Analytical Mechanics This page intentionally left blank

n (s)

t (s)

x

1

Fig. 1.6

D

efinition 1.4 The unit vector

t(s) =

dx(s)

ds

(1.9)

is called the unit tangent vector to the curve.

D

efinition 1.5 At any point at which d

2

x/ds

2

=

/ 0 it is possible to define the

unit vector

n(s) =

1

k(s)

d

2

x

ds

2

,

(1.10)

called the principal unit normal vector (Fig. 1.6), where k(s) =

|d

2

x/ds

2

| is the

curvature of the plane curve. R(s) = 1/k(s) is the radius of curvature.

It easily follows from the definition that straight lines have zero curvature

(hence their radius of curvature is infinite) and that the circle of radius R has

curvature 1/R.

Remark 1.4

Given a point on the curve, it follows from the definition that n(s) lies in

the half-plane bounded by the tangent t(s) and containing the curve in a neigh-

bourhood of the given point. The orientation of t(s) is determined by the positive

orientation of the curve.

Remark 1.5

Consider a point of unit mass, constrained to move along the curve with a

time dependence given by s = s(t). We shall see that in this case the curvature

determines the strength of the constraining reaction at each point.

The radius of curvature has an interesting geometric interpretation. Consider

the family of circles that are tangent to the curve at a point P . Then the circle

1.3

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

9

c

x(s)

x(s

0

)

Fig. 1.7

that best approximates the curve in a neighbourhood of P has radius equal to

the radius of curvature at the point P . Indeed, choosing a circle of radius r and

centred in a point c = (c

1

, c

2

) lying on the normal line to the curve at a point

x(s

0

), we can measure the difference between the circle and the curve (Fig. 1.7)

by the function

g(s) =

|x(s) − c| − r,

with s a variable in a neighbourhood of s

0

. Since

g (s

0

) =

1

r

(x(s

0

)

− c) · t(s

0

) = 0,

g (s

0

) =

1

r

(1

− kr),

it follows that g(s) is an infinitesimal of order greater than (s

−s

0

)

2

if g (s

0

) = 0,

and hence if c

− x(s

0

) = R(s

0

)n(s

0

).

D

efinition 1.6 The circle tangent to the given curve, with radius equal to the

radius of curvature and centre belonging to the half-plane containing the unit

vector n is called the osculating circle.

Considering a generic parametrisation x = x(t), one obtains the following

relations:

˙x(t) = v(t) = ˙st

(1.11)

and

¨

x(t) = a(t) = ¨

st +

˙s

2

R

n,

(1.12)

which implies for the curvature

k(t) =

1

|v(t)|

2

a(t)

−

v(t)

· a(t)

|v(t)|

2

v(t) .

(1.13)

10

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

1.3

The vectors v, a are also called the velocity and acceleration, respectively; this

refers to their kinematic interpretation, when the parameter t represents time

and the function s = s(t) expresses the time dependence of the point moving

along the curve.

We remark that, if the curvature is non-zero, and ˙s =

/ 0, then the normal

component of the acceleration ˙s

2

/R is positive.

We leave it as an exercise to verify that the curvature of the graph x

2

= f (x

1

)

is given by

k(x

1

) =

|f (x

1

)

|

[1 + f

2

(x

1

)]

3/2

,

(1.14)

while, if the curve is expressed in polar coordinates and r = r(ϕ), then the

curvature is given by

k(ϕ) =

|2r

2

(ϕ)

− r(ϕ)r (ϕ) + r

2

(ϕ)

|

[r

2

(ϕ) + r

2

(ϕ)]

3/2

.

(1.15)

Example 1.9

Consider an ellipse

x

1

(t) = a cos t,

x

2

(t) = b sin t.

In this case, the natural parameter s cannot be expressed in terms of t through

elementary functions (indeed, s(t) is given by an elliptic integral). The velocity

and acceleration are:

v(t) = (

−a sin t, b cos t) = ˙st, a(t) = (−a cos t, −b sin t) = ¨st +

˙s

2

R

n,

and using equation (1.13) it is easy to derive the expression for the curvature. Note

that v(t)

· a(t) = ˙s¨s =

/ 0 because the parametrisation is not the natural one.

T

heorem 1.1 (Frenet) Let s → x(s) = (x

1

(s), x

2

(s)) be a plane curve of class

at least

C

3

, parametrised with respect to the natural parameter s. Then

dt

ds

= k(s)n,

dn

ds

=

−k(s)t.

(1.16)

Proof

The first formula is simply equation (1.10). The second can be trivially

derived from

d

ds

(n

· n) = 0,

d

ds

(n

· t) = 0.

1.3

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

11

We end the analysis of plane curves by remarking that the curvature function

k(s) completely defines the curve up to plane congruences. Namely, ignoring the

trivial case of zero curvature, we have the following.

T

heorem 1.2 Given a regular function k : (a, b) → R such that k(s) > 0 for

every s

∈ (a, b), there exists a unique plane regular curve, defined up to translations

and rotations, such that k(s) is its curvature, and s its natural parameter.

Proof

The proof of this theorem depends on Frenet’s formulae and on the existence

and uniqueness theorem for solutions of ordinary differential equations. Indeed,

from (1.16) it follows that

d

2

t

ds

2

−

k (s)

k(s)

dt

ds

+ k

2

(s)t = 0;

(1.17)

after integration this yields t = dx/ds, up to a constant vector (i.e. a rotation

of the curve). One subsequent integration yields x(s) up to a second constant

vector (i.e. a translation of the curve).

Remark 1.6

Uniqueness can only be guaranteed if the curvature is not zero. As a

counterexample, consider the two curves of class

C

2

(Fig. 1.8)

x(t) = (t, t

3

);

y(t) =

(t, t

3

),

if t < 0,

(t,

−t

3

),

if t

≥ 0.

These curves are evidently distinct for t > 0, but their curvatures are equal

for every t and vanish for t = 0.

x

2

x

1

(t, t

3

)

(t, t

3

)

(t, – t

3

)

Fig. 1.8

12

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

1.4

1.4

Curves in R

3

We have already remarked how it is possible to define regular curves in R

3

in

analogy with (1.4): such curves are maps x : (a, b)

→ R

3

of class

C

2

, with ˙x =

/ 0.

