Analytical Mechanics This page intentionally left blank

x

a

(U

a

)

x

b

(U

b

)

x

b

x

a

x

a

–1

(W )

x

b

–1

˚ x

a

x

b

–1

(W )

x

a

–1

˚ x

b

U

a

⊂ Rl

U

b

⊂ Rl

W

M

Fig. 1.19

U

α

open and connected and α

∈ A =

/

∅ such that:

(a)

α

∈A

x

α

(U

α

) = M ;

(b) for any α and β in

A, if x

α

(U

α

)

∩ x

β

(U

β

) = W =

/

∅ the sets x

−1

α

(W ) and

x

−1

β

(W ) are open subsets of R

l

and the maps x

−1

β

◦ x

α

and x

−1

α

◦ x

β

(inverses

of each other) are differentiable maps of class

C

k

.

The pair (U

α

, x

α

) (or the map x

α

) is called a local parametrisation or a chart

of M , while a family

{(U

α

, x

α

)

}

α

∈A

with the properties listed in the definition is

called a differentiable structure on M or an atlas of M (Fig. 1.19).

In the example of the sphere in R

3

,

A is the set of indices {1, 2}.

The set

A may have only one element if the representation of M is global.

Evidently the Euclidean space R

l

endowed with the differential structure

induced by the identity map is a differentiable manifold of dimension l.

Example 1.29

Consider the l-dimensional sphere

S

l

=

{(x

1

, . . . , x

l

, x

l

+1

)

∈ R

l

+1

|x

2

1

+

· · · + x

2

l

+1

= 1

}

with the atlas given by the stereographic projections π

1

: S

l

\{N} → R

l

and

π

2

: S

l

\{S} → R

l

from the north pole N = (0, . . . , 0, 1) and from the south pole

1.7

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

37

S = (0, . . . , 0,

−1), respectively:

π

1

(x

1

, . . . , x

l

, x

l

+1

) =

x

1

1

− x

l

+1

, . . . ,

x

l

1

− x

l

+1

,

π

2

(x

1

, . . . , x

l

, x

l

+1

) =

x

1

1 + x

l

+1

, . . . ,

x

l

1 + x

l

+1

.

It is immediate to verify that the parametrisations (R

l

, π

−1

1

), (R

l

, π

−1

2

) define

the structure of a differentiable manifold.

Comparing this with the definition of a regular submanifold of R

n

, we note

that the common feature of both definitions is the existence of local regular

parametrisations (i.e. parametrisations without singular points). Indeed, we have

the following.

T

heorem 1.7 Every regular l-dimensional submanifold V of R

n

is a differenti-

able manifold.

Proof

It follows from the implicit function theorem that to every point p of V one can

associate an open neighbourhood A

⊂ R

n

, a point u of R

l

, an open neighbour-

hood U of u and a differentiable, invertible map x

p

: U

→ V such that x

p

(u) = p

and x

p

(U ) = V

∩ A, and hence a local parametrisation of V (Fig. 1.20).

Consider now the pairs (U

p

, x

p

) as p varies in V ; clearly the conditions of

Definition 1.21 are satisfied, and thus

{(U

p

, x

p

)

}

p

∈V

is an atlas for V .

V

u

x

A

p = x(u)

x(U )

U

Fig. 1.20

38

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

1.7

Remark 1.15

The definition of a differentiable manifold naturally yields a topological space

structure: we will say that a subset A of M is open if x

−1

α

(A

∩ x

α

(U

α

)) is an

open subset of R

l

for every α

∈ A. Hence a subset K of M is compact if every

covering of K with open sets A has a finite subcovering. The manifold M is

connected if for any two points P

1

, P

2

∈ M there exists a finite sequence of

charts

{(U

j

, x

j

)

}

j

=1,...,N

such that P

1

∈ x

1

(U

1

), P

N

∈ x

N

(U

N

), the open sets U

j

are connected and U

j

∩ U

j

+1

=

/

∅ for every j = 1, . . . , N − 1.

Remark 1.16

With the topology induced by the differentiable structure, the manifold M is

separable (i.e. every pair of points m

1

, m

2

in M has two open disjoint neigh-

bourhoods A

1

and A

2

, m

1

∈ A

1

and m

2

∈ A

2

) and the topology has a countable

base (there is no loss of generality in assuming that

A is countable).

