Angren universiteti mustaqil ish

1. Boshlangʻich tushunchalar
Fan va texnikaning koʻplab masalalari oddiy differensial tenglamalarni yechishga olib kelinadi. Oddiy differensial tenglama deb erkli oʻzgaruvchi (argument), izlanayotgan funksiya va uning bir qator hosilalarini oʻz ichiga olgan tenglamaga aytiladi. Oddiy differensial tenglama umumiy holda quyidagicha yoziladi: F(x, y, y, y, …, y (n) ) = 0, bu yerda x – erkli oʻzgaruvchi; y (i) – izlanayotgan funksiyaning i-tartibli hosilasi, y (i) = i i dx d y ( ) ; n – tenglamaning tartibi. n-tartibli oddiy differensial tenglamaning umumiy yechimi n ta c1, c2, .., cn oʻzgarmaslarni oʻz ichiga oladi, yaʼni uning umumiy yechimi quyidagicha yoziladi: y = (x, c1, c2, .., cn). Oddiy differensial tenglamaning yagona yechimini topish uchun n ta qoʻshimcha shartlar kiritish lozim boʻladi. Agar bu qoʻshimcha shartlr bitta nuqtada berilsa, u holda bunday masala Koshi masalasi deb ataladi. Koshi masalasining qoʻshimcha shartlari boshlangʻich shartlar deb ataladi. Agar qoʻshimcha shartlar bittadan ortiq nuqtalarda berilsa, yaʼni erkli oʻzgaruvchining har xil qiymatlarida berilsa, u holda bunday masala chegaraviy masala deb ataladi. Bunday masalaning qoʻshimcha shartlari chegaraviy shartlar deb ataladi. Xususan, n = 1 boʻlganda gap faqat Koshi masalasi haqida ketadi. Koshi masalasining qoʻyilishiga misollar keltiraylik: 1) y = x 3 y 2 , y(1) = 2; 2) y = y + xy3 , y(1) = 1 , y(1) = 0. Chegaraviy masalasining qoʻyilishiga misollar keltiraylik: 1) y + 2y – xy , y(0) = 1 , y(1) = 0; 2) y = x + xy – y , y(1) = 0 , y(1) = 0 , y(3) = 2 . Bunday masalalarni analitik usullar bilan faqatgina maxsus turdagi tenglamalar uchungina yechish mumkin. Qolgan hollarda biror sonli usulga murojaat qilishga toʻgʻri keladi. Quyida ana shunday bir qadamli sonli usullar bilan birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni yechishni qarab chiqamiz.
2. Masalaning qoʻyilishi
Koshi masalasi. Ushbu birinchi tartibli oddiy differensial tenglamaning boshlangʻich shart bilan [x0, xn] kesmadagi yechimini toping. Bu masalaning taqribiy yechimini topishda hisoblashlar h = (xn – x0)/n qadam bilan bajariladi, bunda hisob tugunlari sifatida [x0, xn] kesmadagi xi = x0 + ih, i=0, 1, .., n nuqtalardan foydalaniladi. Ishning maqsadi quyidagi jadvalni tuzish: xi x0 x1 … xn yi y0 y1 … yn yaʼni y(x) funksiyaning taqribiy qiymatlari toʻrning tugun nuqtalarida izlanadi. Berilgan tenglamani [xi, xi+1] kesmada integrallab, quyidagi tenglikka ega boʻlamiz: Masalaning sonli yechimini topish uchun ana shu integral sonli integallashning biror kvadratur formulasi bilan almashtirilib, masala yechiladi. Quyida ana shunday usullar bilan tanishamiz. 3. Eylerning oshkor usuli Ushbu bandda quyidagi Koshi masalasini taqribiy yechishning universial usuli tavsiflangan: y(x) = f(x,y(x)), x0  x  x0 + L, (1) y(x0) =  . (2) bu yerda L > 0, L – integrallash kesmasining uzunligi. Bu tenglamaning yechimi deb shunday y(x) funksiya tushuniladiki, u berilgan [x0, x0+L] kesmaning har bir nuqtasida hosilaga ega, shu nuqtalarda (1) tenglamani qanoatlantiradi va x = x0 nuqtada qoʻshimcha (boshlangʻich) shart (2) ni qanoatlantirsin.