Consider now a curve t

→ x(t) = (x

1

(t), x

2

(t), x

3

(t))

∈ R

3

; the equation defining

the natural parameter is

ds

dt

=

˙

x

2

1

+ ˙

x

2

2

+ ˙

x

2

3

.

Suppose that the curve is parametrised through the natural parameter s. As for

the case of a plane curve, we can introduce the unit tangent vector t, the unit

normal vector n, and the curvature k(s) according to Definitions 1.4 and 1.5.

However, contrary to the plane case, these quantities are not sufficient to fully

characterise a curve in three-dimensional space.

D

efinition 1.7 The unit vector

b = t

× n

(1.18)

is called a binormal unit vector. The triple of vectors (t, n, b) is orthonormal.

In the case of a plane curve, it is easy to verify that db/ds = 0, and hence

that the binormal unit vector is constant and points in the direction orthogonal

to the plane containing the curve. Hence the derivative db/ds quantifies how far

the curve is from being a plane curve. To be more precise, consider a point x(s

0

)

on the curve, and the pencil of planes whose axis is given by the line tangent

to the curve at x(s

0

). The equation of the plane of the pencil with unit normal

vector ν is

(x

− x(s

0

))

· ν = 0.

The distance from such a plane of a point x(s) on the curve is given (up to

sign) by

g(s) = [x(s)

− x(s

0

)]

· ν,

and hence

g (s

0

) = t(s

0

)

· ν = 0;

in addition,

g (s

0

) = k(s

0

)n(s

0

)

· ν.

It follows that if n(s

0

) is defined (i.e. if k(s

0

) =

/ 0), there exists a unique plane

such that g (s

0

) = 0; this plane is the one whose normal vector is precisely the

unit vector b(s

0

).

1.4

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

13

b

n

t

osculating plane

Fig. 1.9

D

efinition 1.8 The plane normal to b(s

0

) is called the osculating plane to the

curve at the point x(s

0

) (Fig. 1.9).

Hence the osculating plane has parametric equation

y = x(s

0

) + λt(s

0

) + µk(s

0

)n(s

0

).

(1.19)

In the case of curves in space as well, we have the following.

T

heorem 1.3 (Frenet) Let s → x(s) = (x

1

(s), x

2

(s), x

3

(s)) be a curve in R

3

endowed with the natural parametrisation. Then the following equations hold:

dt

ds

=

+k(s)n(s),

dn

ds

=

−k(s)t(s)

−χ(s)b(s),

db

ds

=

+χ(s)n(s),

(1.20)

where χ(s) is called the torsion (or second curvature) of the curve.

The proof of Frenet’s theorem is based on the following lemma, of interest in

its own right.

L

emma 1.1 Let A : (t

1

, t

2

)

→ O(l) be a function of class C

1

, taking values in

the group of orthogonal matrices l

× l, such that A(t

0

) = 1. Then

˙

A(t

0

) is a

skew-symmetric matrix.

Proof

By differentiation of the orthogonality relation

A

T

(t)A(t) = 1

for all t

∈ (t

1

, t

2

), if B(t) = dA/dt (t), one obtains

B

T

(t)A(t) + A

T

(t)B(t) = 0.

14

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

1.4

Evaluating this relation at t = t

0

, we obtain

B

T

(t

0

) =

−B(t

0

).

Proof of Theorem 1.3

Apply Lemma 1.1 to the matrix A(s

− s), transforming the orthonormal triple

(t(s), n(s), b(s)) to the orthonormal triple (t(s ), n(s ), b(s )). Evidently A(s

− s)

is orthogonal and A(0) = 1. Hence its derivative at the point s = s is a skew-

symmetric matrix; equations (1.20) follow if we observe that, by definition dt/ds =

k(s)n, while χ(s) is defined as the other non-zero element of the matrix A (0).

The third of equations (1.20) implies that the osculating plane tends to rotate

around the tangent line with velocity equal to the torsion χ(s). The second of

equations (1.20) shows what causes variation in n: under the effect of curvature,

the normal vector tends to rotate in the osculating plane, while under the effect

of torsion it tends to follow the rotation of the osculating plane. Moreover, if

χ(s) =

/ 0, the curve crosses the osculating plane. This follows from the fact that

d

3

x

ds

3

=

d

2

t

ds

2

=

dk

ds

n

− k

2

t

− kχb;

hence for s

s

0

one has x(s)

−x(s

0

)

(s

−s

0

)t +

1

2

·(s−s

0

)

2

kn +

1

6

(s

−s

0

)

3

(k n

−

k

2

t

− kχb), and thus (x(s) − x(s

0

))

· b

−

1

6

kχ(s

− s

0

)

3

.

Example 1.10

Consider the cylindrical circular helix

x

1

= R cos ϕ,

x

2

= R sin ϕ,

x

3

= λϕ.

If the origin of the arcs is at A (Fig. 1.10), we have s(ϕ) =

√

R

2

+ λ

2

ϕ;

hence

t =

dx

dϕ

dϕ

ds

=

1

√

R

2

+ λ

2

(

−R sin ϕ, R cos ϕ, λ),

dt

ds

=

dt

dϕ

dϕ

ds

=

−

R

R

2

+ λ

2

(cos ϕ, sin ϕ, 0),

from which it follows that

n = (

− cos ϕ, − sin ϕ, 0), k(s) =

R

R

2

+ λ

2

,

and finally

b =

1

√

R

2

+ λ

2

(λ sin ϕ,

−λ cos ϕ, R).

It is easy to compute that

db

ds

=

−

λ

R

2

+ λ

2

n,

1.5

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

15

x

3

x

2

x

1

t

n

A

w

Fig. 1.10

yielding for the torsion

χ =

−

λ

R

2

+ λ

2

.

Curvature and torsion are the only two geometric invariants of a curve in

space. Namely we have the following.

T

heorem 1.4 Let k(s) > 0 and χ(s) be two given regular functions. There exists

a unique curve in space, up to congruences (rotations and translations), which

has s as natural parameter, and k and χ as curvature and torsion, respectively.

The proof is similar to the proof of Theorem 1.2 and is based on the fact that

t(s) solves the differential equation

d

2

t

ds

2

−

k

k

dt

ds

+ k

2

t + χt

×

dt

ds

= 0.

(1.21)

1.5

Vector fields and integral curves

In complete analogy with (1.4), a regular curve in R

l

is a map x : (a, b)

→ R

l

of class

C

1

such that ˙x =

/ 0.

