Analytical Mechanics This page intentionally left blank

v

p

L

0

Fig. 7.6 Poinsot motion.

To complete the proof we only need to show that the plane π is fixed. We

compute the distance h from O:

h =

|A − O| cos α = |A − O|

ω · L

0

ωL

0

.

Recalling now (7.9), which gives the construction of the ellipsoid of inertia, we

find that

|A − O| = λ/

√

I, where I is the moment of inertia with respect to the

axis of instantaneous rotation. Since

ω · L

0

= Iω

2

= 2T = 2T

0

, it follows that

h =

λ

L

0

ω · L

0

(Iω

2

)

1/2

=

λ

L

0

(2T

0

)

1/2

.

(7.55)

Hence the plane π has prescribed orientation and distance from O, and is therefore

fixed. Since the contact point between the ellipsoid and the plane lies on the axis

of instantaneous rotation, the ellipsoid does not slide.

C

orollary 7.2 The motion is determined by the rotation of a curve moving

with the ellipsoid of inertia (polhode) on a fixed plane curve (herpolhode).

Remark 7.4

The polhode is the intersection of the body Poinsot cone with the ellipsoid

of inertia and the herpolhode is the intersection of the fixed Poinsot cone with

the fixed plane.

The equations of these curves can be obtained by remarking that a polhode

is the locus of the points of the ellipsoid of inertia with the property that the

plane tangent to the ellipsoid at these points has a fixed distance h from O.

In the principal frame of inertia the equations of this locus are

3

i

=1

J

i

x

2

i

= λ

2

,

(7.56)

3

i

=1

J

i

(

J

i

− J

0

)x

2

i

= 0,

(7.57)

7.8

The mechanics of rigid bodies: dynamics

253

where we define

J

0

= (λ/h)

2

.

(7.58)

Equation (7.57) is the equation of the body Poinsot cone.

For a generic ellipsoid (

J

1

<

J

2

<

J

3

) the maximal axis is in the x

1

direction,

and the minimal axis is in the x

3

direction. Let h

max

, h

med

, h

min

be the lengths

of the three semi-axes. Then the constant h, determined by the initial conditions,

varies in the interval [h

min

, h

max

] and correspondingly

J

0

∈ [J

1

,

J

3

].

In the extreme cases h = h

min

(

J

0

=

J

3

), h = h

max

(

J

0

=

J

1

), equation (7.57)

implies that the polhodes degenerate to the vertices of the minimal or maximal

axes, respectively. The other degenerate case is h = h

med

(

J

0

=

J

2

), because in

this case we do not have the x

2

term in equation (7.57), which then represents

the pair of planes

J

1

(

J

1

− J

2

)x

1

± J

3

(

J

3

− J

2

)x

3

= 0,

(7.59)

symmetrically intersecting on the axis x

2

. These planes produce four arcs of an

ellipse on the ellipsoid of inertia, called limiting polhodes. These arcs are separated

by the vertices on the intermediate axis, which are degenerate polhodes (Fig. 7.7).

In the generic case, the polhodes can be classified into two classes:

(a) h

min

< h < h

med

(

J

2

<

J

0

<

J

3

), the body Poinsot cone has as axis the

minimal axis of the ellipsoid of inertia;

Polhodes around the

maximal axis

Polhode degenerating

on the median axis

Limiting polhodes

Polhodes around

the minimal axis

x

2

x

1

x

3

Fig. 7.7 Classification of polhodes.

254

The mechanics of rigid bodies: dynamics

7.9

(b) h

med

< h < h

max

(

J

1

<

J

0

<

J

2

), the body Poinsot cone has as axis the

maximal axis of the ellipsoid of inertia.

The limiting polhodes are the separatrices of the two families.

As we have already noted in Section 7.7, the phase space for Euler equations

can be identified in the case of precessions by inertia with the space (ω

1

, ω

2

, ω

3

).

From this point of view, the study of polhodes is particularly interesting in view

of the following fact.

P

roposition 7.10 The polhodes represent the trajectories in the phase space of

equations (7.54).

Proof

We verify that (7.56), (7.57) are still valid after the substitution x

→ ω.

Let us write the equations requiring that T and the absolute value of L(O)

are constant:

3

i

=1

J

i

ω

2

i

= 2T

0

,

(7.60)

3

i

=1

J

2

i

ω

2

i

= L

2

0

.

(7.61)

By eliminating h between (7.55) and (7.58) we find

J

0

=

L

2

0

2T

0

.

(7.62)

It follows, again using (7.60), that we can write equation (7.61) in the form

3

i

=1

J

i

(

J

i

− J

0

) ω

2

i

= 0,

(7.63)

and hence equations (7.56), (7.57) and (7.60), (7.63) coincide except for an

inessential homothety factor.