Bunday yechimni mavjud va yagona deb faraz qilamiz. Bundan tashqari taqribiy yechimning mavjudligini ham kafolatlash uchun f(x,y) funksiya [x0 , x0+ L] kesmaga mos kenglikning ixtiyoriy (x*, y*) nuqtasida aniqlangan deb kelishamiz (1-rasm). 1-rasm. 2-rasm N natural sonni tanlaymiz va integrallash kesmasi [x0 , x0 + L] ni h = L/N (3) uzunlikli N ta boʻlakka xi = x0 + ih, i = 0, 1, …, N (4) nuqtalar bilan boʻlamiz (2-rasm). Diskret nuqtalr toʻplami (4) ni [x0, x0+L] kesmadagi toʻr, xi nuqtalarning oʻzlarini esa toʻrning tugunlari deb ataymiz. Yonma-yon nomerli toʻr tugunlari orasidagi masofa uzunligi (3) umumiy kesmaning boʻlagi boʻlgan [xi, xi+1] kesmaning uzunligi boʻlib, u toʻrning qadami deb ataladi (3-rasm). N ning cheksiz oʻsishida toʻr qadami nolga intiladi: N  da h  0, (5) bundan esa toʻr zichlashub boraveradi. 3-rasm. Bizning maqsadimiz, izlanayotgan y(x) yechimning bu toʻr tugunlaridagi y(xi) qiymatlarini taqribiy topishning tenglamalari sistemaini hosil qilish. Buning uchun (1) differensial tenglamada toʻrning xi nuqtasida y(xi) hosilaning yozilgan ushbu y(xi) = f(xi, y(xi)) (6) ifodasini quyidagi toʻr boʻyicha yaqinlashish bilan almashtirish: h y x y x h y x h y x i i i i ( ) ( ) ( ) ( ) 1      . (7) Bu sxemaning maʼnosi quyidagicha.
Faraz qilaylik, i – toʻr boʻyicha yaqinlashish (7) ning xatoligi boʻlsin: i i i i y x h y x y x      ( ) ( ) ( ) 1 . Bu yerdan y(xi) hosilani quyidagicha i i i i h y x y x y x      ( ) ( ) ( ) 1 ifodalab, uni (6) tenglikning chap tarafiga qoʻysak, quyidagi munosabatni hosil qilamiz: i i i i i f x y x h y x y x     ( , ( )) ( ) ( ) 1 . (8) Bu tenglikni izlanayotgan ikkita y(xi) va y(xi+1) miqdorlar qanoatlantiradi. Shuni taʼkidlaymizki, (8) tenglama barcha i = 0, 1, …, N–1 lar uchun yozilishi mumkin. Bulardan esa (8) tenglama N ta tenglamalar sistemasini tashkil qiladi (bu yerda i = N uchun (8) tenglamani yozib boʻlmaydi, chunki bu tugunda xi+1 nuqta toʻrdan tashqariga chiqib ketadi). Afsuski, (8) tenglamaning oʻng tarafida ishtirok etayotgan i xatolik hozircha bizga maʼlum emas, shuning uchun (8) sistemadan foydalanib barcha y(xi) miqdorlarni i = 1, 2, …, N lar uchun toʻgʻridan-toʻgʻri topib boʻlmaydi, bunda hozircha boshlangʻich shartdan faqatgina y(x0) maʼlum. Ammo h qadam juda kichik tanlanganda bu xatolik ham juda kichik boʻladi va uni (8) tenglamadan tashlab yuborish mumkin boʻladi. Ana shu holatda izlanayotgan nomaʼlum y(xi) miqdorni yi deb belgilab, quyidagi tenglamalar sistemasiga kelamiz: ( , ) 1 i i i i f x y h y y    , i = 0, 1, …, N-1. (9) Bu yerda (8) tenglamaning oʻng tarafidagi oʻzgarish, albatta, uning yechimini ham oʻzgartiradi. Bu (9) tenglamalar sistemasiga ushbu y0 =  (10) tenglikni ham qoʻshib, nomaʼlum yi miqdorlarni topishning skalyar tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Ushbu y0, y1, …, yN ketma-ketlik skalyar tenglamalar sistemasi (9) dan topilgan nomaʼlum yi miqdorlarning qiymatlari boʻlib, ular toʻr yechimlar deb ataladi, bu ketma- 9 ketlikning umumiy hadi yi esa toʻr yechimning xi tugundagi qiymati deyiladi. Dastlabki x0 tugunda toʻr yechim berilgan diferensial masalaning boshlangʻich shart bilan berilgan yechimi bilan mos keladi, yaʼni y0 =  = y(x0), toʻrning boshqa tugunlarida esa ushbu yi  y(xi), i = 1, 2, …, N taqribiy yaqinlashishlargina aniqlangan boʻladi. 