In this section we shall investigate the relation between curves and vector

fields.

16

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

1.6

D

efinition 1.9 Let U be an open subset of R

l

. A vector field X on U is a

regular function X : U

→ R

l

(e.g. of class

C

∞

) associating with every point x

∈ U

a vector X(x) of R

l

, which is said to be applied at the point x.

Example 1.11

To every regular function f : U

→ R one can associate the gradient vector field

X(x) =

∇f(x) =

∂f

∂x

1

(x), . . . ,

∂f

∂x

l

(x)

.

The gradient vector field is orthogonal to the level sets of f .

D

efinition 1.10 A curve x : (a, b) → R

l

is called an integral curve of a vector

field X : U

→ R

l

if for all t

∈ (a, b) the following conditions hold:

(a) x(t)

∈ U;

(b) ˙x(t) = X(x(t)).

Example 1.12

Consider the vector field in R

2

defined by X(x

1

, x

2

) = (x

2

,

−x

1

). The integral

curve of the field passing through (x

1

(0), x

2

(0)) at t = 0 is given by

x

1

(t) = x

1

(0) cos t + x

2

(0) sin t,

x

2

(t) =

−x

1

(0) sin t + x

2

(0) cos t.

Note that, if (x

1

(0), x

2

(0)) = (0, 0), the integral curve is degenerate at the point

(0, 0). This is possible because at the point (0, 0) the vector field vanishes, i.e. it

has a singular point.

It evidently follows from Definition 1.10 that the existence and uniqueness

theorem for ordinary differential equations ensures the existence of a unique

integral curve of a vector field passing through a given point. The question of

the continuation of solutions of differential equations (hence of the existence of

a maximal integral curve) yields the following definition.

D

efinition 1.11 A vector field is called complete if for every point x the maximal

integral curve (cf. Appendix 1) passing through x is defined over all of R.

Example 1.13

The vector field given in Example 1.12 is complete. The field X : R

→ R,

X(x) = 1 + x

2

is not complete.

When not otherwise stated, we shall implicitly assume that the vector fields

considered are complete.

1.6

Surfaces

The study of the local properties of plane curves, which we considered in the

first three sections of this chapter, is rather simple: one invariant—curvature (as

1.6

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

17

a function of arc length)—is sufficient to characterise the curve. Matters are not

much more complicated in the case of curves in R

3

. The essential reason for this

is that the intrinsic geometry of curves is ‘trivial’, in the sense that for all curves

there exists a natural parametrisation, i.e. a map x(s) from an interval (a, b) of

R to the curve, such that the distance between any two points x(s

1

) and x(s

2

)

of the curve, measured along the curve, is equal to

|s

2

− s

1

|. Hence the metric

(i.e. the notion of distance) defined by means of the arc length coincides with

that of R.

The situation is much more complicated for the case of surfaces in R

3

. We

shall see that the intrinsic geometry of surfaces is non-trivial due to the fact

that, in general, there is no isometry property between surfaces and subsets of

R

2

analogous to that of the previous case, and it is not possible to define a

metric using just one scalar function.

In analogy with the definition of a curve in the plane (as the level set of a

function of two variables), surfaces in R

3

can be obtained by considering the

level sets of a function F : U

→ R (for simplicity, we assume that this function is

of class

C

∞

, but it would be sufficient for the function to be of class

C

2

), where

U is an open subset of R

3

. The surface S is hence defined by

S =

{(x

1

, x

2

, x

3

)

∈ U|F (x

1

, x

2

, x

3

) = 0

},

(1.22)

assuming that such a set is non-empty.

D

efinition 1.12 A point (x

1

, x

2

, x

3

) of the surface F (x

1

, x

2

, x

3

) = 0 is called

non-singular if the gradient of F computed at the point is non-vanishing:

∇F (x

1

, x

2

, x

3

) =

/ 0.

(1.23)

A surface S whose points are all non-singular points is called regular.

By the implicit function theorem, if P is non-singular, in a neighbourhood

of P the surface can be written as the graph of a function. For example, if

(∂F/∂x

3

)

P

=

/ 0 there exists a regular function f : U

→ R (where U is an open

neighbourhood of the projection of P onto the (x

1

, x

2

) plane) such that

S = graph (f ) =

{(x

1

, x

2

, x

3

)

∈ R

3

|(x

1

, x

2

)

∈ U, x

3

= f (x

1

, x

2

)

}.

(1.24)

In addition, from F (x

1

, x

2

, x

3

) = 0 it follows that

∂F

∂x

1

dx

1

+

∂F

∂x

2

dx

2

+

∂F

∂x

3

dx

3

= 0;

hence from F (x

1

, x

2

, f (x

1

, x

2

)) = 0 it follows that

∂f

∂x

1

=

−

∂F/∂x

1

∂F/∂x

3

,

∂f

∂x

2

=

−

∂F/∂x

2

∂F/∂x

3

.

18

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

1.6

The analogous analysis can be performed if (∂F/∂x

2

)

P

=

/ 0, or (∂F/∂x

1

)

P

=

/ 0.

Equation (1.24) highlights the fact that the points of a regular surface are, at

least locally, in bijective and continuous correspondence with an open subset

of R

2

.

It is an easy observation that at a non-singular point x

0

there exists the

tangent plane, whose equation is

(x

− x

0

)

· ∇F = 0.

More generally, it is possible to consider a parametric representation of the

form x : U

→ R

3

, x = x(u, v), where U is an open subset of R

2

:

S = x(U ) =

{(x

1

, x

2

, x

3

)

∈ R

3

|there exist (u, v) ∈ U, (x

1

, x

2

, x

3

) = x(u, v)

}.

(1.25)

Note that the graph of (1.24) is a particular case of the expression (1.25),

in which the parametrisation is given by x(u, v) = (u, v, f (u, v)). It is always

possible to transform (1.24) into (1.25) by the change of variables on the open

set U of R

2

, x

1

= x

1

(u, v), x

2

= x

2

(u, v), provided the invertibility condition

det [∂(x

1

, x

2

)/∂(u, v)] =

/ 0 holds.

The latter condition expresses the fact that the coordinate lines u = constant

and v = constant in the (x

1

, x

2

) plane are not tangent to each other (Fig. 1.11).

