Aniq integral tadbiqlari bajardi: Nuriddinov Sherzodbek reja

ANIQ INTEGRAL TADBIQLARI

• Bajardi: Nuriddinov Sherzodbek

REJA:

• 1. Aniq integral tushunchasi.
• 2. Nyuton-Laplas formulasi.
• 3. Aniq integral tadbiqlari.

ANIQ INTEGRAL TUSHUNCHASI

ANIQ INTEGRAL

ANIQ INTEGRALGA KELTIRILADIGAN MASALALAR HAQIDA. ANIQ INTEGRAL MATEMATIK TAHLILNING ENG ASOSIY AMALLARIDAN BIRIDIR. YUZALARNI, YOY UZUNLIKLARINI, HAJMLARNI, O’ZGARUVCHAN KUCHNING BAJARGAN ISHINI HAMDA IQTISODNING BIR QANCHA MASALALARI ANIQ INTEGRALGA KELTIRILADI.

ANIQ INTEGRALNING TA’RIFI VA UNING GEOMETRIK MA’NOSI.

ANIQ INTEGRALNING TA`RIFI VA UNING GEOMETRIK MA`NOSI

• Aniq integral- matematik analizning asosiy tushunchalaridan biridir. Egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzalarni, egri chiziq yoylari uzunliklarini, hajmlarini, ishlarni, tezliklarni, yo’llarni, inersiya momentlarini hisoblash masalasi u bilan bogliq.

ANIQ INTEGRAL TA’RIFI VA XOSSALARI

• Ta’rif. f(x) funksiya uchun boshlang’ich funksiyaning b va a nuqtalardagi qiymatlarning F(b) – F(a) ayirmasi shu funksiyasining a dan b gacha aniq integrali deyiladi.
• Aniq integralning xossalari. Aniq integralning bevosita uning ta’rifidan kelib chiqadigan ayrim xossalarni keltiramiz, bunda f(x) funksiya qaralayotgan [a;b] kesmada boshlang’ich funksiyaga ega deb hisoblanadi.
• 1. Integrallash chegaralari almashtirilganda aniq integral ishorasi o’zgaradi:

• 2. A ning har qanday qiymati uchun tenglik o’rinli.
• 3. Agar [a; b] kesma bir necha qismga bo’linsa, u holda bu kesma bo’yicha aniq integral har bir qism bo’yicha aniq integrallar yig’indisiga teng. Xususan, a < c < b bo’lsa, u holda
• 4.O’zgarmas ko’payturuvchining aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin: agar k – cons t bo’lsa u holda
• 5.Bir nechta funksiyalar algebraik yig’indisining aniq integrali qo’shiluvchilar aniq integrallarning yig’indisiga teng:

• Aniq integral tadbiqlari

YUQORI CHEGARASI O’ZGARUVCHI BO’LGAN ANIQ INTEGRAL

• Ta’rif: f(x) funksiya [a;b] da uzluksiz bo’lsin. U holda bu funksiya har qanday [a;x] [a;b] da integrallanuvchi bo’ladi va integral x ning [a;b]dagi har bir qiymatiga aniq bir sonni mos qo’yadi.

• Demak, bu holda integral o’zining yuqori chegarasining funksiyasi
• bo’ladi:
• Geometrik nuqtayi nazardan f(t) ≥0 bo’lganda Ф(x) funksiya 1- rasm dagi egri chiziqli trapetsiyaning bo’yalgan qismining yuzini bildiradi.
• 1-rasm .
• Endi f(x) funksiyaga ko’ra Ф(x) funksiyaning xossalarini ( uzluksizligi, differensiallanuvchi bo’ lishini) o’rganamiz.
• Teorema: Agar f(x) funksiya [a,b] oraliqda integrallanuvchi bo’lsa , Ф(x) funksiya shu oraliqda uzluksiz bo’ladi.

NYUTON-LEYBNIS FORMULASI

• Aniq integrallarni integral yig’indining limiti sifatida bevosita hisoblash ko’p hollarda juda qiyin, uzoq hisoblashlarni talab qiladi va amalda juda kam qo’llaniladi. Aniq integralni hisoblash uchun Nyuton-Leybnis formulasini kash etilishi aniqintegralni qo’llanish ko’lamini kengayishiga asosiy sabab bo’ldi.
• 2-teorema. Agar F(x) funksiya uzluksiz f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi boshlangich funksiyasi bo’lsa, u holda aniq integral boshlang’ich funksiyaning integrallash oralig’idagi orttirmasiga teng, ya’ni
• tenglik aniq integralni hisoblashning asosiy formulasi yoki Nyuton-Leybnis formulasi deyiladi.

• 1-misol. Integralni hisoblang:
• Yechish. (-cosx)’=sinx bo’lgani uchun

• 2-misol.

• =

NYUTON-LEYBNIS FORMULASI ISBOTI.

• Isbot. Shartga ko’ra F(x) funksiya f(x) ning biror boshlang’ich funksiyasi bo’lsin. Ф(x)= funksiya ham f(x) ning boshlang’ich funksiyasi bo’lganligi uchun Ф(x)= F(x)+C yoki x=a desak
• 0=F(a)+C, C=-F(a).
• Demak, .
• Endi x=b desak, Nyuton-Leybnis formulasini hosil qilamiz: F(b)-F(a)= belgilash kiritilsa Nyuton-Lelbnis formulasi ko’rinishiga ega bo’ladi.