As mentioned already, these considerations are also valid in the case of a

generic ellipsoid. When the ellipsoid of inertia is a surface of revolution, we have

J

1

=

J

2

or

J

2

=

J

3

, and it is easy to see that the polhodes and herpolhodes are

circles (Fig. 7.8).

The limiting polhodes do not make sense any more: every point of the circle

obtained by intersecting the ellipsoid with the plane through O orthogonal to

the rotation axis is a degenerate polhode.

The case that the ellipsoid becomes a sphere (

J

1

=

J

2

=

J

3

) is trivial: all

points of the sphere are degenerate polhodes.

7.9

Permanent rotations

T

heorem 7.2 If ω(0) = ω

0

has the direction of a principal axis of inertia, the

corresponding precession by inertia is reduced to the uniform rotation

ω = ω

0

.

7.9

The mechanics of rigid bodies: dynamics

255

Polhodes

Median

cross-section

Fig. 7.8 Polhodes for the ellipsoid of revolution.

Conversely, if a precession by inertia is a rotation, the latter must be uniform

and must be around a principal axis of inertia.

Proof

The first claim is trivial, as it is immediately verified that

ω = ω

0

is the only

solution of equations (7.54).

Suppose now that the motion is a rotation and let us examine first the case

when

ω, which has constant direction by our hypotheses, has at least one zero

component. Suppose, e.g. that ω

1

= 0. Then equations (7.54) imply that ω

2

and ω

3

are constant, and the rotation is uniform. In addition we find that

(

J

2

−J

3

)ω

2

ω

3

= 0, and hence either

J

2

=

J

3

, which implies that every diametral

axis, including the axis of rotation, is a principal axis of inertia, or else one of

the components ω

2

, ω

3

is also zero. This implies that

ω has the direction of a

principal axis of inertia.

Consider finally the case that ω

1

ω

2

ω

3

=

/ 0. Since our hypotheses imply that

˙

ω = 0 or else that ˙ω ω, we can always write

˙

ω

i

ω

i

= f (t),

i = 1, 2, 3,

(7.64)

and we make f (t) appear on the left-hand side of equations (7.54) by rewriting

them in the form

J

i

ω

2

i

f (t) = (

J

j

− J

k

) ω

1

ω

2

ω

3

,

where

{i, j, k} are the three even-order permutations. Summing term by term,

we obtain

2T f (t) = 0,

which yields that f (t) = 0, and hence ˙

ω = 0, and the rotation is uniform.

256

The mechanics of rigid bodies: dynamics

7.10

In conclusion, the right-hand side of all equations (7.54) vanish. This is

compatible only with

J

1

=

J

2

=

J

3

, which is the case that every line through O

is a principal axis of inertia.

The rotations considered in the previous theorem are called permanent

rotations. Such rotations are associated with degenerate polhodes.

In the case of a generic ellipsoid of inertia, there exists an important qualitative

difference between the permanent rotations around the extreme axes of the

ellipsoid and those around the intermediate axis.

T

heorem 7.3 The rotations around the extreme axes of the ellipsoid of inertia

are stable with respect to perturbations of

ω

0

; those around the intermediate axis

are unstable.

Proof

We use the geometrical analysis of the polhodes of the previous section, and

the fact that these are the trajectories, in phase space, of equations (7.54)

(Proposition 7.10). This shows that, for a fixed neighbourhood of the degenerate

polhodes lying on the extreme axes, we can consider perturbations of

ω

0

of

such small amplitude that the corresponding polhodes remain inside the chosen

neighbourhood. This is not possible for the degenerate polhodes lying on the

intermediate axis, as every neighbourhood of such curves is crossed by polhodes

which rotate around the maximal axis, as well as by polhodes which rotate

around the minimal axis.

In the case of ellipsoids of revolution we can easily prove that any rotation

around the rotation axis of the ellipsoid is stable, while any rotation around the

diametral axis is unstable.

Remark 7.5

Stable phenomena are not the only observable phenomena. Try to make a cyl-

inder, of height much larger than the radius, rotate around a diametral axis; in

spite of any error in initial conditions, the rotation will appear stable. This is

not in contradiction with what has just been proved: if the radius of the polhode

is much larger than the radius of the herpolhode the contact point must rotate

many times along the latter to make any tangible progress along the polhode,

in agreement with the instability of this phenomenon, although such instability

can only be observed over long time intervals.

7.10

Integration of Euler equations

We consider again the first integrals (7.60) and (7.63). Eliminating once ω

3

and

once ω

1

, we find the following equations:

J

1

(

J

1

− J

3

) ω

2

1

= 2T

0

(

J

0

− J

3

)

− J

2

(

J

2

− J

3

) ω

2

2

,

(7.65)

J

3

(

J

3

− J

1

) ω

2

3

= 2T

0

(

J

0

− J

1

)

− J

2

(

J

2

− J

1

) ω

2

2

.

