Aniq integralning tadbiqlari Reja: Yassi figuralarning yuzini hisoblash Yoy uzunligini hisoblash

1-misol. va nuqtalar bilan chegaralangan parabola yoyining uzunligini toping.
Yechilishi: Parabola tenglamasidan hosila olamiz:
, ya`ni .
(5)- formulani qo`llaymiz:



Demak, izlanayotgan yoyning uzunligi 4,65 uzunlik o`lchov birligiga teng ekan.
2-misol. va nuqtalar orasidagi parabola yoyining uzunligini toping.
Yechilishi: Berilgan parabolaning tenglamasini differensiallab, ni, so`ngra, (5) formulaga asosan yoyning uzunligini topamiz:

Demak, yoy uzunligi 2,4 uzunlik o`lchov birligidan iborat ekan.

3-misol. da aylananing uzunligini toping.
Yechilishi: va larni topamiz:
va .
U holda,
Bundan, .
Mustaqil yechish uchun mashqlar.
№46. va nuqtalar bilan chegaralangan egri chiziqli yoyning uzunligini toping.
№47. va nuqtalar bilan chegaralangan egri chiziqli yoyning uzunligini toping.
№48. aylananing uzunligini toping.
№49. parabola yoyining va nuqtalar orasidagi uzunligini toping.
№50. parabola yoyining o`qi bilan kesishish nuqtalari orasidagi qismining uzunligini hisoblang.
№51. egri chiziqning o`qi bilan kesishish nuqtalari orasidagi yoy uzunligini toping.
№52. egri chiziq yoyining to`g`ri chiziq bilan kesishgan qismi uzunligini toping.
№53. va bo`lganda yarimkubik parabola yoyining uzunligini toping.
№54. sikloidaning bitta arki yoyining uzunligini toping.
3. Aylanish jismini hajmi
formula bilan berilgan egri chiziqning kesmada o`qi atrofida aylanishidan hosil bo`lgan jismning hajmini topish talab qilinsin. y
y
0 a x x+h b x
Aylanish jismini ga perpendikulyar tekislikdar bilan ta bo`laklarga ajratamiz. Perpendikulyar tekisliklarning biri 0 nuqtadan masofada, ikkinchi tekislik masofada, keyingisi esa masofada bo`lsin. Bunda, - orttirma bo`lib, dir. U holda, jismning birinchi ikki tekislik bilan kesilgan qismining hajmi , undan keyingi qismining hajmi esa dan iborat bo`ladi.
Birinchi silindrsimon jismning balandligi , asos radiusi ; ikinchisining balandligi ham , asos radiusi U holda, birinchi jism hajmi , ikkinchisiniki esa bo`ladi. Ikki silindr orasidagi orttirma hajm dan iborat bo`ladi. Ammo hajm va da cheksiz kichik miqdor bo`lib, 0ga intiladi. Shuning uchun hajmning differensiali kichik silindrsimon jismning hajmi bo`ladi. Buni integrallaymiz:
(1)
(1) tenglik aylanish jismining hajmini topish formulasidan iborat.
1-misol. Asos radiusi va balandligi bo`lgan aylanish paraboloidi segmentining hajmini toping.