D

efinition 1.22 A differentiable manifold M is orientable if it admits a dif-

ferentiable structure

{(U

α

, x

α

)

}

α

∈A

such that for every pair α, β

∈ A with

x

α

(U

α

)

∩ x

β

(U

β

) =

/

∅ the Jacobian of the change of coordinates x

−1

α

◦ x

β

is

positive. Otherwise the manifold is called non-orientable.

D

efinition 1.23 Let M

1

and M

2

be two differentiable manifolds of dimension

l and m, respectively. A map g : M

1

→ M

2

is differentiable at a point p

∈ M

1

if given an arbitrary parametrisation y : V

⊂ R

m

→ M

2

with y(V )

g(p),

there exists a parametrisation x : U

⊂ R

l

→ M

1

with x(U )

p, such that

g(x(U ))

⊂ y(V ) and the function

y

−1

◦ g ◦ x : U ⊂ R

l

→ V ⊂ R

m

(1.56)

is differentiable in x

−1

(p) (Fig. 1.21). The map g is differentiable in an open

subset of M

1

if it is differentiable at every point of the subset.

x

–1

( p)

g( p)

y

–1

˚ g ˚ x

y

–1

˚

g ˚

x(U

)

V

U

g

p

x(U )

y(V )

M

1

g(M

1

)

M

2

Fig. 1.21

1.7

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

39

Note that by choosing M

2

= R this defines the notion of a differentiable map

(in an obvious way we can also define the notion of a map of class

C

k

or

C

∞

)

from M to R.

If we denote by f = (f

1

, . . . , f

m

) the map (1.56), we have v

i

= f

i

(u

1

, . . . , u

l

),

i = 1, . . . , m, where f

i

are differentiable functions.

D

efinition 1.24 A curve on a manifold M is a differentiable map

γ : (a, b)

→ M.

If (U, x) is a local parametrisation of M in a neighbourhood of a point p = x(0),

we can express a curve γ : (

−ε, ε) → M using the parametrisation

(x

−1

◦ γ)(t) = (u

1

(t), . . . , u

l

(t))

∈ U.

(1.57)

In spite of the fact that M has no metric structure, we can define at every

point p of the curve the velocity vector through the l-tuple ( ˙

u

1

, . . . , ˙

u

l

). It

is then natural to consider the velocity vectors corresponding to the l-tuples

(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1). We denote these vectors by the symbols

∂

∂u

1

, . . . ,

∂

∂u

l

;

the generic velocity vector is expressed in the form of a linear combination

˙x =

l

i

=1

˙

u

i

∂x

∂u

i

,

(1.58)

exactly as in the case of a regular l-dimensional submanifold.

It is now easy to show that for p

∈ M and v ∈ T

p

M , it is possible to find a

curve γ : (

−ε, ε) → M such that γ(0) = p and ˙γ(0) = v. Indeed, it is enough to

consider the decomposition

v =

l

i

=1

v

i

∂x

∂u

i

(0)

for some local parametrisation (U, x), and to construct a map µ : (

−ε, ε) → U

such that its components u

i

(t) have derivatives u

i

(0) = v

i

. The composite map

x

◦ µ hence defines the required function γ (Fig. 1.22).

D

efinition 1.25 The tangent space T

p

M to a differentiable manifold M at a

point p is the space of vectors tangent to the curves on M passing through p.

The notion of a tangent space allows us to define the differential of a dif-

ferentiable map g between two differentiable manifolds M

1

, M

2

. Given a point

p

∈ M

1

, we define a linear map between T

p

M

1

and T

g

(p)

M

2

. Consider a curve

γ : (

− , ) → M

1

, such that γ(0) = p and ˙γ(0) = v, the given element of T

p

M

1

.

The map g defines a curve on M

2

through β = g

◦ γ. It is natural to associate

with v

∈ T

p

M

1

the vector w = ˙

β(0)

∈ T

g

(p)

M

2

.

