Analytical Mechanics This page intentionally left blank

L

i

h

r

Fig. 11.12

Table 11.1 Orbital elements of the planets of the Solar System. Here

, h, i and λ are expressed in degrees, a is expressed in astronomical

units (1 A.U. = 1.5

×10

8

km),

is the perihelion longitude:

= g +h,

λ =

+ l is the average longitude (at a fixed time)

Planet

h

i

e

λ

a

Mercury

77.4561

48.3309

7.0050

0.205632

252.2509

0.387104

Venus

131.5637

76.6799

3.3947

0.006772

181.9798

0.723307

Earth

102.9373

0.016709

1000.4664

1.000012

Mars

336.0602

49.5581

1.8497

0.093401

355.4333

1.523711

Jupiter

374.3313

100.4644

1.3033

0.048495

34.3515

5.210216

Saturn

93.0568

113.6655

2.4889

0.055509

50.0775

9.538070

Uranus

173.0052

74.0060

0.7732

0.046296

314.0550

19.183302

Neptune

48.1237

131.7841

1.7700

0.008989

304.3487

30.055144

Pluto

224.6148

110.4065

17.1323

0.250877

218.8874

39.537580

This difficulty can be resolved by introducing a new set of action-angle variables

(

Λ

, Z

1

, Z

2

, λ, ζ

1

, ζ

2

)

∈ R

3

×T

3

:

Λ

=

L, Z

1

=

L−G, Z

2

=

G−H, λ = h+g +l, ζ

1

=

−g −h, ζ

2

=

−h (λ is called the mean longitude, −ζ

1

is the perihelion longitude).

Hence considering the pairs (Z

1

, ζ

1

) and (Z

2

, ζ

2

) as polar coordinates we find

ξ

1

=

2Z

1

cos ζ

1

, η

1

=

2Z

1

sin ζ

1

, ξ

2

=

2Z

2

cos ζ

2

, η

2

=

2Z

2

sin ζ

2

.

(11.174)

11.9

Analytic mechanics: Hamilton–Jacobi theory and integrability

471

The canonical variables (

Λ

, ξ

1

, ξ

2

, λ, η

1

, η

2

)

∈ R

+

× R

2

× T

1

× R

2

are called Poin-

car´

e variables and are also well defined in the case of a circular orbit (Z

1

= 0) or

a horizontal orbit (Z

2

= 0). In these new variables the Hamiltonian of Kepler’s

problem is H =

−mk

2

/2

Λ

2

; therefore

Λ

, ξ

1

, ξ

2

, η

1

, η

2

are constants of the motion.

The advantage of the Poincar´

e variables over the Delaunay ones is that the former

are then suitable for both the complete resonance of the Kepler problem and for

the study of the planets of the Solar System. The relation between the Poincar´

e

and the original variables momentum and position (p, q) is more complicated

and will not be discussed here (the interested reader can refer to Poincar´

e (1905,

chapter III) or Laskar (1989a)). Note however that

Λ

is proportional to

√

a,

ξ

2

1

+ η

2

1

√

Λ

e(1 +

O(e

2

)),

ξ

2

2

+ η

2

2

√

Λ

i(1 +

O(i

2

) +

O(e

2

)).

In applications one often uses the orbital elements as (non-canonical) coordinates.

11.9

Wave interpretation of mechanics

In this section we intend to illustrate how through the Hamilton–Jacobi equation,

we can associate a wave front to a Hamiltonian system. What follows is a seem-

ingly abstract analysis of classical mechanics, which however comes surprisingly

close to the fundamental concepts of quantum mechanics.

Consider an autonomous system with Hamiltonian H(p, q) having l

≥ 2 degrees

of freedom, and assume that the Hamilton principal function is known. This

function can be written in the form

S(q,

α, t) = W (q, α) − E(α)t,

(11.175)

up to an inessential additive constant. The constants α

1

, . . . , α

l

are determined

by the initial conditions. For t = 0 we have

S = W

0

= W (q(0),

α).

(11.176)

For every t > 0 the equation

S(q,

α, t) = W

0

(11.177)

defines a regular (l

− 1)-dimensional manifold M(t) in the space of configurations

R

l

. This manifold is identified with the level set

W (q,

α) = W

0

+ E(

α)t.

(11.178)

At time t = 0 equation (11.178) selects a family of initial states, determined by the

pairs of vectors (q(0),

α), such that W (q(0), α) = W

0

. As t varies, M (t) moves

within the family

Σ

of manifolds W (q,

α) = constant, according to (11.178).

Hence the dynamics of the system becomes associated with the propagation

of a ‘front’ M (t). There exist interesting relations between the motion of the

system and the motion of M (t) in

Σ

.

472

Analytic mechanics: Hamilton–Jacobi theory and integrability

11.9

P

roposition 11.4 If T =

1

2

l

i,j

=1

a

ij

˙

q

i

˙

q

j

is the kinetic energy of the system

and if R

l

is endowed with the metric

ds

2

T

=

l

i,j

=1

a

ij

dq

i

dq

j

,

(11.179)

then the trajectories of the system in the configuration space are orthogonal to

each manifold in the family

Σ

.

