§6. ANIQ INTЕGRALLARNI HISOBLASH USULLARI
Aniq integralni ta’rif bo‘yicha hisoblash.
Nyuton – Leybnits formulasi.
Bo‘laklab integrallash usuli.
Aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish usuli.
Aniq integrallarni taqribiy hisoblash .
6.1. Aniq integralni ta’rif bo‘yicha hisoblash. Biz aniq integral ta’rifi va asosiy xossalarini o‘rgangan bo‘lsak ham, ammo hozircha faqat bitta f(x)=1 o‘zgarmas funksiyadan [a,b] kesma bo‘yicha olingan aniq integral qiymatini bilamiz xolos. Bu yo‘nalishda yana bir misol sifatida f(x)=x funksiyadan [a,b] kesma bo‘yicha olingan
aniq integralni uning ta’rifidan foydalanib hisoblaymiz. f(x)=x funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lgani uchun u integrallanuvchi, ya’ni I aniq integral mavjud. Unda, ta’rifga asosan, [a,b] kesmani ixtiyoriy ravishda kichik [xi–1, xi] kesmachalarga bo‘laklab va ulardan istalgan ξi nuqtalarni tanlab,
integral yig‘indini hosil etib, uning n→∞,maxΔxi→0 bo‘lgandagi limitini topsak, bu limit qiymati doimo bir xil bo‘ladi va I integral qiymatini ifodalaydi. Shu sababli biz [a,b] kesmani o‘zaro teng bo‘lgan n bo‘lakka ajratamiz. Bu holda hosil bo‘lgan har bir [xi–1, xi] kesmachaning uzunligi bir xil va Δxi=h=(b–a)/n, ularning chegaralari esa xi=a+ih, i=0,1,2,∙∙∙, n–1, n kabi aniqlanadi.Har bir [xi–1, xi] kesmachalardan ξi nuqta sifatida uning chap chegarasini, ya’ni ξi =xi–1 (i=1,2,∙∙∙, n) deb olamiz. Bu holda integral yig‘indi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
.
Bu yerdan, aniq integral ta’rifi va limit xossalariga asosan,
natijani olamiz. Demak,
. (1)
Bu natijaga aniq integralning geometrik ma’nosidan foydalanib ham kelish mumkin. Haqiqatan ham, (1) aniq integral y=x, x=a, x=b va y=0 chiziqlar bilan chegaralangan aABb trapetsiya (73-rasmga qarang) yuzini ifodalaydi. Chizmadan ko‘rinadiki, bu trapetsiyaning balandligi H=b–a, asoslari esa a va b. Shu sababli
.
73-rasm
Do'stlaringiz bilan baham: |