40

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

1.7

–«

0

«

g

p

M

U

p = x(0) = g(0)

x

–1

x

dg

dt

(x

–1

˚ γ) (t)

0

Fig. 1.22

The construction of the vector w is easy after remarking that, if the curve

γ(t) on M

1

possesses the local parametrisation (u

1

(t), . . . , u

l

(t)), then the curve

β(t) on M

2

has the parametrisation (v

1

(t), . . . , v

m

(t)), where v

i

= f

i

(u

1

. . . . , u

l

),

i = 1, . . . , m (cf. (1.56)). Hence if the vector v = ˙γ(0) is characterised with

respect to the basis

∂

∂u

1

, . . . ,

∂

∂u

l

by having components ( ˙

u

1

(0), . . . , ˙

u

l

(0)), the vector w = ˙

β(0) with respect to the

basis

∂

∂v

1

, . . . ,

∂

∂v

m

has components ( ˙v

1

(0), . . . , ˙v

m

(0)), where

˙v

i

(0) =

l

j

=1

∂f

i

∂u

j

(u

1

(0), . . . , u

l

(0)) ˙

u

j

(0).

We can thus give the following definition.

D

efinition 1.26 Let g : M

1

→ M

2

be a differentiable map between the differ-

entiable manifolds M

1

, M

2

of dimension l, m, respectively. The linear map which

with every v

∈ T

p

M

1

, defined by v = ˙γ(0), associates w

∈ T

g

(p)

M

2

, defined by

w = ˙

β(0), with β = g

◦ γ, is the differential dg

p

: T

p

M

1

→ T

g

(p)

M

2

.

We showed that the map dg

p

acts on the components of the vectors in T

p

M

1

as

the row-by-column product with the Jacobian matrix ∂(f

1

, . . . , f

m

)/∂(u

1

, . . . , u

l

).

1.7

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

41

This happens in particular when the map is the change of parametrisation on a

manifold (the Jacobian is in this case a square matrix).

D

efinition 1.27 Let M

1

and M

2

be two differentiable manifolds, both of dimen-

sion l. A map g : M

1

→ M

2

is a diffeomorphism if it is differentiable, bijective

and its inverse g

−1

is differentiable; g is a local diffeomorphism at p

∈ M

1

if

there exist two neighbourhoods, A of p and B of g(p), such that g : A

→ B is a

diffeomorphism.

Applying the theorem of local invertibility, it is not difficult to prove the

following.

T

heorem 1.8 Let g : M

1

→ M

2

be a differentiable map, and let p

∈ M

1

be such

that dg

p

: T

p

M

1

→ T

g

(p)

M

2

is an isomorphism. Then g is a local diffeomorphism.

Given a differentiable manifold M of dimension , the set of its tangent spaces

T

p

M when p varies inside M has a natural structure as a differentiable manifold.

Indeed, if

{(U

α

, x

α

)

}

α

∈A

is an atlas for M and we indicate by (u

(α)

1

, . . . , u

(α)

) the

local coordinates of U

α

, at every point of U

α

the vectors e

(α)

i

= ∂/∂u

(α)

i

when

i = 1, . . . ,

are a basis for the tangent space of M , and every tangent vector

v

∈ T

p

M can be written as

v =

i

=1

v

(α)

i

∂

∂u

(α)

i

p

.

D

efinition 1.28 We call the tangent bundle of M, denoted by T M, the

differentiable manifold of dimension 2 :

T M =

p

∈M

{p} × T

p

M

(1.59)

with the differentiable structure

{(U

α

× R , y

α

)

}

α

∈A

, where y

α

(u

(α)

, v

(α)

) =

(x

α

(u

(α)

), v

(α)

), with u

(α)

∈ U

α

being the vector of local coordinates in U

a

and v

(α)

is a vector in the tangent space at a point x

α

(u

(α)

). The manifold M

is called the base space of the tangent bundle.

The map π : T M

→ M which associates with every point (p, v) ∈ T M the

point p itself (at which v is tangent to M : v

∈ T

p

M ) is called the projection

onto the base. Clearly

T

p

M = π

−1

(p),

(1.60)

and T

p

M is also called the fibre corresponding to the point p of the tangent bundle.

The notion of a tangent bundle of a manifold is important as it allows one to

extend to manifolds the notions of a vector field and a differential equation.

D

efinition 1.29 A (tangent) vector field on M is a map X : M → T M which

associates with every point p

∈ M a vector v

p

∈ T

p

M in a differentiable way, i.e.

it is a differentiable map X such that π(X(p)) = p,

∀p ∈ M.

42

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

1.7

For a given vector field, the integral curves are the curves γ : (a, b)

→ M

such that

˙γ(t) = X(γ(t)).

(1.61)

It is now natural to consider the problem of integrating differential equations

on a manifold.