Proof

For a fixed time t

0

and a point q

0

∈ M(t

0

), for every vector δq

∈ T

q

0

M (t

0

) we

have by (11.178),

∇

q

W (q

0

,

α) · δq = 0

(11.180)

to first order in

|δq|. We know that (q

0

,

α) determines uniquely a vector p

0

through the relation p

0

=

∇

q

W (q

0

,

α) and that in addition, by definition,

p

0i

=

l

j

=1

a

ij

(q

0

) ˙

q

j

. Equation (11.180) can be interpreted as ( ˙q, δq)

T

= 0,

where we denote by (x, y)

T

=

l

i,j

=1

a

ij

x

i

y

j

the scalar product induced by the

metric (11.179).

We can now deduce information on the velocity of the points of M (t). Consider

the family of the trajectories of the system issuing from the points of M (0) and

the family

Σ

of the manifolds M (t) (Fig. 11.13). For every fixed trajectory γ we

define the vector q

γ

(t) = γ

∩ M(t).

P

roposition 11.5 According to the metric (11.179) we have

| ˙q

γ

|

T

=

|E|

2(E

− V (q

γ

))

.

(11.181)

Proof

From the identity

W (q

γ

(t),

α) = W

0

+ Et

(11.182)

we deduce

∇

q

W (q

γ

(t),

α) · ˙q

γ

= E,

(11.183)

which can be interpreted as ( ˙q, ˙q

γ

)

T

= E, where ˙q is defined through the vector

p =

∇

q

W (q

γ

(t),

α). By construction ˙q

γ

and ˙q are proportional at every instant,

and therefore ( ˙q, ˙q

γ

)

T

=

| ˙q|

T

| ˙q

γ

|

T

=

|E|.

Since

| ˙q|

2

T

= 2T = 2(E

− V ), we can deduce equation (11.181).

In the case of a single free point particle, the space of configurations coincides

with the physical space, the manifold M (t) is a surface, and the metric (11.179)

can be identified with the Euclidean metric.

11.9

Analytic mechanics: Hamilton–Jacobi theory and integrability

473

g

q

g

(t)

q(0)

M(t)

M(0)

⌺

Fig. 11.13

Example 11.17

For a free point particle we have ˙q = c

0

, a constant, p = mc

0

= α, and hence

W = α

·q. In this case, W is the generating function of the identity transformation.

The surfaces W = constant are the planes orthogonal to α (Fig. 11.14) and the

‘front’ M (t) behaves as the phase of a plane wave:

S = α

· q − Et.

(11.184)

This simple example leads us to reinterpret the propagation of the front M (t)

in the context of a field theory analogous to the theory describing the propagation

of light in a non-uniform optical medium.

We start from the observation that a plane wave with velocity c

0

can be

represented in the form

φ = φ

0

e

i(k·q−ωt)

,

(11.185)

with φ

0

a constant, k a vector parallel to c

0

and

ω = kc

0

.

(11.186)

The absolute value k is the wave number which defines the wavelength λ =

2π/k. Equation (11.185), with ω given by (11.186), is a solution of the wave

474

Analytic mechanics: Hamilton–Jacobi theory and integrability

11.9

a

Fig. 11.14

equation

∆

φ

−

1

c

2

0

∂

2

φ

∂t

2

= 0,

(11.187)

describing the propagation of the electromagnetic field in a medium with refractive

index

n

0

=

c

c

0

,

(11.188)

where c is the speed of light in the void. The wave phase can also be written in

the form

k

0

(n

0

e

· q − ct) = 2π

n

0

λ

0

e

· q − νt ,

(11.189)

where e = k/n, k

0

= kc

0

/c, λ

0

= 2π/k

0

, ν = ω/2π. Up to here, the analogy with

Example 11.17 is evident.

We now consider the modifications which must be introduced in order to

describe the motion of a more general mechanical system by means of this

optical model. For simplicity we shall deal only with the case of a single free

point particle, subject to a field with potential energy V (q). We know then

11.9

Analytic mechanics: Hamilton–Jacobi theory and integrability

475

that at every point of the associated moving surface M (t) we can define the

propagation velocity

u =

E

2m(E

− V )

,

(11.190)

and we try to reproduce this behaviour in the case of a wave of the form

φ = φ

0

e

A

(q)+ik

0

(L(q)−ct)

,

(11.191)

by imposing the validity of an equation of the kind (11.187). Note that in contrast

to the case of a plane wave, we now have a variable amplitude φ

0

e

A

(q)

and that

the function L(q), called eikonal, replaces the linear function n

0

e

· q. If we insert

the function (11.191) into the modified equation

∆

φ

−

1

u

2

(q)

∂

2

φ

∂t

2

= 0,

(11.192)

with u(q) given by (11.190), separating real and imaginary parts we find

|∇L|

2

= n

2

(q) +

λ

0

2π

2

[

∆

A +

|∇A|

2

],

(11.193)

∆

L + 2

∇L · ∇A = 0,

(11.194)

where n(q) = c/u(q).

If λ

0

tends to zero in (11.193) (geometrical optic limit ) we find for L(q) the

equation of geometrical optics:

|∇L|

2

= n

2

(q),

(11.195)

which is structurally a Hamilton–Jacobi equation. The analogy with the equation

for the function W can be made closer by noting that the front with constant

phase:

2π

1

λ

0

L(q)

− νt = constant

(11.196)

varies in the family

Σ

of surfaces L(q) = constant.

