-line ϕ = ϕ(0) and can reach the origin.

It is a solution of the equation m¨

r = f (r) which we discussed in Section 3.1.

Otherwise the polar angle ϕ is a monotonic function of time (increasing if L

z

> 0

and decreasing L

z

< 0). In this case the function ϕ = ϕ(t) is invertible, and hence

the trajectory can be parametrised as a function of the angle ϕ; we then write

dr

dt

= ˙

ϕ

dr

dϕ

=

L

z

mr

2

dr

dϕ

·

(5.13)

It follows from the fact that energy is conserved that the equation for the function

r = r(ϕ) describing the orbit is

dr

dϕ

=

±

mr

2

L

z

2

m

(E

− V

e

(r)).

(5.14)

This equation is called the first form of the orbit equation. The sign in (5.14)

is determined by the initial conditions and equation (5.14) can be integrated by

separation of variables:

ϕ

− ϕ

0

=

±

r

r

0

L

z

m

m

2

dρ

ρ

2

E

− V

e

(ρ)

,

(5.15)

182

Motion in a central field

5.1

where r

0

= r(ϕ

0

). We find then ϕ = ϕ

0

+ ϕ(r), and inverting this expression we

obtain r = r(ϕ).

Remark 5.2

It is possible to have circular motion; by Theorem 5.1 such motion must be

uniform, in correspondence with the values of r which annihilate the right-hand

side of (5.9), and hence of the stationary points of V

e

(r). If r = r

c

is one such

value, equation (5.10) shows that the energy corresponding to the circular motion

is E

c

= V

e

(r

c

). We shall return to this in Section 5.3.

Example 5.1: the harmonic potential

Let

V (r) =

1

2

mω

2

r

2

(5.16)

(motion in an elastic field).

The effective potential corresponding to it is given by

V

e

(r) =

L

2

z

2mr

2

+

1

2

mω

2

r

2

.

(5.17)

It is easily verified (Fig. 5.2) that V

e

(r)

≥ E

c

= V

e

(r

c

), where (Remark 5.2)

r

c

=

|L

z

|

mω

,

E

c

= ω

|L

z

|.

(5.18)

V

e

(r)

E

c

r

m

r

c

r

M

r

Fig. 5.2

5.1

Motion in a central field

183

For every fixed value of E > E

c

, the equation V

e

(r) = E has two roots:

r

m

=

E

mω

2

1

− 1 −

E

2

c

E

2

,

r

M

=

E

mω

2

1 +

1

−

E

2

c

E

2

.

(5.19)

From (5.15) we derive (note that r

m

/r

c

= r

c

/r

M

)

ϕ

− ϕ

0

=

r

(ϕ)

r

0

dr

r

2

2mE

L

2

z

−

1

r

2

−

r

2

r

4

c

,

(5.20)

from which, setting w = 1/r

2

,

ϕ

− ϕ

0

=

1/r

2

0

1/r(ϕ)

2

dw

2

m

2

E

2

L

4

z

−

1

r

4

c

− w −

mE

L

2

z

2

,

(5.21)

and by means of the substitution

w

−

mE

L

2

z

=

m

2

E

2

L

4

z

−

1

r

4

c

cos ψ =

mE

L

2

z

1

−

E

2

c

E

2

cos ψ,

we find that the integration yields ψ/2. Choosing the polar axis in such a way

that r = r

m

for ϕ = 0, we finally obtain

1

r(ϕ)

2

=

mE

L

2

z

1 +

1

−

E

2

c

E

2

cos 2ϕ .

(5.22)

Equation (5.22) describes an ellipse centred at the origin, whose semi-axes are

given by (5.19). Note that the orbit is a circle if E = E

c

, yielding r = r

c

.

Another form of the orbit equation can be obtained by the substitution of

u = 1/r into the equation of motion (5.9). Since

d

dt

= ˙

ϕ

d

dϕ

,

(5.23)

we obtain, as in (5.13),

¨

r = ˙

ϕ

d

dϕ

˙

ϕ

d

dϕ

r =

L

2

z

u

2

m

2

d

dϕ

u

2

du

dϕ

dr

du

=

−

L

2

z

u

2

m

2

d

2

u

dϕ

2

·

(5.24)

184

Motion in a central field

5.1

On the other hand

−

∂

∂r

V

e

(r) = u

2

d

du

V

e

1

u

,

(5.25)

and substituting (5.24) and (5.25) into (5.9) we obtain the equation

d

2

u

dϕ

2

=

−

m

L

2

z

d

du

V

e

1

u

,

(5.26)

called second form of the orbit equation.

Using the variable u the energy can be written in the form

E =

1

2m

L

2

z

du

dϕ

2

+ V

e

1

u

.