It follows that Definition 1.12 is equivalent to the following.

x

3

x

2

x

1

v = constant

v = constant

u = constant

u = constant

Fig. 1.11

1.6

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

19

D

efinition 1.13 If the surface S is given in parametric form as x = x(u, v), a

point P is called non-singular if

rank

⎛

⎜

⎝

∂x

1

∂u

∂x

2

∂u

∂x

3

∂u

∂x

1

∂v

∂x

2

∂v

∂x

3

∂v

⎞

⎟

⎠

P

= 2.

(1.26)

Equation (1.26) is equivalent to requiring that the vectors x

u

, x

v

are linearly

independent.

Example 1.14

The sphere of radius R > 0 is a regular surface; it is the level set of

F (x

1

, x

2

, x

3

) = x

2

1

+ x

2

2

+ x

2

3

− R

2

.

A parametrisation of the sphere is given by

x(u, v) = R(cos v sin u, sin v sin u, cos u),

where (u, v)

∈ [0, π] × [0, 2π]. Here v is also called the longitude, and u the

colatitude, as it is equal to π/2 minus the latitude (Fig. 1.12). This parametrisation

of the sphere is regular everywhere except at the two poles (0, 0,

±1). The sphere

of radius 1 is usually denoted S

2

.

x

3

x

2

x

1

P

u

v

Fig. 1.12

20

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

1.6

Example 1.15

The ellipsoid is a regular surface; it is the level set of

F (x

1

, x

2

, x

3

) =

x

2

1

a

2

+

x

2

2

b

2

+

x

2

3

c

2

− 1,

where a > b > c > 0 are the semi-axes of the ellipsoid. A parametrisation is

given by

x(u, v) = (a cos v sin u, b sin v sin u, c cos u),

with (u, v)

∈ [0, π] × [0, 2π]. Note that this parametrisation is not regular at the

points (0, 0,

±c); however at these points the surface is regular.

Example 1.16

The one-sheeted hyperboloid, level set S = F

−1

(0) of

F (x

1

, x

2

, x

3

) =

x

2

1

a

2

+

x

2

2

b

2

−

x

2

3

c

2

− 1,

or the two-sheeted hyperboloid with

F (x

1

, x

2

, x

3

) =

−

x

2

1

a

2

−

x

2

2

b

2

+

x

2

3

c

2

− 1,

are regular surfaces. A parametric representation is given, respectively, by

x(u, v) = (a cos v cosh u, b sin v cosh u, c sinh u),

and

x(u, v) = (a cos v sinh u, b sin v sinh u, c cosh u),

where (u, v)

∈ R × [0, 2π].

Example 1.17

A particularly interesting class of surfaces is given by the surfaces of revolution;

these surfaces are obtained by rotating, e.g. around the x

3

-axis, a curve (implicitly

defined) in the (x

1

, x

3

) plane. If f (x

1

, x

3

) = 0 is the implicit representation of

the curve, the surface of revolution corresponds to the level set of the function

F (x

1

, x

2

, x

3

) = f (

x

2

1

+ x

2

2

, x

3

) = 0.

Among the previous examples, we have already encountered surfaces of revolution,

e.g. the ellipsoids (if two of the semi-axes are equal) or the hyperboloids (if a = b).

A parametric representation of the surfaces of revolution is given by

x(u, v) = (u cos v, u sin v, f (u)),

if the generating curve has equation x

3

= f (x

1

).

1.6

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

21

Example 1.18

The elliptic paraboloid is the graph of

x

3

=

x

2

1

a

2

+

x

2

2

b

2

,

a > b > 0,

(x

1

, x

2

)

∈ R

2

,

while the hyperbolic paraboloid is the graph of

x

3

=

x

2

1

a

2

−

x

2

2

b

2

,

a > b > 0,

(x

1

, x

2

)

∈ R

2

.

Remark 1.7

In analogy with the definition of surfaces in R

3

one can introduce (hyper)surfaces

in R

l

, as:

(1) level sets of functions from (subsets of) R

l

into R;

(2) graphs of functions defined in an open subset of R

l

−1

and taking values in R;

(3) through a parametric representation, with l

− 1 parameters x(u

1

, . . . , u

l

−1

).

In this section we will focus primarily on studying surfaces in R

3

, while in

the next section we shall define the notion of a differentiable manifold, of which

surfaces and hypersurfaces are special cases.

Let F : U

→ R be a C

∞

function, U an open subset of R

3

, and denote by

S the surface S = F

−1

(0). It is important to remark that, in general, it is not

possible to find a natural parametrisation that is globally non-singular for the

whole of a regular surface.

Example 1.19

The bidimensional torus T

2

is the surface of revolution around the x

3

-axis

obtained from the circle in the (x

1

, x

3

) plane, given by the equation

x

2

3

+ (x

1

− a)

2

= b

2

,

thus with centre x

1

= a, x

3

= 0 and radius b, such that 0 < b < a. Hence its

implicit equation is

F (x

1

, x

2

, x

3

) = x

2

3

+ (

x

2

1

+ x

2

2

− a)

2

− b

2

= 0.

It is easy to verify that a parametrisation of T

2

is given by

x

1

= cos v(a + b cos u),

x

2

= sin v(a + b cos u),

x

3

= b sin u,

where (u, v)

∈ [0, 2π] × [0, 2π] (Fig. 1.13). The torus T

2

is a regular surface.

Indeed,

∇F (x

1

, x

2

, x

3

) =

2x

1

−

4ax

1

x

2

1

+ x

2

2

, 2x

2

−

4ax

2

x

2

1

+ x

2

2

, 2x

3

=

/ 0 on T

2

,

22

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

1.6

x

3

x

2

x

1

a

b

u

v

Fig. 1.13

and correspondingly

∂(x

1

, x

2

, x

3

)

∂(u, v)

=

−b sin u cos v

−b sin u sin v

b cos u

−(a + b cos u) sin v (a + b cos u) cos v

0

has rank 2 on T

2

.

Example 1.20

The sphere S

2

x

2

1

+ x

2

2

+ x

2

3

− 1 = 0

is a regular surface; the parametrisation

x(u, v) = (cos v cos u, sin v cos u, sin u)

in non-singular everywhere except at the points u =

±π/2 (corresponding to the

north pole x = (0, 0, 1) and the south pole x = (0, 0,

−1) of the sphere) where

the parametrisation is singular (this is intuitively evident by observing that the

parallels degenerate to a point at the poles, and hence that the longitude is not

defined at these points). However, the parametrisation

x(u, v) = (sin u, cos v cos u, sin v cos u)

is regular at the poles, while it is singular at x = (

±1, 0, 0). The stereographic

projection from one of the poles of the sphere (cf. Example 1.29) is an example

of a parametrisation that is regular over the whole sphere minus one point. There

is no global regular parametrisation of the whole sphere.