We can impose proportionality between the phase (11.196) and the function

S = W

− Et. This yields:

(a) a proportionality relation between

|E| and ν:

|E| = hν

(11.197)

(h is the Planck constant ),

476

Analytic mechanics: Hamilton–Jacobi theory and integrability

11.9

(b) the proportionality W = h/λ

0

L, so that equation (11.193) coincides with the

Hamilton–Jacobi equation for W if

n =

λ

0

h

2m(E

− V ),

(11.198)

in agreement with the definition

n = c/u =

c

2m(E

− V )

E

=

c

hν

2m(E

− V ), c/ν = λ

0

.

The hypothesis that allowed us to develop this analogy is that we assumed

the validity of the geometrical optics approximation, corresponding to neglecting

the terms in λ

2

0

in equation (11.193).

We can also introduce the wave number of the equivalent field:

k =

2π

u

=

1

2m(E

− V ),

=

h

2π

.

(11.199)

We can easily check that if we rewrite equation (11.191) in the form

φ = ψ(q)e

−

iωt

(11.200)

ψ must satisfy the equation

∆

ψ + k

2

ψ = 0,

(11.201)

and hence

∆

ψ +

2

2

m(E

− V )ψ = 0,

(11.202)

called the Schr¨

odinger equation of wave mechanics.

We note that this can also be derived from the Schr¨

odinger equation for

quantum mechanics:

1

2m

∆

φ

−

1

2

V φ =

−

i ∂φ

∂t

,

(11.203)

by substituting into it the expression (11.200).

If we now return to the parallel idea of considering a wave with phase S/ ,

and hence φ = φ

0

e

iS/

h

–

, equation (11.203) yields the equation

1

2m

|∇S|

2

+ V +

∂S

∂t

=

i

2m

∆

S,

(11.204)

which reduces to the Hamilton–Jacobi equation if we consider the limit h

→ 0

(classical limit ). It is interesting to note that h

→ 0 is equivalent to ν → ∞ (by

(11.197)), and hence to λ

0

→ 0: the classical limit of the Schr¨odinger equation

is equivalent to the limit of geometrical optics in the context of wave theory.

11.10

Analytic mechanics: Hamilton–Jacobi theory and integrability

477

11.10

Problems

1. Solve the Hamilton–Jacobi equation for the motion in space of a point

particle of mass m subject to weight.

2. Separate variables in the Hamilton–Jacobi equation for the motion of a

point particle of mass m subject to the action of weight and constrained to move

on a surface of rotation around the z-axis.

3. A point particle of unit mass moves without any external forces on a

surface whose first fundamental form is (ds)

2

= (U (u) + V (v))((du)

2

+ (dv)

2

),

where (u, v)

∈ R

2

(Liouville surface).

(a) Write down the Hamiltonian of the system.

(b) Write down the Hamilton–Jacobi equation and separate variables.

(c) Solve the Hamilton–Jacobi equation in the case that U (u) = u

2

, V (v) = v,

where u > 0, v > 0.

(Answer: (a) H = (p

2

u

+ p

2

v

)/[2(U (u) + V (v))]; (b) setting S = W

1

(u) + W

2

(v)

−

Et, we have (W

1

(u))

2

− 2EU(u) = α = (W

1

(v))

2

− 2EV (v); (c) W

1

(u) =

1/2[u

α + 2Eu

2

+ (α/

√

2E)arcsinh(

2E/αu)], and W

2

(v) = 1/3E(α + 2Ev)

3/2

.)

4. Use the Hamilton–Jacobi method to solve Problems 23, 24 and 28 of

Section 1.13.

5. Write down the Hamiltonian, solve the Hamilton–Jacobi equation and find

the action variables for the systems described in Problems 11 and 15 of Section

3.7 and Problems 8, 9 and 12 of Section 4.12.

6. Consider a point particle of unit mass freely moving on the surface of a

tri-axial ellipsoid:

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

= 1,

where a < b < c. Prove that in the variables (u, v)

∈ [b, c] × [a, b] defined by

x =

a

(u

− a)(v − a)

(b

− a)(c − a)

,

y =

b

(u

− b)(v − b)

(c

− b)(a − b)

,

z =

c

(u

− c)(v − c)

(a

− c)(b − c)

,

the Hamiltonian is given by

H(u, v, p

u

, p

v

) =

1

2

p

2

u

(u

− v)A(u)

+

p

2

v

(v

− u)A(v)

,

478

Analytic mechanics: Hamilton–Jacobi theory and integrability

11.10

where

A(λ) =

1

4

λ

(a

− λ)(b − λ)(c − λ)

.

Write down the Hamilton–Jacobi equation and separate variables.

7. Two point particles of equal mass move along a line interacting through a

force field with potential energy V (x

1

−x

2

), where x

1

and x

2

are the coordinates

of the two points.

(a) Write down the Hamiltonian.

(b) Write down the Hamilton–Jacobi equation and separate variables (hint:

introduce as new coordinates x = (x

1

+ x

2

)/

√

2 and y = (x

1

− x

2

)/

√

2).

(c) Setting V (x

1

−x

2

) = V

0

e

(x

1

−x

2

)/d

, where V

0

and d are two prescribed positive

constants, compute the solution of the Hamilton–Jacobi equation.