Recalling equation (1.58), equation (1.61) can be written as a system of first-

order differential equations: namely, if X is given in the form

X(p) =

i

=1

α

i

(u

1

, . . . , u )

∂x

∂u

i

,

with p = x(u), then equation (1.61) is simply

˙

u

i

(t) = α

i

(u

1

(t), . . . , u (t)),

i = 1, . . . , .

Example 1.30

Let M be the unit sphere; consider the parametrisation

x = (sin u

1

cos u

2

, sin u

1

sin u

2

, cos u

1

),

with the tangent vectors

∂x

∂u

1

= (cos u

1

cos u

2

, cos u

1

sin u

2

,

− sin u

1

),

∂x

∂u

2

= (

− sin u

1

sin u

2

, sin u

1

cos u

2

, 0).

A vector field tangent over M takes the form

α

1

(u

1

, u

2

)

∂x

∂u

1

+ α

2

(u

1

, u

2

)

∂x

∂u

2

.

For example, if α

1

= constant, α

2

= constant the integral curves are given by

u

1

(t) = α

1

t + u

(0)

1

, u

2

(t) = α

2

t + u

(0)

2

.

We now extend the fundamental notion of a metric to differentiable manifolds.

D

efinition 1.30 A Riemannian metric on a differentiable manifold M of dimen-

sion

is a symmetric, positive definite bilinear form ( , )

p

defined in the tangent

space T

p

M , which has differentiable dependence on p. A differentiable manifold

with a given Riemannian metric is called a Riemannian manifold.

Example 1.31

The first fundamental form (1.34) is a Riemannian metric for any regular

surface in R

3

.

1.7

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

43

Let x : U

→ M be a local parametrisation in p ∈ M with local coordinates

(u

1

, . . . , u ). We saw that at every point q

∈ x(U), q = x(u

1

, . . . , u ), the vectors

e

i

(q) =

∂

∂u

i q

,

i = 1, . . . , ,

are a basis for T

q

M . If ( , )

p

is a Riemannian metric on M the functions

g

ij

(u

1

, . . . , u ) = (e

i

(q), e

j

(q))

q

(1.62)

are differentiable in U for every i, j = 1, . . . , . Evidently g

ij

= g

ji

and if

(u

1

, . . . , u ) is a new local parametrisation, compatible with the former one,

setting g

ij

= (e

i

(q), e

j

(q))

q

we have

g

ij

=

m,n

=1

J

mi

g

mn

J

nj

,

(1.63)

where J

mi

= ∂u

m

/∂u

i

. Hence a Riemannian metric defines a symmetric covariant

tensor of order 2 on the manifold (cf. Appendix 4). In analogy with the case of

surfaces, we write

(ds)

2

=

i,j

=1

g

ij

(u

1

, . . . , u ) du

i

du

j

.

(1.64)

It is possible to prove that every differentiable manifold can be endowed

with a Riemannian metric. Using this metric, one can define—in analogy with

equation (1.32)—the notion of the length of a curve over M and of the arc length

parameter s.

We can also say that the metric tensor g

ij

(u) defines the scalar product in

T

p

M and hence the norm of a vector in T

p

M . In particular, on the curve

(u

1

(s), . . . , u

l

(s)) written with respect to the natural parametrisation, the tangent

vector has unit norm.

Example 1.32

The Lobaˇ

cevskij half-plane is the Riemannian manifold given by

{(x

1

, x

2

)

∈

R

2

|x

2

> 0

} with the usual differentiable structures (H is an open set of R

2

) and

the metric

(ds)

2

=

(dx

1

)

2

+ (dx

2

)

2

x

2

2

,

i.e. g

11

= g

22

= 1/x

2

2

, g

12

= g

21

= 0. A curve γ : (a, b)

→ H, γ(t) = (x

1

(t), x

2

(t))

has length

=

b

a

1

x

2

(t)

˙

x

2

1

(t) + ˙

x

2

2

(t) dt.

44

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

1.7

For example, if γ(t) = (c, t) we have

=

b

a

dt

t

= log

b

a

.

D

efinition 1.31 Let M and N be two Riemannian manifolds. A diffeomorphism

g : M

→ N is an isometry if

(v

1

, v

2

)

p

= (dg

p

(v

1

), dg

p

(v

2

))

g

(p)

(1.65)

for every p

∈ M and v

1

, v

2

∈ T

p

M . If N = M , g is called an isometry of M .

