Aniq integralni hisoblashga oid misollar. Trigonometrik,ratsional va irrotsional koʻrinishi

Aniq integralni hisoblashga oid misollar. Trigonometrik ,ratsional va irrotsional koʻrinishi

Reja:

2. Aniq integralning xossalari

3. Nyuton-Leybnis formulas

4 trigonometrik funksiyalarni integrallashda foydalaniladigan formulalar. •

5 Trigonometrik funksiyalarni integrallash

Aniq integralga keltiriladigan masalalar haqida. Aniq integral matematik tahlilning eng asosiy amallaridan biridir.Yuzalarni, yoy uzunliklarini, hajmlarni, o’zgaruvchan kuchning bajargan ishini hamda iqtisodning bir qancha masalalari aniq integralga keltiriladi.
Aniq integralning ta’rifi va uning geometrik ma’nosi. Yuqoridagi masalani umumiy holda qaraymiz. kesmada uzluksiz funksiya berilgan bolsn [a,b]
 chekli sondagi integrallanuvchi funksiyalar algebraik yig‘indisining aniq integrali qo‘shiluvchilar aniq integrallarining algebraik yig‘indisiga teng, ya’ni
Teorema 2. Agar funktsiya y = f(x) segmentida uzluksiz [ a, b] Va F(x) ushbu segmentdagi har qanday antiderivativ bo'lsa, quyidagi formula to'g'ri bo'ladi:
qaysi deyiladi Nyuton-Leybnits formulasi. Farq F(b) - F(a) quyidagicha yoziladi:
bu erda belgi qo'sh joker belgi deb ataladi.
Shunday qilib, formula (2) quyidagicha yozilishi mumkin:
1-misol Integralni hisoblash
Yechim. Integral uchun f(x ) = x 2 ixtiyoriy antiderivativ shaklga ega
Nyuton-Leybnits formulasida har qanday antiderivativdan foydalanish mumkinligi sababli, integralni hisoblash uchun eng oddiy shaklga ega bo'lgan antiderivativni olamiz:

ANIQ INTEGRALDA O'ZGARUVCHINING O'ZGARISHI

• Teorema 3. Funktsiyaga ruxsat bering y = f(x) segmentida uzluksiz [ a, b]. Agar:
• 1) funktsiya x = φ ( t) va uning hosilasi ph "( t) uchun uzluksiz;
• 2) funksiya qiymatlari to‘plami x = φ ( t) uchun bu segment [ a, b ];
• 3) ph ( a) = a, φ ( b) = b, keyin formula
• qaysi deyiladi aniq integralda o'zgaruvchan formulaning o'zgarishi .
• Undan farqli o'laroq noaniq integral, ichida bu holat Hojati yo'q asl integratsiya o'zgaruvchisiga qaytish uchun - a va b integratsiyaning yangi chegaralarini topish kifoya (buning uchun o'zgaruvchini hal qilish kerak) t tenglamalar ph ( t) = a va ph ( t) = b).
• O'zgartirish o'rniga x = φ ( t) almashtirishdan foydalanishingiz mumkin t = g(x). Bunday holda, o'zgaruvchiga nisbatan integratsiyaning yangi chegaralarini topish t soddalashtiradi: a = g(a) , β = g(b)

2-misol. Integralni hisoblash
Yechim. Keling, formula bo'yicha yangi o'zgaruvchini kiritamiz. Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirsak, biz 1 + ni olamiz x= t 2 , qayerda x= t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Biz integratsiyaning yangi chegaralarini topamiz. Buning uchun eski chegaralarni formulaga almashtiramiz x= 3 va x= 8. Biz olamiz: , qaerdan t= 2 va a = 2; , qayerda t= 3 va b = 3. Demak,
3-misol Hisoblash
Yechim. Bo'lsin u=ln x, keyin, v = x. Formula bo'yicha
Funksiyalar yig‘indisi/farqining noaniq integrali funksiyalarning noaniq integrallari yig‘indisi/ayrimiga teng.
Aniqlik uchun noaniq integralning birinchi va ikkinchi xossalarining oraliq tengliklari keltirilgan.
Uchinchi va toʻrtinchi xossalarni isbotlash uchun tengliklarning oʻng tomonlarining hosilalarini topish kifoya:

Etiboringiz uchun rahmat