8. Write down and solve the Hamilton–Jacobi equation for a point particle

of mass m moving in space under the action of a central field V (r) = k/r

2

+ hr

2

,

where k and h are two positive constants. Find the action variables and express

the energy as a function of them. Compute the frequencies of the motions. Find

the resonance conditions. Do periodic orbits exist?

9. Consider the Hamiltonian (see Problem 9 of Section 3.7)

H(p, q) =

p

2

2m

+ V

0

q

d

2n

,

where m, V

0

and d are prescribed positive constants and n is an integer greater

than or equal to 2. Let E be the fixed value of energy. Prove that if J indicates

the action variable, then

E =

πnJ

dB

n

2n/(n+1)

1

2m

n/

(n+1)

V

1/(n+1)

0

,

where B

n

=

1

0

√

1

− uu

1/2n

−

1

du. Prove that the period T of the motion is equal

to

T = d

2m

E

E

V

0

1/2n

n + 1

n

2

B

n

.

10. Given a system of Hamiltonian (see Problem 14 of Section 3.7)

H(p, q) =

p

2

2m

+ V

0

(e

−

2q/d

− 2e

−

q/d

),

11.10

Analytic mechanics: Hamilton–Jacobi theory and integrability

479

where V

0

, d are prescribed positive constants, compute the action variable J and

check that the energy expressed in terms of the action variable is

E =

−V

0

1

−

J

d

√

2mV

0

2

.

Compute the period of the motion.

11. Given a system of Hamiltonian (see Problem 13 of Section 3.7)

H(p, q) =

p

2

2m

−

V

0

cosh

2

(q/d)

,

where V

0

, d are prescribed positive constants, compute the action variable cor-

responding to librations, and verify that the energy expressed in terms of the

action variable is

E =

−V

0

1

−

J

d

√

2mV

0

.

Compute the period of the motions.

12. Given a system with Hamiltonian

H(p, q) =

p

2

2m

+ V

0

|q|,

where V

0

is a prescribed positive constant, find the transformation to action-angle

variables and determine the frequency of the motion.

13. Given a system with Hamiltonian

H(p, q) =

p

2

2m

+ V (q),

where V is periodic with period 2π and

V (q) =

−V

0

q,

if

−π ≤ q ≤ 0,

+V

0

q,

if 0

≤ q ≤ π,

with V

0

a prescribed positive constant (see Problem 12 of Section 3.7), find

the transformation to action-angle variables and determine the frequency of the

motion for librations and for rotations.

14. Consider the Hamiltonian system (see Problem 10 of Section 3.7)

H(p, q) =

p

2

2m

+ V

0

tan

2

(q/d),

where V

0

, d are two fixed positive constants. Compute the action variable J and

prove that the energy E expressed in terms of J is given by

E =

1

2m

J

d

2

(J + 2d

2mV

0

).

480

Analytic mechanics: Hamilton–Jacobi theory and integrability

11.11

Verify that the period of the motion is

T =

2πmd

2

J + 2d

√

2mV

0

,

and compute the angle variable.

15. A point particle of mass m moves with velocity v along a segment and is

reflected elastically at the endpoints of the segment. Prove that the action J for

the system is J = pl/π, where p = mv and l is the length of the segment. Prove

that the energy is E = 1/2m (πJ /l)

2

.

16. Use separability to express the function W for the Kepler problem as the

sum of three functions related to the three cycles in Fig. 11.11. Then compute

the angle variables, showing that one of them coincides with the mean anomaly.

11.11

Additional remarks and bibliographical notes

In this chapter we discussed the Hamilton–Jacobi method for solving the equations

of motion and a notion of integrability

5

for the Hamilton’s equations, correspond-

ing to the existence of bounded and quasi-periodic orbits, and hence of a foliation

of the phase space in invariant tori. The presentation of the Hamilton–Jacobi

equations and of the method of separation of variables for its solution follows

the text of Landau and Lifschitz (1976).

The book by Levi-Civita and Amaldi (1927) contains a detailed discussion of

the theory presented in the first two sections, and of the examples we chose to

illustrate it.

General references for this chapter are the book of Whittaker (1936), which

contains many of the classical results obtained by the Italian school

6

at the

beginning of the twentieth century on the classification of the cases when the

Hamilton–Jacobi equation is solvable by separation of variables, and the treatise

of Agostinelli and Pignedoli (1989).

For a more complete treatment of the notion of a completely canonically

integrable system, and of action-angle variables, we recommend the article of

Nekhoroshev (1972), and the review of Gallavotti (1984). The latter is also an

excellent basis for a more advanced study of the topics discussed in the next

chapter. We partially followed it in our proof of the theorem of Liouville given

in Section 11.4.

The lecture notes of Giorgilli (1990) have been particularly useful in preparing

Section 11.5, in particular for the proof of Proposition 11.1.

A more detailed discussion of the action-angle variables for the problem of

Kepler, and their relation with the orbital elements, can be found in the first

5

There indeed exist various other notions of integrability, just as there exist methods

different from the Hamilton–Jacobi one for solving the equations of motion. The reader

interested in a more detailed treatment of these themes can start by reading the review

article of Kozlov (1983).