(5.27)

Example 5.2

Consider the motion of a point particle of mass m = 1 in the central field

V (r) =

−k

2

/2r

2

, where k is a real constant. Setting u = 1/r, the effective

potential is given by V

e

(1/u) =

1

2

(L

2

z

− k

2

)/2u

2

; substituting the latter into

(5.26) yields the equation

d

2

u

dϕ

2

+

1

−

k

2

L

2

z

u = 0.

(5.28)

If we set ω

2

= 1

− k

2

/L

2

z

, the solution of (5.28) corresponding to the data

u (0) =

−r (0)/r(0)

2

is given by

u(ϕ) =

⎧

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎩

u(0) cos ωϕ +

u (0)

ω

sin ωϕ,

if k

2

< L

2

z

,

u(0) + u (0)ϕ,

if k

2

= L

2

z

,

u(0) cosh ωϕ +

u (0)

ω

sinh ωϕ,

if k

2

> L

2

z

.

If k

2

> L

2

z

and the energy E =

1

2

(L

2

z

/2)[(u (0))

2

−ω

2

(u(0))

2

] is negative, the orbit

is bounded (i.e. u(ϕ) does not vanish) and it describes a spiral turning towards

the centre of the field if u (0) > 0 (the so-called Cotes spiral ; see Danby 1988).

We now return to the general case and fix a non-zero value of L

z

; the orbit

belongs to

A

E,L

z

=

{(r, ϕ)|V

e

(r)

≤ E},

(5.29)

consisting of one or more regions bounded by circles. In each region the radius r

lies between a minimum value r

m

(pericentre) and a maximum r

M

(apocentre,

see Fig. 5.3), where r

m

and r

M

are two consecutive roots of V

e

(r) = E (except

5.2

Motion in a central field

185

r

M

r

M

O

F

F

r

m

Fig. 5.3

in the case r

m

= 0 or r

M

= +

∞). If the point is initially positioned in a region

in which

0

≤ r

m

≤ r

M

< +

∞

the motion is bounded. If r

m

< r

M

(otherwise the motion is circular), from

equation (5.3) it follows that the polar angle ϕ varies monotonically, while r

oscillates periodically between r

m

and r

M

. In general the orbit is not closed.

Indeed, from equation (5.15) it follows that the angle

Φ

between a pericentre

and an apocentre is given by the integral

Φ

=

r

M

r

m

L

z

mr

2

dr

2

m

[E

− V

e

(r)]

(5.30)

(the integral converges provided that r

m

and r

M

are simple roots of the equation

V

e

(r) = E) and the angle between two consecutive pericentres is given by 2

Φ

.

Hence the necessary and sufficient condition that the orbit is closed is that there

exist two integers n

1

and n

2

such that

Φ

= 2π

n

1

n

2

,

(5.31)

i.e. that the ratio

Φ

/2π is rational. If, on the other hand,

Φ

/2π is not rational,

one can prove that the orbit is dense in the annulus r

m

< r < r

M

.

5.2

Kepler’s problem

In this section we study the motion under the action of the Newtonian potential

V (r) =

−

k

r

,

k > 0.

(5.32)

186

Motion in a central field

5.2

The effective potential corresponding to (5.32) is

V

e

(r) =

L

2

z

2mr

2

−

k

r

=

L

2

z

u

2

2m

− ku,

(5.33)

where we set u = 1/r. Substituting equation (5.33) into the orbit equation (5.26)

we find

d

2

u

dϕ

2

=

−u +

km

L

2

z

.

(5.34)

The solution of the latter is the sum of the integral of the associated homogeneous

equation, which we write in the form u = (e/p) cos(ϕ

− ϕ

0

), and of a particular

solution of the non-homogeneous equation u = 1/p, corresponding to the unique

circular orbit admissible for the Newtonian potential, of radius

r

c

= p =

L

2

z

km

(5.35)

and corresponding to energy

E

c

=

−

k

2

m

2L

2

z

·

(5.36)

The parametric equation of the orbit is given by

u =

1

p

(1 + e cos(ϕ

− ϕ

0

)),

and Kepler’s first law follows:

r =

p

1 + e cos(ϕ

− ϕ

0

)

,

(5.37)

where e

≥ 0 is the eccentricity of the orbit. Hence the orbit is a conical section,

with one focus at the origin: if 0

≤ e < 1 the orbit is an ellipse, if e = 1 it is a

parabola and if e > 1 it is a hyperbola. The eccentricity is determined by

e =

1 +

2L

2

z

E

k

2

m

=

1 +

E

|E

c

|

,

E

≥ E

c

.

(5.38)

In the elliptic case (E < 0) the two semi-axes a and b are given by

a =

1

2

(r

m

+ r

M

) =

p

1

− e

2

=

k

2

|E|

,

b = a