1.6

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

23

Example 1.21

The cone

x

2

1

a

2

+

x

2

2

b

2

−

x

2

3

c

2

= 0

is not a regular surface: the origin x

1

= x

2

= x

3

= 0 belongs to the cone but it is

a singular point. Excluding this point, the surface becomes regular (but it is no

longer connected), and x(u, v) = (au cos v, bu sin v, cu) is a global non-singular

parametrisation.

Consider a surface S = F

−1

(0), and a regular point P

∈ S. At such a point it

is possible to define the tangent space T

P

S to the surface S at the point P .

D

efinition 1.14 A vector w ∈ R

3

at the point P is said to be tangent to the

surface S at the point P , or w

∈ T

P

S (tangent space to the surface at the

point P ) if and only if there exists a curve x(t) on the surface, i.e. such that

F (x

1

(t), x

2

(t), x

3

(t)) = 0 for all t, passing through the point P for some time t

0

,

x(t

0

) = P , with velocity ˙x(t

0

) = w.

In the expression for the tangent vector at a point x(u

0

, v

0

)

˙x = x

u

˙

u + x

v

˙v

(1.27)

we can consider ˙

u, ˙v as real parameters, in the sense that, given two numbers

α, β, it is always possible to find two functions u(t), v(t) such that u(t

0

) = u

0

,

v(t

0

) = v

0

, ˙

u(t

0

) = α, ˙v(t

0

) = β. Hence we can identify T

p

S with the vector

space, of dimension 2, generated by the vectors x

u

, x

v

(Fig. 1.14).

∇F

∇F

v = constant

u = constant

x

u

x

v

Fig. 1.14

24

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

1.6

D

efinition 1.15 A vector field X over a surface S is a function assigning to

every point P of the surface, a vector X(P )

∈ R

3

applied at the point P . The

field X is called a tangent field if X(P )

∈ T

P

S for every P

∈ S; the field is a

normal field if X(P )

∈ (T

P

S)

⊥

for every point P

∈ S.

Remark 1.8

Since a vector field tangent to S is expressed by X = X

1

(u, v)x

u

+ X

2

(u, v)x

v

,

the equations of its integral curves are ˙

u = X

1

(u, v), ˙v = X

2

(u, v) and the curves

lie on S.

T

heorem 1.5 Let P be a non-singular point of the surface F (x

0

) = 0. Then

the tangent space to the surface at P coincides with the orthogonal space to the

gradient of F at P :

T

P

S = (

∇F (P ))

⊥

.

(1.28)

Proof

Differentiating the expression F (x(u, v)) = 0 we obtain

∇F · x

u

=

∇F · x

v

= 0.

Hence

∇F is orthogonal to every vector of T

p

S. Conversely, if w is ortho-

gonal to

∇F at P ∈ S, it must necessarily belong to the plane generated

by x

u

, x

v

.

D

efinition 1.16 A connected surface S is said to be oriented when a unitary

normal vector field is uniquely assigned on the surface.

Remark 1.9

The regular surfaces we have defined (as level sets S = F

−1

(0)) are always ori-

entable, with two possible orientations corresponding to the two unitary normal

vector fields

n

1

(P ) =

∇F (P )

|∇F (P )|

,

n

2

(P ) =

−

∇F (P )

|∇F (P )|

.

(1.29)

However, it is possible in general to extend the definition of surface to also

admit non-orientable cases, such as the M¨

obius strip (Fig. 1.15).

For applications in mechanics, it is very important to be able to endow

the surface with a distance or metric, inherited from the natural immersion

in three-dimensional Euclidean space. To this end, one can use the notion of

length of a curve in space, using the same definition as for curves lying on

a surface.

If S = F

−1

(0) is a regular surface, x = x(u, v) is a parametric representation

for it, and t

→ (u(t), v(t)), t ∈ (a, b) is a curve on S, the length of the curve is

given by (cf. (1.5))

l =

b

a

dx(u(t), v(t))

dt

dt =

b

a

(x

u

˙

u + x

v

˙v)

· (x

u

˙

u + x

v

˙v) dt.

(1.30)

1.6

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

25

A

B

C

D

A

B

D

C

A = D

B = C

Fig. 1.15 M¨obius strip.

If we define

E(u, v) = x

u

· x

u

=

∂x

1

∂u

2

+

∂x

2

∂u

2

+

∂x

3

∂u

2

,

F (u, v) = x

u

· x

v

=

∂x

1

∂u

∂x

1

∂v

+

∂x

2

∂u

∂x

2

∂v

+

∂x

3

∂u

∂x

3

∂v

,

G(u, v) = x

v

· x

v

=

∂x

1

∂v

2

+

∂x

2

∂v

2

+

∂x

3

∂v

2

,

(1.31)

equation (1.30) can be rewritten as

l =

b

a

E(u(t), v(t)) ˙

u

2

+ 2F (u(t), v(t)) ˙

u ˙v + G(u(t), v(t)) ˙v

2

dt.

(1.32)

Setting

(ds)

2

= dx

· dx,

(1.33)

we obtain for (ds)

2

the expression

(ds)

2

= E(u, v)(du)

2

+ 2F (u, v)(du)(dv) + G(u, v)(dv)

2

.

(1.34)

D

efinition 1.17 The quadratic form (1.34) is called the first fundamental form

of the surface.

26

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

1.6

This form fixes the metric on the surface, as it makes it possible to compute

lengths.

Remark 1.10

The expression (1.34) represents a positive definite quadratic form: this means

E > 0 and EG

− F

2

> 0. The area of the parallelogram whose sides are x

u

, x

v

(linearly independent) is exactly

√

EG

− F

2

.

Example 1.22

Consider the sphere S

2

of radius 1, parametrised by

x = (cos v sin u, sin v sin u, cos u).

Then

x

u

= (cos u cos v, cos u sin v,

− sin u), x

v

= (

− sin u sin v, sin u cos v, 0),

and hence

E = 1,

F = 0,

G = sin

2

u,

from which it follows that

(ds)

2

= (du)

2

+ sin

2

u(dv)

2

.

