Analytical Mechanics This page intentionally left blank

of degree d, then ω is diophantine with exponent µ = d

− 1 (Liouville’s theorem).

It is possible to prove that in fact all algebraic numbers are diophantine for every

exponent µ > 1, independent of their degree (by a theorem of Roth, cf. Schmidt

1980).

If ω satisfies a diophantine condition, and v is of class

C

∞

or analytic, the

series (12.47) and (12.48) converge uniformly and define a function of class

C

∞

and analytic, respectively.

T

heorem 12.4 Let ω ∈ C

γ,µ

and v

∈ C

∞

. Then the series (12.47) and (12.48)

converge uniformly.

Proof

Consider the series (12.47) (a similar argument applies to the series (12.48)):

(m,n)∈Z

2

\{(0,0)}

ˆ

v

m,n

i(mω + n)

e

i(mξ+nt)

≤

(m,n)∈Z

2

\{(0,0)}

|ˆv

m,n

|

|mω + n|

≤

(m,n)∈Z

2

\{(0,0)}

|ˆv

m,n

|

γ

(

|m| + |n|)

µ

.

Since v

∈ C

∞

, for r > µ + 2 we have the inequality (cf. Appendix 7)

(m,n)∈Z

2

\{(0,0)}

|ˆv

m,n

|

γ

(

|m| + |n|)

µ

≤

M

γ

(m,n)∈Z

2

\{(0,0)}

1

(

|m| + |n|)

r

−µ

< +

∞.

To prove that

(m,n)∈Z

2

\{(0,0)}

1

(

|m| + |n|)

r

−µ

< +

∞ compare the series with the

integral

∞

1

∞

1

dx dy

(x + y)

r

−µ

.

We can now conclude our discussion of the example from which we started.

Indeed, we have reduced the solution of equation (12.35) to the system of linear

equations (12.40). Each of the equations in (12.40) has the form (12.41) and

the previous theorem guarantees that if ω satisfies a diophantine condition with

constant γ and exponent µ, and if V (x, t) is of class

C

∞

(or analytic), the

system (12.40) admits a solution of class

C

∞

(or analytic), so that the functions

u

(1)

, . . . , u

(k)

, . . . that are solutions of (12.40) exist and are functions of class

C

∞

(or analytic) of (ξ, t). In fact, from the first equation of the system (12.40):

D

2

ω

u

(1)

(ξ, t) + V

x

(ξ, t) = 0,

(12.52)

12.4

Analytical mechanics: canonical perturbation theory

507

and expanding u

(1)

and V in Fourier series:

u

(1)

(ξ, t) =

(m,n)∈Z

2

\{(0,0)}

ˆ

u

(1)

m,n

e

i(mξ+nt)

,

V (ξ, t) =

(m,n)∈Z

2

\{(0,0)}

ˆ

V

m,n

e

i(mξ+nt)

,

(12.53)

we find

−(mω + n)

2

ˆ

u

(1)

m,n

+ im ˆ

V

m,n

= 0,

for every (m, n)

∈ Z

2

\{(0, 0)}. Hence

u

(1)

(ξ, t) =

(m,n)∈Z

2

\{(0,0)}

im ˆ

V

m,n

(mω + n)

2

e

i(mξ+nt)

.

(12.54)

The regularity of u

(1)

follows from the regularity of V and from the assumption

that ω satisfies a diophantine condition.

Since u

(1)

is

C

∞

, we can substitute this into the second equation of the system

(12.40):

D

2

ω

u

(2)

(ξ, t) + V

xx

(ξ, t)u

(1)

(ξ, t) = 0.

(12.55)

One can check that V

xx

(ξ, t)u

(1)

(ξ, t) has zero mean, and thus we can compute

u

(2)

, which is then of class

C

∞

, and so on. We are still left with the more difficult

problem of the convergence of the series (12.36). What we have seen so far only

guarantees that each term in the series is well defined. The convergence of (12.36)

under our assumptions (regularity of V and ω satisfying a diophantine condition)

is guaranteed by the following theorem, whose proof is beyond the scope of this

introduction (cf. Salomon and Zehnder 1989).

T

heorem 12.5 Let ω ∈ C

γ,µ

and suppose that V is analytic. Then there exists a

unique solution u(ξ, t; ε) of (12.35) that is analytic in (ξ, t; ε). Moreover there exists

a constant ε

0

> 0 such that the series expansion (12.36) of u(ξ, t; ε) converges

uniformly with respect to (ξ, t) for all ε such that

|ε| < ε

0

.