(7.66)

7.10

The mechanics of rigid bodies: dynamics

257

In the generic case that

J

1

<

J

2

<

J

3

we deduce that

ω

2

1

= A

2

1

(ν

2

1

− ω

2

2

),

ω

2

3

= A

2

3

(ν

2

3

− ω

2

2

),

(7.67)

with

A

2

1

=

J

2

J

1

J

3

− J

2

J

3

− J

1

,

A

2

3

=

J

2

J

3

J

2

− J

1

J

3

− J

1

,

(7.68)

ν

1

=

2T

0

J

2

J

3

− J

0

J

3

− J

2

1/2

,

ν

3

=

2T

0

J

2

J

0

− J

1

J

2

− J

1

1/2

.

(7.69)

The dimensionless coefficients A

1

, A

3

contain information only on the geometric

structure of the system, while the frequencies ν

1

, ν

3

are also determined by the

initial conditions. We assume that

J

0

=

/

J

1

,

J

3

(we have already considered the

case that these quantities are equal).

Note also that

k =

ν

2

3

ν

2

1

=

J

0

− J

1

J

2

− J

1

·

J

3

− J

2

J

3

− J

0

(7.70)

is greater than one if

J

0

>

J

2

and less than one if

J

0

<

J

2

. We exclude

temporarily the case that

J

0

=

J

2

.

Using equations (7.67) we obtain from the second of equations (7.54) a

differential equation for ω

2

:

˙

ω

2

=

± A(ν

2

1

− ω

2

2

)

1/2

(ν

2

3

− ω

2

2

)

1/2

,

(7.71)

with

A =

(

J

2

− J

1

) (

J

3

− J

2

)

J

1

J

3

1/2

.

(7.72)

Note that the initial condition for ω

2

must be such that

|ω

2

(0)

| ≤ min(ν

1

, ν

3

)

and the same inequality is satisfied for

|ω

2

(t)

|. In addition, the constant solution

|ω

2

| = min(ν

1

, ν

3

) must be discarded; indeed if, for example, ν

1

< ν

3

, it follows

that ω

1

= 0 (cf. (7.67)) and ω

2

ω

3

=

/ 0, contradicting the first equation of (7.54).

4

We can now compute the integral of equation (7.71) corresponding to the

initial data ω

2

(0) = 0, and distinguish between two cases:

(a)

J

0

∈ (J

1

,

J

2

), that is k < 1:

t =

±τ

1

F

ω

2

ν

3

, k

;

(7.73)

4

Besides the constant solutions

ω

2

=

± min(ν

1

, ν

3

), equation (7.71) also admits non-trivial

solutions which periodically take these values.

258

The mechanics of rigid bodies: dynamics

7.10

(b)

J

0

∈ (J

2

,

J

3

), that is k > 1:

t =

±τ

3

F

ω

2

ν

1

, k

−1

.

(7.74)

Here F is the elliptic integral of the first kind (cf. Appendix 2):

F (z, k) =

z

0

[(1

− η

2

) (1

− kη

2

)]

−1/2

dη,

|z| ≤ 1

(7.75)

and

τ

1

=

1

ν

1

A

,

τ

3

=

1

ν

3

A

.

(7.76)

The sign in (7.73), (7.74) must be chosen according to the initial conditions, and

must be inverted every time that ω

2

reaches the extreme values (respectively,

± ν

3

and

± ν

1

).

The solution is periodic of period 4τ

1

K(k) (see Appendix 2) along the polhodes

in the family described by

J

0

∈ (J

1

,

J

2

), and 4τ

3

K(k

−1

) along those in the family

J

0

∈ (J

2

,

J

3

).

Finally, we examine the case that

J

0

=

J

2

(motion along the limiting polhodes).

In this case the frequencies ν

1

and ν

3

coincide (k = 1):

ν

1

= ν

3

≡ ν = (2T

0

/

J

2

)

1/2

.

(7.77)

Since lim

k

→1

−

K(k) =

∞ we expect that the motion is no longer periodic.

Equation (7.71) can be simplified to

˙

ω

2

=

±A(ν

2

− ω

2

2

),

(7.78)

where A is still given by (7.72). We choose the initial data ω

2

(0)

∈ (−ν, ν), since

we are not interested in the extreme values, which correspond to permanent

rotations. By separating variables we easily find

ν + ω

2

ν

− ω

2

=

ν + ω

2

(0)

ν

− ω

2

(0)

e

±2t/τ

,

(7.79)

with

τ =

1

νA

=

2T

0

J

1

J

2

J

3

(

J

3

− J

2

) (

J

2

− J

1

)

1/2

.