It is not difficult to prove that the isometries of a Riemannian manifold form

a group, denoted Isom(M ).

Example 1.33

Let M = R be endowed with the Euclidean metric. The isometry group of R

contains translations, rotations and reflections.

Example 1.34

Consider the sphere S as immersed in R

+1

, with the Riemannian metric induced

by the Euclidean structure of R

+1

. It is not difficult to prove that Isom(S ) =

O( + 1), the group of ( + 1)

× ( + 1) orthogonal matrices.

Example 1.35

Consider the Lobaˇ

cevskij plane H. Setting z = x

1

+ ix

2

(where i =

√

−1) the

mappings

w =

az + b

cz + d

,

(1.66)

with a, b, c, d

∈ R, ad − bc = 1, are isometries of H. Indeed,

(ds)

2

=

(dx

1

)

2

+ (dx

2

)

2

x

2

2

=

−4

dz dz

(z

− z)

2

.

To prove that (1.66) is an isometry, we compute

4

dw dw

(w

− w)

2

= 4

dw

dz

dw

dz

dz dz

az

+b

cz

+d

−

az

+b

cz

+d

2

.

(1.67)

Immediately one can verify that

dw

dz

=

1

(cz + d)

2

,

dw

dz

=

1

(cz + d)

2

,

and that

az + b

cz + d

−

az + b

cz + d

=

z

− z

(cz + d)(cz + d)

.

1.7

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

45

Substituting these relations into (1.67) yields

4

dw dw

(w

− w)

2

= 4

dz dz

(cz + d)

2

(cz + d)

2

(cz + d)

2

(cz + d)

2

(z

− z)

2

= 4

dz dz

(z

− z)

2

.

Among all curves on a Riemannian manifold M we now consider the particular

case of the geodesics.

D

efinition 1.32 Given a local parametrisation (u

1

, . . . , u ) of M , and denoting

by s the natural parameter along the curve, a geodesic s

→ (u

1

(s), . . . , u (s)) is a

solution of the system of equations

d

2

u

k

ds

2

+

i,j

=1

Γ

k

ij

du

i

ds

du

j

ds

= 0,

k = 1, . . . , ,

(1.68)

where the Christoffel symbols

Γ

k

ij

are given by

Γ

k

ij

=

1

2

n

=1

g

kn

∂g

ni

∂u

j

+

∂g

nj

∂u

i

−

∂g

ij

∂u

n

(1.69)

and (g

kn

) is the matrix inverse to (g

ij

), which defined the metric (1.64).

We shall consider in Chapter 9 the geometric interpretation of these equations,

which are obviously an extension of equations (1.47), (1.48).

Example 1.36

The Christoffel symbols corresponding to the Riemannian metric of the

Lobaˇ

cevskij half-plane are

Γ

1

12

=

Γ

1

21

=

−

1

x

2

,

Γ

2

11

=

1

x

2

,

Γ

2

22

=

−

1

x

2

,

while

Γ

1

11

=

Γ

1

22

=

Γ

2

12

=

Γ

2

21

= 0. The geodesic equations are then given by the

system

d

2

x

1

ds

2

−

2

x

2

dx

1

ds

dx

2

ds

= 0,

d

2

x

2

ds

2

+

1

x

2

dx

1

ds

2

−

1

x

2

dx

2

ds

2

= 0.

The first equation can be written as

x

2

2

d

ds

1

x

2

2

dx

1

ds

= 0;

it follows that there exists a constant c

∈ R such that

dx

1

ds

= cx

2

2

.

If c = 0 it follows that x

1

= constant, and hence vertical lines are geodesics.

46

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

1.8

Otherwise, substituting

d

ds

= cx

2

2

d

dx

1

into the second geodesic equation yields

x

2

d

2

x

2

dx

2

1

+

dx

2

dx

1

2

+ 1 = 0.

The general integral of this equation is given by x

2

=

R

2

− (x

1

− A)

2

, and

hence the geodesics corresponding to the values of c = 0 are semicircles with the

centre on the x

1

-axis (i.e. on ∂H).

Remark 1.17

Geodesics are invariant under any isometry of a Riemannian manifold. Indeed,

thanks to (1.65) the Christoffel symbols (1.69) do not change. More generally,

if g : M

→ N is an isometry, the geodesics on N are the images, through the

isometry g, of geodesics on M and vice versa (cf. Problem 13.29).