The constant ε

0

of the previous theorem depends only on V and on ω. If ω =

(

√

5

− 1)/2 and V = − cos ξ − cos(ξ − t), ε

0

has a value of approximately 0.03.

The computation of ε

0

—and its physical significance—have been discussed, e.g.

in Escande (1985).

12.4

Discussion of the fundamental equation of canonical

perturbation theory. Theorem of Poincar´

e on the

non-existence of first integrals of the motion

We consider again the fundamental equation of canonical perturbation theory

(12.13), and we show how the discussion of equation (12.46) extends to the more

general case.

508

Analytical mechanics: canonical perturbation theory

12.4

Since the mean on the torus T

l

of the term

ω(J ) · ∇

χ

W

(1)

is equal to zero

because of the periodicity of W , a necessary condition (which clearly is not

sufficient) for (12.13) to have a solution is

1

(2π)

l

T

l

(H

1

(J )

− F (J , χ)) dχ

1

. . . dχ

l

= 0,

(12.56)

which allows the determination of H

1

as the mean of the perturbation:

H

1

(J ) =

1

(2π)

l

T

l

F (J ,

χ) dχ

1

. . . dχ

l

= F

0

(J ),

(12.57)

as we have already seen when l = 1 (cf. (12.15)).

Fixing the values of the actions J , the linear operator

D

ω

=

ω · ∇

χ

(12.58)

has constant coefficients. Its eigenvalues λ and eigenfunctions u

λ

(χ) are of the

form

λ = im

· ω,

u

λ

= e

im·χ

,

(12.59)

where m

∈ Z

l

and

ω = ω(J ) is the vector of frequencies.

D

efinition 12.3 The frequencies ω ∈ R

l

are called non-resonant if for every

m

∈ Z

l

, m =

/ 0,

m

· ω =

/ 0.

(12.60)

Otherwise (hence if there exists m

∈ Z

l

, m =

/ 0, such that m

· ω = 0) the

frequencies

ω are said to be resonant.

Example 12.8

The vector (1,

√

2,

√

3)

∈ R

3

is non-resonant, while 1,

√

2, 1/

√

2 is resonant (for

example consider m = (0, 1,

−2)).

Remark 12.6

We could naturally examine the various possible kinds of resonance, and consider

the associated modules of resonance (cf. Definition 11.7). This would lead us

to the study of resonant normal forms, which goes beyond the scope of this

introduction.

If

ω is non-resonant, the eigenvalue λ = 0 of D

ω

corresponds to the choice

m = 0 and has multiplicity one. The fundamental equation of the canonical

theory of perturbations is therefore formally solvable (neglecting the question of

the convergence of the series arising when considering the Fourier expansions of

W

(1)

and F ).

T

heorem 12.6 If ω is non-resonant, there exists a formal solution W

(1)

of

equation (12.13). The solution is unique if we require that the mean of W

(1)

on

the torus T

l

is zero: ˆ

W

(1)

0

= 0.

12.4

Analytical mechanics: canonical perturbation theory

509

Proof

Expanding both F and W

(1)

in Fourier series (see Appendix 7):

F (J ,

χ) =

m∈Z

l

ˆ

F

m

(J )e

im·χ

,

W

(1)

(J ,

χ) =

m∈Z

l

ˆ

W

(1)

m

(J )e

im·χ

,

(12.61)

and substituting these expansions into (12.13) we find

im

· ω(J ) ˆ

W

(1)

m

(J ) + ˆ

F

m

(J ) = 0,

(12.62)

for every m

∈ Z

l

\{0}, from which it follows immediately that

ˆ

W

(1)

m

(J ) =

ˆ

F

m

(J )

−im · ω(J )

.

(12.63)

The non-resonance hypothesis (12.60) guarantees that the denominators in (12.63)

never vanish.

When the Hamiltonian H

0

is linear in the action variables (harmonic oscillators)

H

0

(J) = J

· ω =

l

k

=1

ω

k

J

k

,

(12.64)

the non-resonance condition is a hypothesis on the unperturbed system, and not

on the values of the action variables, as the frequencies do not depend on the

actions. However, in general the frequencies

ω depend on the action variables,

and hence contrary to the case of (12.64), the function

ω(J ) is not constant,

and the non-resonance condition will only hold on a subset of the phase space.

D

efinition 12.4 A Hamiltonian integrable system H

0

(J) is non-degenerate (in

an open subset A

⊂ R

l

) if there exists a constant c > 0 such that for every J

∈ A,

det

∂

2

H

0

∂J

i

∂J

k

(J)

≥ c.