1-lemma. (9) – (10) tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega. Isbot. (9) tenglamani quyidagicha yozib olamiz: ( , ) i 1 i i i y  y  h f x y  , i = 0, 1, …, N–1. (11) Berilgan f funksiyaning aniqlanish sohasi haqidagi farazga koʻra (11) tenglikning oʻng tarafi ixtiyoriy haqiqiy yi lar uchun aniqlangan, shuning uchun bu tenglik oldingi xi tugundagi toʻr yechimdan foydalaib xi+1 tugundagi toʻr yechimni topish imkoniyatini beruvchi formula boʻlib hisoblanadi. (10) tenglikka koʻra x0 tugundagi toʻr yechim maʼlum, (11) dan ketma-ket foydalanish orqali esa barcha nomaʼlum y1, y2, …, yN larni biridan ikkinchisini bir qiymatli topib borish mumkin. 1-izoh. Toʻr yechimlarni topishning yuqorida tavsiflangan ushbu y0 =  , ( , ) i 1 i i i y  y  h f x y  , i = 0, 1, …, N–1. (11) algoritmi 1768 yilda shvetsariyalik matematik olim Leonard Eyler (1707- 1783) tomonidan taklif etilgan boʻlib, bu algoritm uning nomiga Eylerning oshkor usuli deb ataladi. Bu usulning «oshkor» deb atalishiga sabab (9) tenglamaning yi+1 ga nisbatan yechilgan holda berilishidadir. Bu bilan (11) oshkor formula oldingi xi tugundagi yi toʻr yechimdan foydalanib xi+1 tugundagi yi+1 toʻr yechimni topish imkoniyatini berishi tushuniladi. Endi (11) algoritmning geometrik talqinini beraylik. Buning uchun avvalo (1) differensial tenglamaning yechimlar toʻplami mavjudligini faraz qiliamiz, yaʼni berilgan [x0 , x0 + L] kesmaga mos kenglikning ixtiyoriy ichki (x*, y*) nuqtasi orqali bu tenglamaning integral egri chizigʻi oʻtadi, boshqacha qilib aytganda, (x0 , x0 + L) ochiq intervaldan olingan ixtiyoriy x* va ixtiyoriy haqiqiy y* uchun ushbu y(x*) = y* , y(x) = f(x, y(x)) Koshi masalasi yechiladi. Oddiy differensial tenglamalar nazariyasidan bizga maʼlumki, buning uchun kenglikning ixtiyoriy nuqtasida x, y oʻzgaruvchilar juftligi boʻyicha f funksiyaning uzluksizligini faraz qilish yetarli.
2-izoh. Geometrik nuqtai nazardan Eyler oshkor usulining maʼnosi izlanayotgan y yechimning [xi, xi+1] intervaldagi grafigini xuddi shu differensial tenglamaning unga yaqin boʻlgan biror yechimi grafigiga oʻtkazilgan urinma boʻlagini anglatadi. Agar y yechimning xi tugundagi y(xi) yechimi aniq boʻlganda edi, u holda bunday boʻlak sifatida y yechimga xi nuqtada oʻtkazilgan urinma boʻlagini olish mumkin (4-rasm). 4-rasm. 5-rasm Ammo biz y(xi) miqdor oʻrniga uning yi taqribiy qiymatini bilamiz, shuning uchun izlanayotgan y yechimning grafigiga (xi, y(xi)) nuqtadan boshqasi orqali urinma oʻtkazishga majburmiz, bu xuddi shu differensial tenglama y (i) - yordamchi yechimi grafigining (xi, yi) nuqtasidan oʻtuvchi urinma (5-rasm). Bu urinmaning oʻrdinata oʻqiga parallel va xi+1 tugun orqali oʻtuvchi toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasining ordinatasi (11) formula bilan hisoblangan yi+1 miqdorga aynan teng ekanligini koʻrsataylik. Aslida esa, faraz qilaylik, x – aytilgan urinmaning ixtiyoriy nuqtasining absissasi, ỹ(x) – shu nuqtaning ordinatasi, i – bu urinmaning x oʻq bilan tashkil qilgan burchagi boʻlsin (5-rasm). U holda ỹ(x) = (tgi)(x– xi) + yi , (13) bu tenglama burchak koeffitsiyenti k = tgi va (xi, yi) nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi. Maʼlumki, (13) toʻgʻri chiziq y (i) funksiyaning grafigiga x = xi nuqtada urinadi.