For example, the length of a parallel at colatitude u

0

is given by

l =

2π

0

˙

u

2

+ (sin u

0

)

2

˙v

2

dt = 2π sin u

0

,

since the curve has parametric equations u = u

0

, v = t.

Having defined the first fundamental form, it is possible to compute not only

the lengths of curves lying on the surface, but also the angle ϕ between two

intersecting curves: if their parametric representation is

u = u

1

(t), v = v

1

(t)

and

u = u

2

(t), v = v

2

(t)

(1.35)

and the intersection point is denoted by P , corresponding to the value t = t

0

,

the velocity vectors of the two curves in P

w

1

= ˙

u

1

(t

0

)x

u

(u

1

(t

0

), v

1

(t

0

)) + ˙v

1

(t

0

)x

v

(u

1

(t

0

), v

1

(t

0

)),

w

2

= ˙

u

2

(t

0

)x

u

(u

2

(t

0

), v

2

(t

0

)) + ˙v

2

(t

0

)x

v

(u

2

(t

0

), v

2

(t

0

))

are both tangent to the surface at the point P . The angle between the two

vectors is given by

cos ϕ =

w

1

· w

2

|w

1

||w

2

|

=

E ˙

u

1

˙

u

2

+ F ( ˙

u

1

˙v

2

+ ˙v

1

˙

u

2

) + G ˙v

1

˙v

2

E ˙

u

2

1

+ 2F ˙

u

1

˙v

1

+ G ˙v

2

1

E ˙

u

2

2

+ 2F ˙

u

2

˙v

2

+ G ˙v

2

2

.

(1.36)

1.6

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

27

Remark 1.11

The parametrisation of a surface is called orthogonal if F = 0:

(ds)

2

= E(u, v)(du)

2

+ G(u, v)(dv)

2

.

In this case the curves x(u, v

0

), x(u

0

, v) on the surface, obtained by fixing one

of the two parameters, are mutually orthogonal. If in addition E = G = g(u, v),

and hence

(ds)

2

= g(u, v)((du)

2

+ (dv)

2

),

the parametrisation is called conformal, since the angle in (1.36) between the

two curves on the surface is equal to the angle between the two curves (1.35)

in the (u, v) plane. It can be proved (cf. Dubrovin et al. 1991a,b) that given a

regular surface, there always exist orthogonal as well as conformal coordinates.

Moreover, the first fundamental form allows one to compute the area of the

surface. Consider the tangent parallelogram defined by the vectors x

u

∆

u and

x

v

∆

v. The total area of this parallelogram is given by

|x

u

∆

u

× x

v

∆

v

| = |x

u

× x

v

| |

∆

u

∆

v

| = EG − F

2

|

∆

u

∆

v

|.

The area of the part S

D

of the surface corresponding to the parameters (u, v)

varying within a bounded domain D is

area (S

D

) =

D

EG

− F

2

du dv.

(1.37)

A very important feature of the first fundamental form of a surface is how it

behaves under coordinate transformations.

T

heorem 1.6 The first fundamental form is a covariant tensor of rank 2 (cf.

Appendix 4).

Proof

Let (u , v ) be a new parametrisation of the surface. From the identities

du =

∂u

∂u

du +

∂u

∂v

dv ,

dv =

∂v

∂u

du +

∂v

∂v

dv

it follows immediately that

(ds)

2

= (du dv)

E

F

F

G

du

dv

= (du dv )J

T

E

F

F

G

J

du

dv

,

(1.38)

where

J =

⎛

⎜

⎝

∂u

∂u

∂u

∂v

∂v

∂u

∂v

∂v

⎞

⎟

⎠ ,

E

F

F

G

= J

T

E

F

F

G

J,

and E , F , G are expressed in terms of the new parameters.

28

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

1.6

Among all the possible curves on a surface, the class of geodesics deserves

special attention. Indeed, we shall see that geodesic curves play a very important

role in mechanics.

Let S be a regular surface, and x(u, v) its parametric representation. Consider

a curve on the surface parametrised with respect to the natural parameter s:

s

→ (u(s), v(s)) → x(u(s), v(s)).

(1.39)

The unit vector t tangent to the curve is given by

t(s) =

dx

ds

(s) = u (s)x

u

(u(s), v(s)) + v (s)x

v

(u(s), v(s))

∈ T

x(u(s),v(s))

S

and the normal unit vector n is given by

n(s) =

1

k(s)

d

2

x

ds

2

=

1

k(s)

(u x

u

+ (u )

2

x

uu

+ 2u v x

uv

+ (v )

2

x

vv

+ v x

v

), (1.40)

where k(s) is the curvature,

x

uu

=

∂

2

x

∂u

2

,

x

uv

=

∂

2

x

∂u∂v

,

x

vv

=

∂

2

x

∂v

2

.

D

efinition 1.18 The curve (1.39) is called a geodesic if at every point of the

curve the unit vector n normal to the curve belongs to the space normal to the

surface, i.e. if

n(s)

∈ (T

x(u(s),v(s))

S)

⊥

(1.41)

for all s, and hence if and only if

n(s)

· x

u

(u(s), v(s)) = 0,

n(s)

· x

v

(u(s), v(s)) = 0.

(1.42)

Remark 1.12

Given a curve with an arbitrary parametrisation, denoting by s = s(t) the time

dependence, its acceleration a is given by the expression (1.12), and the condition

for this curve to be a geodesic consists in this case of imposing the condition

that the acceleration be orthogonal to the surface.

The condition for a curve in the Euclidean space R

3

to be a geodesic is satisfied

by straight lines, for which d

2

x/ds

2

= 0.

Example 1.23

It is easy to convince oneself that the maximal circles are geodesics on the

sphere, while on a cylinder with circular normal section, the geodesics are the

generating lines and helices (cf. Example 1.10), including the ones that degenerate

to circles.

1.6

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

29

From equations (1.40) and (1.42) it is easy to derive a system of ordinary

differential equations which the geodesics must satisfy:

(u x

u

+ (u )

2

x

uu

+ 2u v x

uv

+ (v )

2

x

vv

+ v x

v

)

· x

u

= 0,

(u x

u

+ (u )

2

x

uu

+ 2u v x

uv

+ (v )

2

x

vv

+ v x

v

)

· x

v

= 0.