(12.65)

If a system is non-degenerate, by the local invertibility theorem the map

ω : A → R

l

,

J

→ ω(J) = ∇

J

H

0

(J),

is a local diffeomorphism. In this case, the hypothesis of non-resonance (12.60)

selects some values of the action variables, and disregards others. Since the set of

510

Analytical mechanics: canonical perturbation theory

12.4

vectors of R

l

orthogonal to vectors of Z

l

is dense in R

l

, the resonance condition

ω · m = 0 is satisfied for any m ∈ Z

l

, m =

/ 0 in a dense subset

Ω

r

of R

l

:

Ω

r

=

m∈Z

l

m=0

{ω ∈ R

l

|ω · m = 0}.

However, since the frequencies

ω are in continuous one-to-one correspondence

with the action variables, the resonance condition is satisfied by values of the

actions J which belong to a dense subset A

r

of A:

A

r

=

{J ∈ A|ω(J) ∈

Ω

r

} =

m∈Z

l

m=0

{J ∈ A|ω(J) · m = 0}.

We shall see shortly (cf. Theorem 12.7) that the density of A

r

in A makes it

impossible to define the canonical transformation generated by J

· χ + εW

(1)

as a regular transformation on an open susbset of the phase space, and it

precludes the existence of analytic first integrals of the motion, independent of

the Hamiltonian, in quasi-integrable systems (cf. Theorem 12.8). This was proved

by Poincar´

e in 1893.

D

efinition 12.5 A function F : A×T

l

→ R, F = F (J, χ) has a generic Fourier

series expansion if for every J

∈ A and every m ∈ Z

l

there exists m

∈ Z

l

parallel

to m such that ˆ

F

m

(J) =

/ 0.

T

heorem 12.7 (Poincar´e) If the integrable part of the Hamiltonian (12.4) is

non-degenerate in an open set A and the perturbation F has a generic Fourier

series expansion, the fundamental equation of perturbation theory (12.13) does

not admit a solution W

(1)

(J ,

χ) which is regular as the action variables vary in

the open set A.

Proof

The proof is by contradiction. Suppose that the fundamental equation of perturb-

ation theory (12.13) admits a solution W

(1)

regular with respect to the actions.

The non-degeneracy of the Hamiltonian H

0

guarantees the invertibility of the

relation between the actions J and the frequencies

ω, as well as the continuity

of both transformations (from actions to frequencies and vice versa). The set

Ω

r

of resonant frequencies is dense in every open subset of R

l

. It follows that the set

A

r

of the J resonant actions, to which there corresponds a resonant frequency

ω(J ), is dense in A. Therefore, for every J ∈ A there exists an action J ∈ A,

arbitrarily close to J , and a vector m

∈ Z, m =

/ 0, such that m

· ω(J) = 0 for

m = m and for all vectors m = m parallel to it. From (12.62) it then follows

that necessarily F

m

(J) = 0 and by continuity also that F

m

(J) = 0, and hence

F

m

(J) = 0 for every m parallel to m, contradicting the hypothesis that F has

a generic Fourier series expansion.

The density of the set A

r

of the actions corresponding to resonant values of

the frequencies has significant consequences for the problem of the existence of

analytic first integrals, independent of the Hamiltonian.

12.4

Analytical mechanics: canonical perturbation theory

511

Consider the Hamiltonian quasi-integrable system (12.4) and seek a solution

for the equation of the first integrals

{I, H} = 0

(12.66)

in the form of a power series in ε:

I(J,

χ, ε) =

∞

n

=0

ε

n

I

(n)

(J,

χ).

(12.67)

Substituting equation (12.67) into (12.66), taking into account the form (12.4)

of H and equating terms of the same order in ε, we obtain an infinite system

of equations for the (unknown) coefficients of the expansion (12.67) of the first

integral sought:

{I

(0)

, H

0

} = 0,

{I

(1)

, H

0

} = {F, I

(0)

},

. . . . . .

{I

(n)

, H

0

} = {F, I

(n−1)

}.

(12.68)

We remark first of all that the Poisson bracket with H

0

is an operator of the

form

{·, H

0

} = ω(J) · ∇

χ

,

(12.69)

and hence it coincides with the operator D

ω

(12.58). Each equation of the infinite

system (12.68) therefore has the form of the fundamental equation of canonical

perturbation theory (12.13). We start by proving that the first of equations

(12.68) implies that I

(0)

does not depend on the angles

χ.

