Aniq in teg raln I taq rib iy hisoblash Odatda, aniq integrallar Nyuton-Leybnits formulasi yordamida

. / ( *≪-1)+/ ( x„) t v v . b - a ... + -------------------“ *n~i) ~
+ / (* ,) + / (* 2 ) + ... + f{ x nA )]
formulaga kelamiz. Demak,
VU o )+/(*„)
f i x , Q )+ / +
J / t t * - * = ￡ + / ( * , ) + /(*2 )+-.- + /(* „ _ | )J. (3)
(3) formula trapesiyalar f o rmulas i deyiladi.
Bu taqribiy formulaning xatoligi / ? ',/ (x) funksiya |a, b\ da
uzluksiz /"(*) hosilaga ega bo‘lishi shartida ,
r: = - (b -a f r „
12 n
bo‘ladi. Demak,
| f ( x ) d x = + / ( x ,) +
a
+ /(x2) + ... + /(*„_,)] /"(C)-
3°. Simpson formulasi. Bu holda f{x) funksiyaning
b
| f(x)dx
a
integralini taqribiy hisoblash uchun [a, b\ segmentni ї/ = jc0 , x, ,
v Y Y r , v- , v, = b nuqtalar yordamida I n ta . . . ,X lk ,X 2jt+l , *2*+2 , - » A 2 „ . 2 , *2m-1 ’ A2n J
teng bo‘lakka bo‘lib, har bir \x2k, xlk+i\, (k = 0 ,1 ,2 ,...,« - 1 ) b o -
yicha integral quyidagicha
x2k*2
f f ( X)dx • ^ r t e -WXik) + 4/(X2fei) + / ( * u +2) j =
*2*
^ [ / ( ^ 2 * ) + 4 / (X2*+i ) + /(^2fc+2)]> ( ^ = 0 , l , . . . , n 1)
ko‘ rinishda taq rib iy hisoblanadi. Natijada
257
b x2 x4 f
} / (x )d x = J f ( x ) d x + j f{x)dx+. . .+ j / ( * ) “ * “
≫ ^ [ ( / U o) + 4 / (x,) + / (x2)) + ( / ( ^ ) + 4 / ( ^ ) + Oft
+ / ( x 4 ) ) + . . .+ ( / ( * 2„_2 ) + 4 / ( x2w_i ) + / ( ^ n ) ) l =
= ^ l ( / ( * o ) + / ( * 2„ ) ) + 4 ow ( / (X j ) + / (X3) + ...
. . . + / ( * 2i.-l ) ) + 2 ( / ( X 2 ) + / ( * 4 ) + . . . + / ( * 2≪~2 ) ) )
hosil bo‘ladi. Demak,
J /(x)rfx ^ l / ( * b ) + / (* 2 » ) + “*(/(* , >+ /<Д;) + •••
a
... + /(X2„_,)) + 2(/(.x3) + /(.v4) +... + /(-x-2„_2))]. (4 )
(4) formula Simpson fo rmulas i deyiladi.
Bu taqribiy formulaning xatoligi R " , f i x ) funksiya \a, b\ da
uzluksiz f UV){x) hosilaga ega bo‘lishi shartida,
bo‘ladi. Demak,
b
J f ix) dx = - ^ [ / ( * 0) + / ( x 2n)+ 4 (/ ( x ,) + / (x 3) +... + / (x 2w_,)) +
a
+2f(x2„_2))] - /<"'»(0.
ZooU/1
I 2
Misol. Ushbu J e~x dx
0
integral to‘g ‘ri to'rtburchaklar, trapesiyalar va Simpson formulalari
yordamida taqribiy hisoblansin.
< [0, 1] segmentni 5 ta teng bo'lakka bo‘lamiz. Bunda boiinish
nuqtalari
* o = 0 , * ,= 0 ,2 , x2 = 0 ,4 , *3 = 0 ,6 , *4 =0,8, *<=1,0
258
bo‘lib, bu nuqtalarda / ( x ) = e * fiinksiyaning qiymatlari quyidagicha
bo'ladi:
/(Xq) a 1,00000,
/ ( * ,) = 0,96079,
/ ( x 2) = 0,85214,
/ (x 3) = 0,69768,
/ (x 4) = 0,52729,
/ (x 5) = 0,36788.
Har bir bo'lakning o‘rtasini ifodalovchi nuqtalar
X, =0,1, x 3 = 0 ,3 , x 5 = 0 ,5 , x 7 = 0 ,7 , x 9 =0,9
2 2 2 2 2
bo‘lib, bu nuqtalardagi funksiyaning qiymatlari quyidagicha bo‘ladi:
/(X, ) = 0,99005,
2
/ ( x 3) = 0,91393,
2
/(X s) = 0,77680,
2
/ ( x 7 ) = 0,61263,
5
/ ( x 9 ) = 0,44486.
5
a) To‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi bo‘yicha
i
J e " * 2 i/x - 1 ( 0 , 9 9 0 0 5 + 0 , 9 1 3 9 3 + 0 , 7 7 6 8 0 +
о
+0,61263+0,44486) = i -3,74027 =0,74805
bo‘lib, |/?л I < « o, 003 bo'ladi.
f e~*2 d x~\ (LggP00^ 36.78? + o, 96079 + 0,85214 +
0
+ 0,69768 + 0,52729) = ^ (0,68394 + 3,03790) =
= i - 3 , 7 2 1 8 4 « 0 , 7 4 4 3 7
bo‘ lib, \R'„ I < = r L = 0,006 bo'ladi.
o 2 j 1 5U
d) Simpson formulasi bo‘yicha
j e ' x2dx - i - [(1,00000 +0,36788) +4(0,99005 +
0
+0,91393 + 0,77680 + 0,61263 + 0,44486) + 2(0,96079 +
+0,85214 + 0,69768+0,52729)] = 1 (1 ,3 6 7 8 8 +4 -3,74027) +
+2 • 3,03790) = 1 (1,36788 + 6,07580 +14,96108) = 0,74682
bo‘ lib, K l ^ 28gQ54 = 0 ,7 10~5 bo‘ladi.
Mashqlar
( b - a ?
1. Trapesiyalarfomiulasiningxatoligi R„ = -------- bo‘lishi
12 n
isbotlansin.
( b Q
2. Simpson formulasining xatoligi R„ = - -— boiishi
2880/1
isbotlansin.
i
f (Jx 3. Ushbu I — y , (n = 10) integral taqribiy hisoblansin.
•o* l+x
b) Trapetsiyalar formulasi bo‘yicha
260