6

Morera, Levi-Civita, Burgatti, Dall’Acqua and many more.

11.12

Analytic mechanics: Hamilton–Jacobi theory and integrability

481

chapter of Beletski (1986). In the second chapter of this very pleasant and

informal introduction to celestial mechanics one can find a study of the problem

of two centres of force (see Example 11.6), with the completion of its solution

via separation of variables in the Hamilton–Jacobi equation, and the explicit

computation of the trajectory of a polar satellite using elliptic functions. In

the following third chapter, parabolic coordinates are used for the study of the

pressure of solar radiation upon an artificial satellite orbiting around the Earth,

and there is a complete classification of the trajectories corresponding to the

planar case.

We stress that for the sake of brevity we did not illustrate the mechanics of

rigid systems as an example of completely canonically integrable systems. The

book of Gallavotti (1980) contains this illustration fully.

In addition, we did not develop very extensively the theme, touched upon in

Section 11.9, of the relations existing between the Hamilton–Jacobi equation, geo-

metrical optics and the semiclassical approximation in quantum mechanics. The

text of Arnol’d (1978a), already referred to, also contains these topics (sections 46

and 47 and appendices 11 and 12). The complex relation between the notion

of action variable and the so-called ‘old quantum’ of Bohr and Sommerfeld,

described in Graffi (1993), is also very interesting. An excellent reading on

this is the treatise of Born (1927), which can also be read as an introduc-

tion to the study of the canonical theory of perturbations, studied in the next

chapter.

11.12

Additional solved problems

Problem 1

A point particle of unit mass moves along a plane curve of equation y = P (x),

where P is a polynomial of degree n

≥ 1, and it is subject to a conservative

force field with potential energy V (x) = ax

2

+ bx + c, a =

/ 0. Use the method of

Hamilton–Jacobi to determine the travelling time t = ˆ

t(x, x(0), ˙

x(0)) of a solution.

Solution

The Lagrangian of the particle is

L(x, ˙

x) =

1

2

˙

x

2

(1 + P (x)

2

)

− V (x),

from which it follows that p = ∂L/∂ ˙

x = ˙

x(1 + P (x)

2

) and

H(p, x) =

p

2

2(1 + P (x)

2

)

+ V (x).

(11.205)

The Hamilton–Jacobi equation for Hamilton’s characteristic function W =

W (x, E) is

1

2

∂W

∂x

2

(1 + P (x)

2

)

−1

+ V (x) = E,

(11.206)

482

Analytic mechanics: Hamilton–Jacobi theory and integrability

11.12

and hence

W (x, E) =

±

x

x

(0)

(1 + P (ξ)

2

)

2(E

− V (ξ)) dξ,

(11.207)

where the sign is determined by the sign of ˙

x(0). Differentiating (11.207) with

respect to E and recalling Remark 11.5, we find

t =

∂W

∂E

=

±

x

x

(0)

1 + P (ξ)

2

2[E

− V (ξ)]

dξ.

(11.208)

The integrand is of the form Q(ξ)/

αξ

2

+ βξ + γ, where Q(ξ) =

k

j

=0

q

j

ξ

j

(in

our case q

0

= 1, k = 2n

− 2, α = −2a, β = −2b, γ = 2(E − c)). Its primitives are

of the form

k

−1

j

=0

q

j

ξ

j

αξ

2

+ βξ + γ + q

k

dξ

αξ

2

+ βξ + γ

,

(11.209)

where the k coefficients q

0

, q

1

, . . . , q

k

can be determined starting from the known

coefficients q

0

, . . . , q

k

, α, β, γ and multiplying the relation

k

j

=0

q

j

ξ

j

αξ

2

+ βξ + γ

=

d

dξ

k

−1

j

=0

q

j

ξ

j

αξ

2

+ βξ + γ +

q

k

αξ

2

+ βξ + γ

(11.210)

by the square root and identifying the polynomials obtained on the two sides of

the identity. Recall that, setting

∆

= β

2

−4αγ, we have, up to additive constants,

dξ

αξ

2

+ βξ + γ

=

1

√

α

ln

|2 αξ

2

+ βξ + γ + 2αξ + β

| (if α > 0)

=

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

1

√

α

arcsinh

2αξ + β

√

−

∆

,

if

∆

< 0, α > 0,

1

√

α

ln

|2αξ + β|,

if

∆

= 0, α > 0,

−

1

√

−α

arcsin

2αξ + β

√

∆

,

if

∆

> 0, α < 0.

(11.211)

From (11.209)–(11.211) it follows that it is possible to compute explicitly the

integral (11.208) and hence obtain t = ˆ

t(x, x(0), ˙

x(0)).

Problem 2

Consider the following canonical transformation of R

+

× R

3

:

Q

1

=

−e

t

(1 + p

1

)

√

q

1

,

Q

2

= arcsin

q

2

p

2

2

+ q

2

2

,

P

1

= e

−t

(1

− p

1

)

√

q

1

,

P

2

=

p

2

2

+ q

2

2

2

.

(11.212)

11.12

Analytic mechanics: Hamilton–Jacobi theory and integrability

483

How does the Hamiltonian H(p

1

, p

2

, q

1

, q

2

) = q

1

(p

2

1

− 1) + (p

2

2

+ q

2

2

)/2 transform?