1.8

Actions of groups and tori

One way of constructing a differentiable manifold M from another manifold M

is to consider the quotient of M with respect to an equivalence relation. This

situation occurs frequently in mechanics.

D

efinition 1.33 A group G acts (to the left) on a differentiable manifold M if

there exists a map ϕ : G

× M → M such that:

(a) for every g

∈ G the map ϕ

g

: M

→ M, ϕ

g

(p) = ϕ(g, p), where p

∈ M, is a

diffeomorphism;

(b) if e denotes the unit element in G, ϕ

e

= identity;

(c) for any choice of g

1

, g

2

∈ G, ϕ

g

1

g

2

= ϕ

g

1

ϕ

g

2

.

The action of G on M is free if for every p

∈ M the unit element e ∈ G is the

only element of G such that ϕ

e

(p) = p. The action is discontinuous if every point

p

∈ M has a neighbourhood A ⊂ M such that A ∩ ϕ

g

(A) =

∅ for every g ∈ G,

g =

/ e.

The action of a group on a manifold determines an equivalence relation on the

manifold.

D

efinition 1.34 Two points p

1

, p

2

∈ M are equivalent (denoted p

1

∼ p

2

) if and

only if there exists an element g

∈ G such that p

2

= ϕ

g

(p

1

).

Two points of the manifold are equivalent if they belong to the same orbit

Gp =

{ϕ

g

(p)

|g ∈ G}. The orbits of the points of M under the action of the group

G are the equivalence classes [p] = Gp =

{p ∈ M|p ∼ p}.

1.8

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

47

The quotient space

M /G =

{[p]|p ∈ M},

(1.70)

with respect to the equivalence relation introduced, is a topological space, with

the topology induced by the requirement that the projection

π : M

→ M/G, π(p) = [p]

(1.71)

is continuous and open (hence the open subsets of M /G are the projections of

the open subsets of M ).

It is not difficult to prove (cf. Do Carmo 1979) the following.

T

heorem 1.9 Let M be a differentiable manifold and let ϕ : G × M → M be

the free discontinuous action of a group G on M . The quotient M = M /G is a

differentiable manifold and the projection π : M

→ M is a local diffeomorphism.

Proof

A local parametrisation of M /G is obtained by considering the restrictions of

the local parametrisations x : U

→ M to open neighbourhoods U ⊂ R

l

of

x

−1

(p), where p

∈ x(U), such that x(U) ∩ ϕ

g

(x(U )) =

∅ for every g ∈ G,

g =

/ e. We can then define the atlas of M /G through the charts (U, x), where

x = π

◦ x : U → M/G (notice that, by the choice of U, π|

x(U)

is injective). We

leave it as a problem for the reader to verify that these charts define an atlas.

Example 1.37

The group 2πZ acts on R

2

as a group of translations: ϕ

k

(x

1

, x

2

) = (x

1

+

+ 2πk, x

2

). The action is free and discontinuous, and the quotient is diffeomorphic

to the cylinder S

1

× R.

Example 1.38

The group (2πZ)

l

(whose elements are the vectors of R

l

of the form 2πm,

where m

∈ Z

l

) acts on R

l

as the translation group: ϕ(x) = x + 2πm. It is

easy to verify that the action is free and discontinuous, and that the quotient

R

l

/(2πZ)

l

is a compact and connected differentiable manifold of dimension l

called the l-dimensional torus T

l

. Its elements are the equivalence classes [x] of

l-tuples of real numbers x = (x

1

, . . . , x

l

) with respect to the equivalence relation

x

∼ y ⇔ x − y ∈ (2πZ)

l

, and hence if and only if (x

j

− y

j

)/2π is an integer for

every j = 1, . . . , l. A geometric representation of T

l

is obtained by considering

the cube of side 2π in R

l

, identifying opposites sides (Fig. 1.23).

An alternative way to construct a manifold is to start from two manifolds

M

1

and M

2

(of dimension l

1

and l

2

, respectively) and consider their Cartesian

product, endowed with the product topology.

T

heorem 1.10 The Cartesian product M

1

× M

2

is a differentiable manifold of

dimension l

1

+ l

2

called the product manifold of M

1

and M

2

.

48

Geometric and kinematic foundations of Lagrangian mechanics

1.8

10p

8p

6p

4p

2p

–2p

–4p –2p

2p

4p

6p

8p

10p 12p