Aniq integralning tatbiqlari

Aniq integralning tatbiqlari

Gruh:MMT-15

Bajardi:Abdullayev S

Teshkirdi:Turopova A

REJA

• To’g’ri burchak koordinatalar sistemasida yuzalarni hisoblash
• Qutb koordinatalarda egri chiziqli sektorning yuzi

3.Egri chiziq yoyining uzunligi

Agar [a b, ] kesmada f x( ) 0 bo’lsa, u holda, y  f x( ) egri chiziq, Ox o’q hamda x a , x b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
Agar f x( ) 0 [a b, ]da bo’lsa, u holda  f x dx( ) aniq integral ham  0 bo’ladi.
Absolyut qiymati jihatidan u mos egri chiziqli trapetsiyaning Q yuziga teng:
 Q  f x dx( )
Agar f x( ) funksiya [a b, ] kesmada chekli marta ishorasini o’zgartirsa, u holda butun [a b, ] kesma bo’yicha olingan intervali qism-qism kesmalar bo’yicha integrallar yig’indisiga ajratamiz. Integral f x( ) 0 bo’lgan joylarda musbat va f x( ) 0 bo’lganda manfiy bo’ladi. Bunday holda
Q =f Ꝗx( ) | dx
Misol 1. ysinx sinusoid ava Ox o’q bilan 0 x 2 bo’lganda chegaralangan Q yuzani toping.
Yechish. 0  x  da sin 0 x  va    x 2 da sin 0 x  bo’lganligi uchun
2 2 0 0 Q xdx xdx x dx sin sin | sin |  
Demak, Q    
2 2 sin cos | (cos 2 cos ) 2 xdx x           
Agar 1 y f x  ( ), 2 y f x  ( ) egri chiziqlar va x a  , x b  ordinatalar bilan chegaralangan yuza 1 2 f x f x ( ) ( )  shart bajarilganda 1 2 1 2 ( ) ( ) [ ( ) ( )] b b b a a a Q f x dx f x dx f x f x dx        (2
Misol 2. y x va y x 2 egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzani toping
Yechish. Egri chiziqlarning kesishish nuqtasini topamiz: x x 2;x x 4, bu yerdan x1 0 va x2 1.
Demak,
Q10 xdx10 x dx2 10( x x dx 2) 23x32 10  x33 10   32 13
13
Endi tenglamasi
x ( )t , y ( )t
parametrik ko’rinishda bo’lgan egri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya yuzasini topamiz, bu yerda
  t va ( )  a, ( ) b.
Q  f x dx( )  ydx
formula bilan hisoblanishi mumkin.
tenglamalar [a b, ] kesmada biror y  f x( ) funksiyani aniqlash va demak egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
Bu integralda o’zgaruvchini almashtiramiz: x ( )t ,dx '( )t dt . (3) tenglamalar asosida topamiz:
y  f x( )  f[ ( )]t ( )t
Q  ( )t '( )t dt
Bu parametric ko’rinishda berilgan egri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyani yuzasini topish formulasidir.
Misol. Ellips bilan chegaralangan soha yuzini toping
Yechish. Ellipsning yuqori yarmi yuzasini topamiz va adan agacha o’zgaradi, demak, t dan 0 gacha o’zgaradi
Q  2 ( bsint)(asintdt) 2absin2tdt  2absin2tdt 
Demak,