Use the result obtained to completely solve Hamilton’s equations associated with

H. For the associated system determine whether the hypotheses of the theorem

of Liouville and of the theorem of Arnol’d are satisfied.

Solution

The transformation (11.212) admits the generating function

F

2

(q

1

, q

2

, P

1

, P

2

, t) =

− 2(e

t

P

1

)

√

q

1

+

1

2

(e

t

P

1

)

2

+ q

1

+

q

2

2

2P

2

− q

2

2

+ P

2

arcsin

q

2

√

2P

2

.

The Hamiltonian H is transformed into K(P

1

, P

2

, Q

1

, Q

2

, t) = H + ∂F

2

/∂t:

K = P

1

Q

1

+ P

2

+

∂F

2

∂t

= P

1

Q

1

+ P

2

− 2e

t

P

1

√

q

1

+ P

2

1

e

2t

= 2P

1

Q

1

+ P

2

.

(11.213)

Hamilton’s equations associated with K can be solved immediately:

P

1

(t) = P

1

(0)e

−2t

,

Q

1

(t) = Q

1

(0)e

2t

,

P

2

(t) = P

2

(0),

Q

2

(t) = Q

2

(0) + t.

(11.214)

Then from the inverse of (11.122):

q

1

=

e

2t

4

(P

1

− e

−2t

Q

1

)

2

,

p

1

=

−

P

1

+ e

−2t

Q

1

P

1

− e

−2t

Q

1

,

q

2

=

2P

2

sin Q

2

,

p

2

=

2P

2

cos Q

2

,

(11.215)

we deduce the solution of Hamilton’s equations associated with H by substituting

(11.214) into (11.215) and using the relations

P

1

(0) = (1

− p

1

(0))

q

1

(0),

P

2

(0) = (p

2

2

(0) + q

2

2

(0))/2,

Q

1

(0) =

−(1 + p

1

(0))

q

1

(0),

Q

2

(0) = arcsin

q

2

(0)

p

2

2

(0) + q

2

2

(0)

.

The two functions

f

1

(p

1

, p

2

, q

1

, q

2

) =

−q

1

(1

− p

2

1

),

f

2

(p

1

, p

2

, q

1

, q

2

) =

p

2

2

+ q

2

2

2

are first integrals for H = f

1

+ f

2

, in involution and independent except in three

planes π

1

, π

2

, π

3

of equations q

1

= 0, p

1

= 1; q

1

= 0, p

1

=

−1; q

2

= p

2

= 0,

respectively. The hypotheses of the theorem of Liouville are therefore satisfied

484

Analytic mechanics: Hamilton–Jacobi theory and integrability

11.12

on R

4

\ (π

1

∪ π

2

∪ π

3

) while those of the theorem of Arnol’d are not, because the

level sets of f

1

are not compact.

Problem 3

Consider the system described by the Hamiltonian

H : R

2

× (R \ {−1, 1}) × R → R, H(p

1

, p

2

, q

1

, q

2

) =

p

2

1

q

2

1

− 1

(1 + p

2

2

+ q

2

2

).

(11.216)

(i) Write down Hamilton’s equations and determine all constant solutions.

(ii) Linearise the equations around p

1

= p

2

= q

1

= q

2

= 0 and solve the linearised

equations.

(iii) Determine two first integrals of the motion, independent and in involution,

and express the Hamiltonian through these first integrals.

(iv) Write down the Hamilton–Jacobi equation associated with H and solve it

by separation of variables.

(v) Construct when it is possible the action-angle variables, write the Hamilto-

nian as a function of the actions only and determine the frequencies. For

what initial conditions are the motions periodic?

Solution

Hamilton’s equations are

˙

p

1

=

2q

1

p

2

1

(q

2

1

− 1)

2

(1 + p

2

2

+ q

2

2

),

˙

q

1

=

2p

1

q

2

1

− 1

(1 + p

2

2

+ q

2

2

),

˙

p

2

=

−

2q

2

p

2

1

q

2

1

− 1

,

˙

q

2

=

2p

2

p

2

1

q

2

1

− 1

,

(11.217)

from which we see immediately that the constant solutions are given by p

1

= 0,

for any (p

2

, q

1

, q

2

). The equations linearised around the origin are

˙

p

1

= 0,

˙

p

2

= 0,

˙

q

1

=

−2p

1

,

˙

q

2

= 0.

Denoting by (P

1

, P

2

, Q

1

, Q

2

) the initial conditions, the corresponding solution is

clearly

p

1

(t)

≡ P

1

,

p

2

(t)

≡ P

2

,

q

1

(t) = Q

1

− 2P

1

t,

q

2

(t)

≡ Q

2

.

