Aniq in teg raln I taq rib iy hisoblash Odatda, aniq integrallar Nyuton-Leybnits formulasi yordamida

Aniq in teg raln i taq rib iy hisoblash
Odatda, aniq integrallar Nyuton—Leybnits formulasi yordamida
hisoblanadi. Bu formula boshlang‘ich funksiyaga asoslanadi. Ammo
boshlang‘ich funksiyani topish masalasi doim osongina hal b o ia -
vermaydi. Agar integral ostidagi funksiya murakkab bo‘lsa, tegishli
aniq integralni taqribiy hisoblashga to‘g ‘ri keladi.
752
\a, b\ segmentda berilgan va uzluksizbo‘lsin. Demak, / (x )e /?([їar,ї>J).
h
Masala J f(x)dx integralni taqribiy hisoblashdan iborat.
a
[a, b\ oraliqni a = x0,x ,,x 2,...,x „_ ,,x„ - b nuqtalar (xq <
< x2 < — < x„ ) yordamida n ta teng bo‘lakka bo‘lib, har bir
[xk ,xA+1 1, (к = 0,1,2,...,« -1 ) bo‘yicha integralni quyidagicha
J f(x)dx = / ( ^ t l ) . (л-л+1 - x k) = f l Xt l I
Xk \ 2 /
ko‘rinishda taqribiy hisoblaymiz, bunda
xk = a + k t * L x , . S a d 4 ^ i ) * i ,
* Л k+2 2 2 n
Xk.,-Xk = ~ ~ , (k = 0 ,1 ,2 ,...,« - !) .
Aniq integral xossasidan foydalanib topamiz:
b x, x2 xA+,
J f(x )d x~ J f{x)dx+ j f(x)dx+... + J f(x)dx+ ...
e jq≫ x j x*
x „
b - a r / ч 6 - a ... +
— / / x Л + ... + — / / x ,\ = я 14) л 14)
о
Natijada J f(x)dx integralni taqribiy hisoblash uchun quyidagi
253
formulaga kelamiz.
(1) formula to'g'ri to ‘rtburchaklar formulasi deyiladi.
Endi (1) taqribiy formulaning xatoligini aniqlaymiz. Uning xatoligini
R„ = f f(x)dx - Ј f ( x ) (2)
a k=0 2
deylik.
Aytaylik, fix ) funksiya [a, b] segmentda uzluksiz f"(x) hosilaga
ega bo'lsin. Awalo Rn ni quyidagicha yozib olamiz:
n-1 xk+1 n-1 /1-1 *k+\
Д» = Z I f ( x )d x - ~ - Y , f ( xt i > = X J / ( * )< * -
4=0 ^“0 2
" 2 / i >д * 2 f [/<*)-/<* i ) ]^ -
*=0 * * 2 *=0 2
Teylor formulasidan foydalanib topamiz: