Aniq integrallarni taqribiy hisoblash

Aniq integralni taqribiy hisoblashning trapetsiya va Simpson usullari
Ushbu aniq integralning kiymatini trapetsiya va Simpson usullari yordamida hisoblash algoritmi va dasturlarini ko’rib utamiz. Integralni kiymatini taqribiy xisolashning to’g’ri turtburchak usulini o’quvchilarning o’zlariga xavola etamiz.


_{bu yerda а=0, b=2, oralikni 20 bo’lakka bulamiz, ya‘ni n=20 deb olamiz.}
Dastlab trapetsiya formulasidan, sung Simpson formulasidan foydalanib integralni kiymatini taqribiy hisoblash algoritmining blok- sxemasini, sung dasturini tuzamiz.
Integralni taqribiy hisoblashda integral ostidagi funktsiyani kullanuvchining funktsiyasi sifatida yozib olamiz,
ya‘ni
f(x)=ln(x²+3x+1)
ko’rinishida yozib oling, bu funktsiyadan blok–sxema va dastur tuzishda foydalanamiz. Foydalanuvchining funktsiyasini algoritm va dasturda f harfi bilan, funktsiyani a nuqtadagi kiymatini f(a) va b nuqtadagi kiymatini f(b) bilan, bo’linish kadamlarini i harfi bilan, bo’laqlar sonini n harfi bilan, oralikchalar uzinligini h harfi bilan, integral osti yigindisini s harfi bilan, integralning qiymatini esa J harfi bilan bilgilab olamiz.

a) Eng sodda kvadratur formulalar: to`g`ri to`rtburchak, trapetsiya va Simpson formulalari. Eng sodda kvadratur formulalarni oddiy mulohazalar asosida qurish mumkin.
Aytaylik, integralni hisoblash talab qilinsin. Agar qaralayotgan oraliqda f(x) const bo`lsa, u vaqtda
(2.1)

1-rasm 2-rasm

deb olishimiz mumkin (1-rasm). Bu formula to`g`ri to`rtburchaklar formulasi deyiladi.
Faraz qilaylik, f(x) funksiya chiziqli funksiyaga yaqin bo`lsin, u holda tabiiy ravishda integralni balandligi (b - a) ga va asoslari f(a) va f(b) ga teng bo`lgan trapetsiya yuzi bilan almashtirish mumkin (2-rasm), u holda
(2.2)
d eb olishimiz mumkin. Bu formula trapetsiya formulasi deyiladi. Nihoyat, f(x) funksiya [a, b] oraliqda kvadratik funksiyaga yaqin bo`lsin, u holda ni taqribiy ravishda Ox o`qi va х=а, х=b to`g`ri chiziqlar hamda у = f(x) funksiya grafigining absissalari bo`lgan nuqtalaridan o`tuvchi ikkinchi tartibli parabola orqali chegaralangan yuzа bilan almashtirish mumkin (3-rasm), u holda quyidagiga ega bo`lamiz:

(2..3)

3-rasm 4-rasm
Bu formulani ingliz matematigi Simpson 1743 yilda taklif etgan edi.
Bu formulaning hosil qilinishi usulidan ko`rinib turibdiki, u barcha ikkinchi darajali
Р<sub>2</sub>(х) = а<sub>0</sub> + а<sub>х</sub>х + а<sub>2</sub>х<sup>2</sup>
ko`phadlar uchun aniq formuladir. Shunday qilib, biz uchta eng sodda kvadratur formulalarga ega bo`ldik. (2.1) formulani tuzishda u o`zgarmas son f(x)= с ni aniq integrallashini talab qilgan edik. Lekin u f(x)= а₀ + а х chiziqli funksiyani ham aniq integrallaydi, chunki:
balandligi (b-a) va o`rta chiziqi bo`lgan ixtiyoriy trapetsiyaning yuziga teng (4-rasm).
Shunga o`xshash Simpson formulasi ham biz kutgandan ko`ra ham yaxshiroq formuladir. U uchinchi darajali
Р₂(х) = а₀ + а_хх + а₂х^г + а₃х

ko`phadlarni ham aniq integrallaydi.
Haqiqatan ham, uchinchi darajali Р<sub>3</sub>(х) ko`phadni quyidagicha
Р₃(х) = а₀ + а_хх + а₂х² + а₃х³ = Р₂(х) + а₃х³ yozamiz:
u vaqtda
P₃(x)dx= P₂(x)dx + a₃ x³dx = P₂(x)dx+( /4)(b⁴ - a⁴) (2.4)
Lekin bizga ma`lumki,
(2.5)
Ikkinchi tomondan,

(2.6)
ayniyat o`rinlidir . Endi (2.5) - (2.6) ni (2.4) ga qo`yib,

ni hosil qilamiz.
Shunday qilib, biz uchta kvadratur formulani ko`rdik. Ulardan ikkitasi to`g`ri to`rtburchak va trapetsiya formulalari birinchi darajali ko`phad uchun aniq formula bo`lib, Simpson formulasi uchinchi darajali ko`phad uchun aniq formuladir.