Since the Hamiltonian is of the form H(p

1

, p

2

, q

1

, q

2

) = f

1

(p

1

, q

1

)f

2

(p

2

, q

2

), with

f

1

(p

1

, q

1

) = p

2

1

/(q

2

1

− 1), f

2

(p

2

, q

2

) = 1 + p

2

2

+ q

2

2

, we deduce immediately that f

1

and f

2

are two first integrals that are independent and in involution. Indeed, the

involution is guaranteed by the fact that f

1

and f

2

are functions of distinct pairs

of canonically conjugate variables. Moreover

{f

1

, H

} = {f

1

, f

1

f

2

} = {f

1

, f

2

}f

1

+

11.12

Analytic mechanics: Hamilton–Jacobi theory and integrability

485

{f

1

, f

1

}f

2

= 0 and similarly

{f

2

, H

} = 0. The independence holds on the whole

of R

2

× (R \ {−1, 1}) × R except where

∇f

1

=

2p

1

q

2

1

− 1

, 0,

−

2q

1

p

2

1

(q

2

1

− 1)

2

, 0

= (0, 0, 0, 0),

or

∇f

2

= (0, 2p

2

, 0, 2q

2

) = (0, 0, 0, 0),

and hence

{p

1

= 0

} and {p

2

= q

2

= 0

}, respectively. Since H is independent of

time, if E denotes the energy, the Hamilton–Jacobi equation for the characteristic

function W (q

1

, q

2

, α

1

, α

2

) can be written as

1

q

2

1

− 1

∂W

∂q

1

2

1 +

∂W

∂q

2

2

+ q

2

2

= E

and can be solved by separation of variables: W (q,

α) = W

1

(q

1

, α

1

) + W

2

(q

2

, α

2

),

with

∂W

1

∂q

1

2

= α

1

(q

2

1

− 1),

∂W

2

∂q

2

2

= α

2

− 1 − q

2

2

,

α

2

≥ 1

E = α

1

α

2

,

from which it follows that, up to additive constants,

W

1

(q

1

, α

1

) =

±

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

q

1

2

α

1

(q

2

1

− 1) −

1

2

√

α

1

ln

√

α

1

q

1

+

α

1

(q

2

1

− 1) , if α

1

> 0,

0,

if α

1

= 0,

q

1

2

−α

1

(q

2

1

− 1) +

1

2

√

−α

1

arcsinq

1

,

if α

1

< 0

W

2

(q

2

, α

2

) =

±

q

2

2

α

2

− 1 − q

2

2

+

1

2

(α

2

− 1)arcsin

q

2

√

α

2

− 1

.

Following the steps outlined in Section 11.1 it is then possible to compute

explicitly the Hamiltonian flow associated with (11.216). For a completely canon-

ical transformation to action-angle variables to exist, the level set M

α

1

,α

2

=

{(p

1

, p

2

, q

1

, q

2

)

| f

1

(p

1

, q

1

) = α

1

, f

2

(p

2

, q

2

) = α

2

} must be compact and connec-

ted. This is the case only if (α

1

, α

2

)

∈ (−∞, 0) × (1, +∞). In this case, the two

equations

p

2

1

− α

1

q

2

1

=

−α

1

,

p

2

2

+ q

2

2

= α

2

− 1

486

Analytic mechanics: Hamilton–Jacobi theory and integrability

11.12

determine two ellipses in the planes (p

1

, q

1

), (p

2

, q

2

) and therefore M

α

1

,α

2

is

evidently diffeomorphic to a two-dimensional torus T

2

. From equation (11.61) it

follows that

J

1

=

1

2π

π

√

−α

1

=

√

−α

1

2

,

J

2

=

1

2π

π(α

2

− 1) =

α

2

− 1

2

,

from which α

1

=

−4J

2

1

, α

2

= 2J

2

+1, E =

−4J

2

1

(2J

2

+1) = K(J

1

, J

2

). Substituting

the latter into W

1

and W

2

we find the generating function of the transformation

to action-angle variables.

The frequencies are ω

1

=

−8J

1

(2J

2

+ 1), ω

2

=

−8J

2

1

; therefore the motions are

periodic only if ω

1

/ω

2

is rational, i.e. for initial conditions such that (2J

2

(0) +

1)/J

1

(0)

∈ Q (or if J

1

(0) = 0).

12 ANALYTICAL MECHANICS: CANONICAL

PERTURBATION THEORY

12.1

Introduction to canonical perturbation theory

The so-called ‘perturbation methods’ for studying differential equations are tradi-

tionally of great importance for their applications to celestial mechanics (indeed,

this field of study initially motivated their development). In spite of the efforts

of generations of celebrated mathematicians (Lagrange, Laplace, Weierstrass and

above all Poincar´

e, who can be considered the father of the modern theory) until

recently the majority of techniques used did not have a rigorous mathematical

justification. Proving the convergence (or divergence) of the perturbation series

is not just an abstract goal, of secondary interest for physicists. On the contrary,

it stems from the need to understand in depth the domains of applicability to

physical problems, and the limitations, of perturbation techniques.

On the other hand, the number of problems that can be treated with these tech-

niques justifies a more detailed analysis, even if most of the modern developments

go beyond the scope of the present text.

The central question we want to consider is the study of a system whose

Hamiltonian is a ‘small’ perturbation of the Hamiltonian of a completely canon-

ically integrable system. According to Poincar´

e (1893) this is to be considered

the ‘fundamental problem of classical mechanics’.

In what follows we assume systematically that the Hamiltonian functions we

consider are sufficiently regular.

D

efinition 12.1 A Hamiltonian system is called quasi-integrable if its Hamilton

function is of the form

h(p, q, ε) = h

0

(p, q) + εf (p, q),

(12.1)

where (p, q)

∈ R

2l

, ε is a small parameter (0

≤ |ε|

1) and h

0

is the Hamiltonian

of a completely canonically integrable system.