(1.43)

Recall that E = x

u

· x

u

, F = x

u

· x

v

and G = x

v

· x

v

, and note that

∂E

∂u

= 2x

uu

· x

u

,

∂E

∂v

= 2x

uv

· x

u

,

∂F

∂u

= x

uv

· x

u

+ x

uu

· x

v

,

∂F

∂v

= x

uv

· x

v

+ x

vv

· x

u

,

∂G

∂u

= 2x

uv

· x

v

,

∂G

∂v

= 2x

vv

· x

v

;

hence equations (1.43) become

Eu + F v +

1

2

∂E

∂u

(u )

2

+

∂E

∂v

u v +

∂F

∂v

−

1

2

∂G

∂u

(v )

2

= 0,

F u + Gv +

1

2

∂G

∂v

(v )

2

+

∂G

∂u

u v +

∂F

∂u

−

1

2

∂E

∂v

(u )

2

= 0.

(1.44)

Denoting the matrix representing the first fundamental form by

(g

ij

) =

E

F

F

G

,

(1.45)

and its inverse by

(g

kl

) =

1

EG

− F

2

G

−F

−F

E

,

(1.46)

we can introduce the so-called Christoffel symbols

Γ

k

ij

=

1

2

2

l

=1

g

kl

∂g

lj

∂u

i

+

∂g

il

∂u

j

−

∂g

ij

∂u

l

,

(1.47)

where u

1

= u, u

2

= v. Using Christoffel symbols, one finds that the system of

differential equations (1.44) for the geodesics can be written in the form

d

2

u

k

ds

2

+

2

i,j

=1

Γ

k

ij

du

i

ds

du

j

ds

= 0,

k = 1, 2.

(1.48)

Example 1.24

For a cylinder with generic section x

1

= f

1

(v), x

2

= f

2

(v), x

3

= u and (f

1

)

2

+

(f

2

)

2

= 1, one obtains E = G = 1, F = 0 and equations (1.44) yield u = v = 0,

i.e. u = as + b, v = cs + d, with a, b, c, d arbitrary constants. When c = 0 one

30

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

1.6

obtains the generating lines; a = 0 yields the normal sections; in all other cases

v

− d = c/a (u − b), and hence one finds helices. Since du/ds = a, the geodesics

intersect the generating lines at a constant angle.

Example 1.25

The first fundamental form of a surface of revolution with the parametrisation

x = (u cos v, u sin v, f (u)) can be written as

(ds)

2

= [1 + (f (u))

2

](du)

2

+ u

2

(dv)

2

,

(1.49)

and hence the Christoffel symbols have the values

Γ

1

11

=

f (u)f (u)

1 + (f (u))

2

,

Γ

1

22

=

−

u

1 + (f (u))

2

,

Γ

2

12

=

Γ

2

21

=

1

u

,

while

Γ

1

12

=

Γ

1

21

=

Γ

2

11

=

Γ

2

22

= 0. The geodesic equation (1.48) on the surface is

thus equivalent to the system

d

2

u

ds

2

+

f (u)f (u)

1 + (f (u))

2

du

ds

2

−

u

1 + (f (u))

2

dv

ds

2

= 0,

d

2

v

ds

2

+

2

u

du

ds

dv

ds

= 0.

(1.50)

The second of equations (1.50) can be rewritten as

1

u

2

d

ds

u

2

dv

ds

= 0,

from which it follows that there exists a constant c

∈ R such that for every s

u

2

dv

ds

= c,

(1.51)

and hence, if c =

/ 0,

ds =

1

c

u

2

dv.

Substituting the latter expression into the first fundamental form (1.49) one

obtains the relation

u

4

(dv)

2

= c

2

[1 + (f (u))

2

](du)

2

+ c

2

u

2

(dv)

2

;

(1.52)

this leads to the elimination of ds and one can hence consider v as a function

of u. The geodesics on a surface of revolution thus have the implicit form

v

− v

0

=

±c

u

u

0

1 + (f (ξ))

2

ξ

ξ

2

− c

2

dξ.

(1.53)

If c = 0, from equation (1.51) it follows that u

2

(dv/ds) = 0, i.e. that v is

constant: the meridians are geodesic curves. On the other hand, the parallels

1.6

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

31

(the curves corresponding to u = constant) are geodesics only if

u

1 + (f (u))

2

dv

ds

2

= 0,

d

2

v

ds

2

= 0,

i.e. only if dv/ds is in turn constant, and if dx

3

/du = f (u) =

∞, which implies

that along the given parallel, the planes tangent to the surface envelop a cylinder

whose generator lines are parallel to the x

3

-axis. The relation (1.51) has an

interesting consequence. Let α be the angle between the geodesic (u(s), v(s)) at

s = s

0

and the meridian v = v(s

0

) (Fig. 1.16). It is immediate to verify that

u(s

0

)

dv

ds

(s

0

) = sin α,

x

3

(m)

v

f (u)

v

O

( p): parallel, ( m): meridian, ( g): geodesic

( p)

(g)

a

Fig. 1.16 Geodesics on a surface of revolution.

32

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

1.6

since the unit vector tangent to the parallel is simply (

− sin v, cos v, 0); hence

substituting in the expression (1.51) we obtain Clairaut’s theorem:

u(s) sin α(s) = c.

(1.54)

Hence the geodesic must lie in the region u(s)

≥ |c|.

In the case of a surface of revolution, with a cusp at infinity, i.e. such that

lim

u

→0

f (u) =

∞ (Fig. 1.17), every geodesic, after attaining the minimum value of

u allowed by equation (1.54), reverses the motion (along the x

3

-axis) and comes

back into the region corresponding to values of u satisfying

|u| > |c|.

Fig. 1.17 Reversal of geodesics on a surface of revolution.

1.7

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

33

It is possible to prove that geodesics on a surface of revolution which are

neither meridians nor closed curves are dense in the region u

≥ |c|.

1.7

Differentiable Riemannian manifolds

Let x be a point in Euclidean n-dimensional space R

n

, and let f

1

, . . . , f

m

be m

regular real-valued functions defined on the same connected open subset A

⊂ R

n

.

Just as the level set of a real function of three real variables identifies a surface

in Euclidean three-dimensional space, the level sets of any of the functions

f

j

identify a (hyper)surface in R

n

. With the requirement that x lies in the

intersection (supposed non-empty) of the level sets of all the functions f

j

, one

identifies a submanifold of R

n

. In analogy with the notion of a regular surface

introduced in the previous section, as a surface endowed with a tangent plane to

all of its points, we can introduce the notion of a regular submanifold of R

n

by

imposing the condition that at each of its points there is defined a tangent plane

(and a normal space). The dimension of the submanifold is then defined as the

dimension of its tangent space. These sketchy introductory remarks justify the

following definition.

