Aniq integral tushunchasi 10. ni bo’laklash

2—ma’ruza. Aniq integralning mavjudligi


1⁰. Darbu yig’indilarining xossalari. Faraz qilaylik, to’plam oraliqning barcha bo’laklashlaridan iborat to’plam bo’lsin. Agar bo’laklashning har bir bo’luvchi nuqtasi bo’laklashning ham bo’luvchi nuqtasi bo’lsa, bo’laklash ni ergashtiradi deyiladi va kabi belgilanadi.
Aytaylik, funksiya oraliqda chegaralangan bo’lib, va bo’laklashlari uchun Darbu yig’indilari

bo’lsin.
1). Agar bo’lsa, u holda

bo’ladi.
2). uchun

bo’ladi.
3). Darbu yig’ndilaridan tuzilgan

to’plam uchun

ya’ni

bo’ladi.
4). Ixtiyoriy olinganda ham shunday topiladiki, diometri bo’lgan oraliqning bo’laklashlari uchun

ya’ni

bo’ladi.
Bu hossalardan birining masalan 2)— ning isbotini keltiramiz.
◄ Aytaylik, va lar oraliqning ixtiyoriy bo’laklashlari bo’lsin. Bu bo’laklashlarning barcha bo’luvchi nuqtalari yordamida ning yangi bo’laklashini hosil qilamiz. Ravshanki,

bo’ladi. bo’laklash uchun tuzilgan Darbu yig’indilari va lar uchun 1)—xossaga ko’ra
,

bo’lib, ulardan

ya’ni

bo’lishi kelib chiqadi. ►
Bu hossa oraliqni bo’laklashlari uchun tuzilgan quyi yig’indilar to’plami ning har bir elementi yuqori yig’ndilar to’plami ning istalgan elementidan katta emasligini bildiradi (Qolgan xossalarning isboti ning 9—bobidan qaralsin ) .
2⁰. Aniq integralning mavjudligi. Aytaylik, funksiya oraliqda chegaralangan bo’lsin .
1–teorema . funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lishi uchun olinganda ham shunday son topilib, oraliqni diametri bo’lgan har qanday bo’laklashi uchun Darbu yig’ndilari

tengsizlikni qanoatlantirishi zarur va yetarli.
◄ Zarurligi. funksiya oraliqda chegaralangan bo’lsin. Ta’rifga ko’ra bo’ladi, bunda
.
olinganda ham shunday son topiladiki, oraliqning diametri
bo’lgan har qanday bo’laklashida Darbu yig’indilari uchun — dagi 4)–xossaga ko’ra tengsizliklar o’rinli bo’lib, undan tengsizlik kelib chiqadi.
Yetarliligi. olinganda ham shunday son topilib , oraliqning diametri bo’lgan har qanday bo’laklashida Darbu yig’ndi-lari uchun

tengsizlik o’rinli bo’lsin. funksiya oraliqda chegaralanganligi uchun uning quyi hamda yuqori integrallari

mavjud va —dagi 3)—xossaga ko’ra tengsizlik o’rinli bo’ladi. Ravshanki,

Bu munosabatdan

bo’lishini topamiz. Demak, son uchun bo’lib, undan bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa funksiyaning oraliqda integrallanuvchi ekanligini bildiradi. ►
Agar avvalgidek funksiyaning oraliq-dagi tebranishini orqali belgilasak, u holda

bo’lib, yuqorida keltirilgan teorema quyidagicha ifodalanadi.
2—teorema. funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lishi uchun olinganda ham shunday son topilib, oraliqni diametri bo’lgan har qanday bo’laklashda

tengsizlikning bajarilisi zarur va yetarli.
Ravshanki, munosabatni quyidagi

ko’rinishda ham yozish mumkin.