Remark 12.1

The previous definition is not completely satisfactory, unless we make more

precise in what sense ε is a small parameter. As (p, q) varies in a compact

subset K of R

2l

(in which we want to study the motions and where h

0

does not

have singularities) there exists a constant M

K

> 0 such that

max

(p,q)∈K

|f(p, q)| ≤ M

K

max

(p,q)∈K

|h

0

(p, q)

|.

(12.2)

488

Analytical mechanics: canonical perturbation theory

12.1

The requirement that the perturbation be small can be expressed through the

condition

|εM

K

|

1.

(12.3)

(Naturally, we suppose that neither h

0

nor f contain terms that are independent

of q, p.)

Since the system with Hamiltonian h

0

is completely canonically integrable,

there exists a completely canonical variable transformation from (p, q) to action-

angle variables (J,

χ) with respect to which the Hamiltonian h

0

is expressed

through a function H

0

that depends only on the action variables. After this

transformation, the Hamiltonian (12.1) in the new coordinates is

H(J,

χ, ε) = H

0

(J) + εF (J,

χ),

(12.4)

where H

0

and F are the functions h

0

and f expressed in the new variables,

respectively. The action variables J are defined on some open subset of R

l

, while

the angle variables are by their nature variables on a torus T

l

of dimension l.

In other words, the function F is periodic separately in each of its variables

χ

1

, . . . , χ

l

with fixed periodicity, for example equal to 2π.

We also assume that the functions H, H

0

and F are regular (of class

C

∞

or

analytic when needed) in each argument.

Example 12.1

The so-called Fermi–Pasta–Ulam model (Fermi et al. 1954) consists of a chain

of l + 2 equal particles linked by non-linear springs. The two particles at the

extremes of the chain are fixed. If (p, q) = (p

1

, . . . , p

l

, q

1

, . . . , q

l

) are the kinetic

moments and the coordinates of the l moving particles, setting q

0

= q

l

+1

= 0,

the Hamiltonian of the model is

H(p, q, ε) = h

0

(p, q) + εf (q)

where

h

0

(p, q) =

l

i

=1

p

2

i

2m

+

k

2

l

i

=0

(q

i

+1

− q

i

)

2

,

corresponds to the integrable part, and

f (q) =

λ

r

l

i

=0

(q

i

+1

− q

i

)

r

,

where r = 3 or r = 4, defines the non-linearity of the springs of the chain, and λ

is a constant. Fermi, Pasta and Ulam introduced this model to study numerically

the ergodic hypothesis and the equipartition theorem of statistical mechanics

(cf. Section 15.2).

Example 12.2

Consider a system of l identical particles, each performing a uniform rotation on

a fixed circle. Let q

i

be the angular coordinate identifying the ith particle and

12.1

Analytical mechanics: canonical perturbation theory

489

we examine a weak perturbation with potential energy

V (q

i

, q

i

+1

) =

−εV

0

cos(q

i

+1

− q

i

),

V

0

> 0,

where 0

≤ |ε|

1 measures the intensity of the coupling. If we assume that

the last particle is coupled to the penultimate and the first, setting q

0

= q

l

, the

Hamiltonian of the system is

H(p, q, ε) = h

0

(p) + εf (q),

with

h

0

(p) =

l

i

=1

p

2

i

2

,

f (q) =

−V

0

l

i

=1

cos(q

i

− q

i

−1

).

The action variables for the unperturbed system coincide with the kinetic

moments p and the angle variables correspond to the angles q

∈ T

l

. This

system can also be considered as a classic model for the study of the so-called

‘spin systems’ of statistical mechanics.

In the following two examples the perturbation is periodic in time.

Example 12.3

The Hamiltonian of the restricted three-body problem is quasi-integrable. Consider

the effect of the attraction of Jupiter on the revolution around the Sun of a

minor planet of the Solar System (the Earth, or Mercury) or of an asteroid. As a

first approximation we can consider the orbit of Jupiter as circular and fixed

(hence neglecting the effect of the attraction of the minor body on Jupiter). The

resulting problem has three degrees of freedom, but the Hamiltonian depends on

time t periodically (the period is equal to the period of revolution of Jupiter

around the Sun). The motion of the minor body is then described with respect

to a reference system with origin at the Sun, and axes moving with respect to

an inertial reference system (Fig. 12.1). Note that this system is however not

inertial, because the Sun has an acceleration (due to the attraction of Jupiter):

a

S

= Kε

r

G

|r

G

|

3

,

where K is a constant proportional to the mass of the Sun, ε is the ratio M

G

/M

S

between the mass of Jupiter and of the Sun (so that ε

≈ 10

−3

), and r

G

is the

position vector of Jupiter. The Hamiltonian of the system is then equal to

H(p, q, t, ε) =

|p|

2

2

−

K

|q|

−

Kε

|q − r

G

(t)

|

+ Kε

r

G

(t)

· q

|r

G

(t)

|

3

,

where the mass of the minor body is equal to 1, its position vector is denoted by

q

∈ R

3

and p denotes the relative conjugate kinetic momentum. The last term

in H is the (generalised) potential energy of the inertia force responsible for the

490

Analytical mechanics: canonical perturbation theory

12.1

G