Aniq integrallarni taqribiy hisoblash

I sbot. Zarurligi. Agar f(x) (п-1) - darajali ko`phad bo`lsa, u holda (2.11) tenglikda r_n(f,x) bo`lib,
f(x)=

t englik o`rinli bo`ladi va (2.14) qoida interpolyatsion qoida bo`lganidan (2.13) ga ko`ra:

Demak (2.14) formula (п - 1) - darajali f(x) ko`phadni aniq integrallaydi.

Kifoyaligi. (2.14) formula (п - 1) - darajali ixtiyoriy ko`phad uchun aniq formuladir. Xususiy holda, (п - 1) -darajali ushbu:

k o`phad uchun ham aniq bo`ladi. Agar _m(x_k)=0 (к т) va ekanligini hisobga olsak,

kelib chiqadi. Demak (2.14) qoida interpolyatsiondir, shu bilan teorema isbot bo`ldi.

Bu teoremadan ko`rinadiki, n nuqtali interpolyatsion kvadratur formulaning algebraik aniqlik darajasi (п-1) dan kichik bo`lmasligi kerak.
O songina ishonch hosil qilish mumkinki, yuqorida ko`rib o`tilgan to`g`ri to`rtburchak, trapetsiya vа Simpson formulalari interpolyatsion kvadratur formulalardir. Ma`lumki, f(x) [a, b) oraliqda n-tartibli uzluksiz hosilaga ega bo`lsa, u holda interpolyatsion formulaning qoldiq hadi r_n(f, x) ni

ko`rinishda yozish mumkin. Buni (2.12) ga qo`yib, kvadratur formula uchun R (2.15)

ga ega bo`lamiz. Endi n-tartibli uzluksiz hosilaga ega va hosilasi
М<sub>п</sub> (2.16)
t engsizlikni qanoatlantiruvchi funksiyalar sinfini qaraymiz. Bunday funksiyalar uchun (2.15) dan
(2.17)
ga ega bo`lamiz. Agar (х) ko`phad [a,b] oraliqda o`z ishorasini saqlasa, u holda (2.17) baho aniq bo`lib, undagi tenglikka
f(x) =
k o`phadda erishiladi. Endi interpolyatsion kvadratur formulalarning bir muhim xossasini ko`rib o`taylik. Avval А_к ni aniqlaydigan integralda
a lmashtirish bajaramiz. Agar

d eb belgilasak , u holda А_к quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi:

b u yerda

(2.18)

va

Shunday qilib, (2.13) formula quyidagi

ko`rinishga keladi.

Teorema. Faraz qilaylik, vazn funksiyasi (х) [а,b] oraliqning o`rta nuqtasiga nisbatan juft funksiya va t<sub>k</sub> tugunlar shu nuqtaga nisbatan simmetrik, ya`ni
t_k= - t_n+1-k bo`lsin. U holda simmetrik tugunlarga mos keladigan kvadratur formulaning koeffisiyentlari o`zaro teng bo`ladi:
B<sub>k</sub>=B<sub>n+1-k</sub> (2.20)
Isbot: Agar n juft bo`lsa, u holda
(t)=(t-t₁ )…(t-t_n )= (-t) ,

tengliklar o`rinlidir. Agar п toq bo`lsa, u holda, aksincha (t)=- (-t), , har ikkala holda ham t=- almashtirish bajarsak, quyidagiga ega bo`lamiz :

Shuni isbotlash talab qilingan edi. Bundan ko`rinadiki, ti lar simmetrik joylashganda barcha B<sub>i</sub> larni hisoblash o`rniga B₁ , B₂ ,…,B larni hisoblash kifoyadir.
I kkinchi tomondan, bunday formulalar oraliqning o`rtasiga nisbatan toq bo`lgan har qanday funksiya uchun aniq formuladir . Haqiqatan ham, ning juft ekanligini e`tiborga olsak, bunday funksiyalar uchun va shu bilan birga (2.20) formulaga ko`ra . Demak, R_n=0. Xususiy holda, (2.19) formula const ko`rinishdagi ko`phadni aniq integrallaydi.
Endi xuddi shu kvadratur formulani p toq bo`lganda qaraylik. Bu formula f(x)=соnst ni aniq integrallaydi va qurilish usuliga ko`ra ixtiyoriy
(n-1) - darajali ko`phadni ham aniq integrallaydi. Demak bunday kvadratur formula ixtiyoriy п -darajali ko`phadni aniq integrallaydi. Shunday qilib, tugunlari soni 2т-1 yoki 2т bo`lsa, oraliq o`rtasiga nisbatan simmetrik joylashgan interpolyatsion kvadratur formulalar 2т-1 darajali ko`phadlar uchun aniq formuladir. Bunga to`g`ri to`rtburchak va Simpson formulalari misol bo`ladi.
Toq tugunli kvadratur formulaning qoldiq hadini f <sup>(n)</sup>(x) orqali emas, f<sup>(n+1)</sup>(x) orqali ifodalash uchun integral ostidagi funksiyani yanada aniqroq nuqtada ikki karrali tugunga ega bo`lgan Ermit interpolyatsion ko`phadi bilan almashtirish kerak. Biz yuqorida to`g`ri to`rtburchak va Simpson formulalarining qoldiq hadlarini baholashda xuddi shunday qilgan edik.