(7.80)

It follows that ω

2

(t) tends monotonically to

± ν, depending on the sign

of ˙

ω

2

, which is determined by the initial conditions and by the second of

equations (7.54).

7.11

The mechanics of rigid bodies: dynamics

259

7.11

Gyroscopic precessions

In the previous section we integrated equations (7.54) in the generic case that

J

1

<

J

2

<

J

3

. We now consider the gyroscopic precessions around a point of

the gyroscopic axis. Suppose that

J

1

=

J

2

=

J and consider initially the simple

case of precessions by inertia. Setting

η =

J

3

J

− 1,

(7.81)

and excluding the trivial case η = 0, equations (7.54) become

˙

ω

1

=

− ηω

2

ω

3

,

˙

ω

2

= ηω

3

ω

1

,

˙

ω

3

= 0,

(7.82)

and hence the gyroscopic component of the rotational velocity, ω

3

, is constant,

and the system (7.82) is linear ; ω

1

and ω

2

oscillate harmonically with frequency

ν =

|ηω

(0)

3

|/2π

(7.83)

(we refer to the generic case that

ω(0) does not have the direction of the

gyroscopic axis).

We also find the first integral

ω

2

1

+ ω

2

2

= [ω

1

(0)]

2

+ [ω

2

(0)]

2

.

(7.84)

It follows that the trajectory in the phase plane (ω

1

, ω

2

) is a circle centred

at the origin. The vector

ω

e

with components (ω

1

, ω

2

, 0) is called the equatorial

component of

ω; it rotates uniformly around the gyroscopic axis with frequency ν.

It is interesting to study the perturbations introduced by the presence of

a moment normal to the gyroscopic axis. To illustrate the main qualitative

properties of the motion, we consider a simple example for which the equations

of motion are easily integrable.

Consider the case of a moving torque, which we suppose has the same direction

as x

2

:

M(O) = (0, M, 0).

(7.85)

Again, ω

3

is constant and we must integrate the system

˙

ω

1

=

− ηω

(0)

3

ω

2

,

ω

1

(0) = ω

(0)

1

,

(7.86)

˙

ω

2

= ηω

(0)

3

ω

1

+ M/

J , ω

2

(0) = ω

(0)

2

,

(7.87)

which is equivalent to

¨

ω

1

+ (ηω

(0)

3

)

2

ω

1

=

−ηω

(0)

3

M/

J ,

(7.88)

¨

ω

2

+ (ηω

(0)

3

)

2

ω

2

= 0,

(7.89)

260

The mechanics of rigid bodies: dynamics

7.12

with the additional conditions ˙

ω

1

(0) =

−ηω

(0)

3

ω

(0)

2

, ˙

ω

2

(0) = ηω

(0)

3

ω

(0)

1

+ M/

J .

Instead of (7.84) we find the first integral

(ω

1

− ω

1

)

2

+ ω

2

2

= constant,

(7.90)

with

ω

1

=

−M/[(J

3

− J ) ω

(0)

3

],

(7.91)

and we can immediately deduce the integrals for (7.88), (7.89):

ω

1

− ω

1

= C cos(2πνt + α),

(7.92)

ω

2

= C sin(2πνt + α),

(7.93)

where

C =

{[ω

(0)

1

− ω

1

]

2

+ [ω

(0)

2

]

2

}

1/2

,

(7.94)

tan α =

ω

(0)

2

ω

(0)

1

− ω

1

.

(7.95)

We summarise the properties of the perturbed motion.

(a) Amplitude and phase perturbations are measured by ω

1

. If initially

|ω

e

|/|ω

(0)

3

|

1

(7.96)

and if

|ω

1

|/|ω

(0)

3

|

1

(7.97)

then, because of (7.90), equation (7.96) is satisfied at every time. If e

3

is the

unit vector of the gyroscopic axis, its variation is described by

de

3

dt

=

ω × e

3

=

ω

e

× e

3

,

i.e.

|de

3

/dt

| = |ω

e

|, which implies that the motion of the gyroscopic axis is

much slower than that around the same axis, and the effect of the torque

M is smaller for larger ω

(0)

3

.

(b) We note also that the vector

ω

e

varies, with respect to the moving reference

frame, with frequency ν, proportional to ω

(0)

3

.

(c) Over a period of

ω

e

the average of ω

2

is zero, while the average of ω

1

is ω

1

.

It follows that by taking the average over a period of

ω

e

de

3

dt

=

ω

e

× e

3

=

M

(

J

3

− J ) ω

(0)

3

,

(7.98)

and hence the mean displacement of the gyroscopic axis is in the direction

of the torque (tendency to parallelism).

7.12

The mechanics of rigid bodies: dynamics

261

j

3

j

2

j

1

c

w