D

efinition 1.19 Let A be an open connected subset of R

n

, n > 1, and f : A

→

R

n

−l

, 1

≤ l < n, a map of class C

k

, k

≥ 2. The zero level set V = {x ∈ A|f(x) = 0}

of f , assumed non-empty, is called a regular submanifold of R

n

of class

C

k

and

of dimension l if the Jacobian matrix of the map f is of maximal rank (hence if

its rank is equal to n

− l) at every point of V .

Remark 1.13

Evidently the condition that the Jacobian matrix of f = (f

1

, . . . , f

n

−l

) be of

rank n

− l at every point of V is equivalent to requiring that the gradient vec-

tors

∇

x

f

1

, . . . ,

∇

x

f

n

−l

be an (n

− l)-tuple of vectors in R

n

which are linearly

independent on V .

Consider as an example the case shown in Fig. 1.18, for which n = 3, l = 1,

f = (f

1

, f

2

), where

f

1

(x

1

, x

2

, x

3

) = x

3

− x

2

1

+ x

2

2

,

f

2

(x

1

, x

2

, x

3

) = x

2

1

+ x

2

2

+ x

2

3

− 1.

The set V is a circle. Note that the vectors

∇f

1

=

−x

1

x

2

1

+ x

2

2

,

−x

2

x

2

1

+ x

2

2

, 1

,

∇f

2

= 2(x

1

, x

2

, x

3

)

are linearly independent on V .

This definition includes in particular plane regular curves (n = 2, l = 1), regular

curves in R

3

(n = 3, l = 1), considered as the intersection of two non-tangential

surfaces, and regular surfaces in R

3

(n = 3, l = 2).

34

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

1.7

x

3

x

1

x

2

∇F

2

∇F

1

1

2

Fig. 1.18

D

efinition 1.20 The tangent space T

P

V to a regular submanifold V at the

point P is the l-dimensional vector space of the velocities ˙x(t

0

) along the curves

x(t) belonging to V (hence such that f (x(t)) = 0 for every t) and passing through

P for t = t

0

.

Remark 1.14

It is easy to verify that T

P

V coincides with the vector space generated by

the vectors which are orthogonal to the gradients

∇

x

f

1

(P ), . . . ,

∇

x

f

n

−l

(P ) (cf.

Theorem 1.5). The latter will be called a basis of the normal space to V in P .

Having chosen a local parametrisation x = x(u

1

, . . . , u

l

) of V , whose existence

is guaranteed by the implicit function theorem, the tangent space at a point P

of V has as a basis the vectors x

u

1

, . . . , x

u

l

, where

x

u

i

=

∂x

∂u

i

(1.55)

and derivatives are computed at the point P .

Example 1.26

The sphere S

l

of unit radius is the regular submanifold of R

l

+1

defined by

f (x

1

, . . . , x

l

+1

) = x

2

1

+

· · · + x

2

l

+1

− 1 = 0.

The tangent space at one of its points P , with coordinates (x

1

, . . . , x

l

+1

), is the

hyperplane of R

l

+1

described by the equation

x

· x = 0.

1.7

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

35

Example 1.27

The group of real n

× n matrices A with unit determinant, denoted by SL(n, R),

is a regular submanifold of R

n

2

of dimension n

2

− 1, defined by the equation

det(A) = 1.

Its tangent space at the point corresponding to the identity matrix can be

identified with the space of n

× n matrices of zero trace. Indeed, if A(t) is any

curve in SL(n, R) passing through the identity at t = 0, and thus such that

A(0) = 1, we have that

0 =

d

dt

det A(t)

|

t

=0

= Tr ˙

A(0).

Indeed, if we set X = ˙

A(0) we have that det A(t) = det(1 + tX) +

O (t) =

1 + t Tr X +

O (t).

Example 1.28

The group of real orthogonal n

× n matrices A, denoted by O(n), is a regular

submanifold of R

n

2

of dimension n(n

− 1)/2 defined by the system of equations

AA

T

= 1.

Its tangent space at the point corresponding to the identity matrix can be

identified with the vector space of n

×n skew-symmetric matrices (cf. Lemma 1.1).

The connected component of O(n) containing the identity matrix coincides with

the group SO(n) of orthogonal matrices of unit determinant.

We now turn to the problem of parametrising regular submanifolds.

We have already remarked that for surfaces in R

3

it is not possible in general

to give a global parametric representation. For example, the sphere S

2

is a regular

submanifold of R

3

, but the parametrisation given by the spherical coordinates

x

1

= (sin u

1

cos u

2

, sin u

1

sin u

2

, cos u

1

) is singular at the points (0, 0, 1) and

(0, 0,

−1). A regular parametrisation at those points is given instead by x

2

=

(cos u

1

, sin u

1

cos u

2

, sin u

1

sin u

2

), which however is singular at (1, 0, 0) and

(

−1, 0, 0).

Hence there exist two regular injective maps x

1

, x

2

defined on R = (0, π)

×

[0, 2π) such that S

2

= x

1

(R)

∪ x

2

(R). Moreover, if we consider the intersection

W = x

1

(R)

∩ x

2

(R) = S

2

\{(0, 0, 1), (0, 0, −1), (1, 0, 0), (−1, 0, 0)}, the preimages

x

−1

1

(W ) = R

\{(π/2, 0), (π/2, π)} and x

−1

2

(W ) = R

\{(π/2, π/2), (π/2, 3π/2)} are

set in one-to-one correspondence by the map x

−1

2

◦ x

1

, which expresses u

1

, u

2

as

functions of u

1

, u

2

, and by its inverse x

−1

1

◦ x

2

.

In summary, these are the properties of any ‘good’ parametrisation of a regular

submanifold. We can now consider the problem of parametric representation in a

more general context, by referring to a set M which is not necessarily endowed

with a metric structure, as in the case of regular submanifolds of R

n

.

D

efinition 1.21 A differentiable manifold of dimension l and class C

k

consists

of a non-empty set M and of a family of injective maps x

α

: U

α

⊂ R

l

→ M, with

36

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

1.7