P

roposition 12.3 If the Hamiltonian H

0

(J) is non-degenerate and I

(0)

is a

first integral that is regular for the Hamiltonian flow associated with H

0

, i.e. a

regular solution of the equation

{H

0

, I

(0)

} = 0,

(12.70)

then I

(0)

does not depend on the angles

χ, and hence I

(0)

= I

(0)

(J).

Proof

Assume that I

(0)

(J,

χ) is a solution of (12.70). Substituting the equation into

the Fourier series expansion of I

(0)

:

I

(0)

(J,

χ) =

m∈Z

l

ˆ

I

(0)

m

(J)e

im·χ

,

we find

i

m∈Z

l

(m

· ω(J))ˆI

(0)

m

(J)e

im·χ

= 0,

512

Analytical mechanics: canonical perturbation theory

12.4

and hence it follows that for every m

∈ Z

l

we have

ˆ

I

(0)

m

(J)

≡ 0

or

m

· ω(J) ≡ 0.

Differentiating the latter relation with respect to the actions, we find

l

i

=1

m

i

∂ω

i

∂J

k

= 0,

for every k = 1, . . . , l, which, when m =

/ 0, is satisfied only if

det

∂ω

i

∂J

k

= det

∂

2

H

0

∂J

i

∂J

k

= 0,

contradicting the hypothesis of non-degeneracy (12.65). It follows that the only

non-zero Fourier coefficient is the one corresponding to m = 0 and the solutions

of the first of equations (12.68) are necessarily of the form

I

(0)

= I

(0)

(J).

We now use induction, and assume that we have solved equations (12.68) for

I

(1)

, . . . , I

(n−1)

. Consider then the equation

{I

(n)

, H

0

} = {F, I

(n−1)

}.

(12.71)

Indicating by F

(n)

the term, known by the inductive hypothesis, which appears

on the right-hand side, by expanding in Fourier series both I

(n)

and F

(n)

we

find the relation

im

· ω(J)ˆI

(n)

m

(J) = ˆ

F

(n)

m

(J),

(12.72)

which must hold for every m

∈ Z

l

.

There are therefore two problems to be solved in order to prove the existence

of a solution of (12.72).

(a) We must prove that ˆ

F

(n)

0

(J)

≡ 0, and hence that {F, I

(n−1)

} has zero mean

value. This is immediate for n = 1 (since ˆ

I

(0)

is independent of

χ and F is

periodic in

χ) but it is non-trivial for n ≥ 2.

(b) We again need a non-resonance condition for

ω(J) (unless ˆ

F

(n)

m

(J) vanishes

when m

· ω(J) = 0) to guarantee at least the existence of a formal solution

(still neglecting the problem of the convergence of the series).

While the first problem can be solved generally by a more in-depth study of

the series (cf. Cherry 1924a,b; Whittaker 1936, chapter 16; Diana et al., 1975),

the second is at the heart of the non-existence theorem of Poincar´

e (Poincar´

e

1892, sections 81–3).

12.4

Analytical mechanics: canonical perturbation theory

513

D

efinition 12.6 An analytic first integral of the motion I depends only on H if

there exists a non-constant analytic function g of one variable such that I = g(H).

Otherwise, I is independent of H.

T

heorem 12.8 (Poincar´e) If H(J, χ, ε) is a Hamiltonian quasi-integrable system

satisfying the same hypotheses as Theorem 12.6 (non-degeneracy and genericity),

there does not exist an analytic first integral of the motion I(J,

χ, ε) (for which

the expansion (12.67) is therefore well defined and convergent if ε is sufficiently

small, uniformly with respect to J

∈ A and χ ∈ T

l

) which is independent of H.

The proof of the theorem of Poincar´

e uses the following.

L

emma 12.1 An analytic first integral I, such that I

(0)

is independent of H

0

,

is also independent of H. Conversely, if I is an analytic first integral that is

independent of H, one can associate with it an analytic first integral ˜

I with ˜

I

(0)

independent of H

0

.

Proof

If I depends on H, I

(0)

necessarily depends on H

0

. Indeed since I = g(H) =

g(H

0

+ εF ), expanding in Taylor series it follows that I = g(H

0

) + εg (H

0

)F +

· · · .

Comparing with (12.67) we find I

(0)

= g(H

0

), proving the first part of the

proposition.

Now let I

0

be an analytic first integral that is independent of H and consider

the power series expansion in ε:

I

0

= I

(0)

0

+ εI

(1)

0

+ ε

2

I

(2)

0

+

· · · .

(12.73)

We want to prove that if I

(0)

0

is not independent of H

0

, starting from I

0

one can

construct another first integral I, analytic and independent of H, for which I