Аниқ интегралга келтирилувчи масалалар. Аниқ интегралнинг таърифи ва унинг асосий хоссалари. Ньютон-Лейбниц формуласи. Аниқ интегралда

               2-TEOREMA:    Agar  F(x)  uzluksiz  f(x)    funksiyaning  biror 

boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda 

                                      

)

(

)

(

)

(

)

(

a

F

b

F

x

F

dx

x

f

b

a

b

a

−

=

=



                               (4) 

tеnglik o‘rinlidir.  

          Izoh:  (4)  formulada  F(x)  sifatida  f(x)  funksiyaning  ixtiyoriy  bir 

boshlang‘ich funksiyasini olish mumkin. Bunga sabab shuki, f(x) funksiyaning 

ixtiyoriy ikkita F

1

(x) va F

2

(x) boshlang‘ich funksiyalari bir – biridan faqat biror 

C o‘zgarmas son bilan farqlanadi va F

1

(b)–F

1

(a)= F

2

(b)–F

2

(a) bo‘ladi.  

           1-TA’RIF:    (4)  tеnglik  aniq  integralni  hisoblashning  Nyuton-

Lеybnits formulasi deyiladi. 

        Aniqmas  va  aniq  integral  tushunchalari  bir-biriga  bog‘liqmas  ravishda 

kiritilgan edi. Aniqmas integral f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyalari sinfi 

singari  ,  aniq  integral  esa  f(x)  funksiyaning  [a,b]  kesma  bo‘yicha  integral 

yig‘indilarining  limiti  singari  kiritilganligini  eslatamiz.  Ammo  bu  ikkala 

tushuncha  orasida  chambarchas  bog‘lanish  mavjudligi  va  ularning  ikkalasi 

ham “integral” deb atalishi bejiz emasligini ko‘rsatish uchun Nyuton – Leybnits 

formulasini shartli ravishda quyidagicha yozamiz: 

            

b

a

b

a

b

a

b

a

dx

x

f

C

x

F

x

F

a

F

b

F

dx

x

f





=

+

=

=

−

=

)

(

]

)

(

[

)

(

)

(

)

(

)

(

          (5) 

        Demak, aniq integralni Nyuton – Leybnits formulasi bo‘yicha hisoblash 

uchun  dastlab  uning  chegaralarini  “unutib”,  uni  aniqmas  integral  singari 

qaraymiz  va  hisoblaymiz.  So‘ngra  chegaralar  borligini  “eslab”,  aniqmas 

integralni hisoblangan ifodasiga x o‘rniga yuqori chegara b va quyi chegara a 

qiymatlarini qo‘yamiz. Natijada hosil bo‘lgan sonlar ayirmasini olib, berilgan 

aniq integral qiymatini topamiz. Bunda aniqmas integral javobidagi ixtiyoriy C 

o‘zgarmas sonni hisobga olmasak ham bo‘ladi. 

        Misol sifatida, f(x)=x

α

 (α≠–1) darajali funksiyadan [a,b] kesma bo‘yicha 

olingan  aniq  integralni  (4)  Nyuton  –  Leybnits  formulasi  yordamida 

hisoblaymiz: 

1

1

1

1

1

+

−

=

+

=

+

+

+















a

b

x

dx

x

b

a

b

a

 . 

   Bevosita ta’rif bo‘yicha hisoblangan (1) natija bu yerdan α=1 bo‘lganda kelib 

chiqadi. 

6.3. 

Bo‘laklab 

integrallash 

usuli. 

u=u(x) 

vа 

v=v(x)  

diffеrеntsiallanuvchi funksiyalar  bo‘lsin. Bu holda (иv)′=u′v+иv′ ekanligidan 

иv funksiya u′v+иv′ uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi. Shu sababli, Nyuton 

– Leybnits formulasiga asosan, 

b

a

b

a

uv

dx

v

u

v

u

=



+





]

[

 

tenglikni yozish mumkin. Bu yerdan, aniq integralning II xossasi va u′dx=du, 

v′dx=dv ekanligidan foydalanib, ushbu natijalarni olamiz: 



=

+



=



+











b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

uv

udv

vdu

uv

dx

v

u

vdx

u

u

vd

uv

udv

b

a

b

a

b

a





−

=

                                (6) 

            2-TA’RIF:  (6)  tеnglik  aniq  integralni  bo‘laklab  integrallash 

formulasi dеb ataladi. 

      Aniq  integralda  o‘zgaruvchini  almashtirish  usuli.  Berilgan  uzluksiz 

y=f(x) funksiyadan [a,b] kesma bo‘yicha olingan 



b

a

dx

x

f

)

(

 

aniq integralni ba’zi hollarda biror x=

(t) differensiallanuvchi funksiya orqali 

“eski”  x  o‘zgaruvchidan  “yangi”  t  o‘zgaruvchiga  o‘tish  usulida  hisoblash 

mumkin  bo‘ladi.  Bunda 

(t)  funksiya  almashtirma  deb  ataladi  va  unga 

quyidagi shartlar qo‘yiladi: 

1. 

()=а , ()=b ; 

2. 

(t)  vа  ′(t) funksiyalar t[ ]  kesmada  uzluksiz ; 

3.  f [

(t)] murakkab funksiya  [ ] kesmada aniqlangan va uzluksiz.  

Bu shartlarda ushbu formula o‘rinli bo‘ladi: 

                                               

 







=

b

a

dt

t

t

f

dx

x

f

)

(

)

(

)

(









                            (7) 

 

3-TA’RIF: (7) tеnglik aniq integralda o‘zgaruvchilarni almashtirish 

formulasi dеb ataladi.