Aniq integralning tatbiqlari

Aniq integralning tatbiqlari

Yassi shakllar yuzlarini hisoblash.

Yuqorida berilganidek, kesmada bo‘lsa aniq integral geometrik nuqtai nazardan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini ifodalaydi. Ixtiyoriy yassi shaklni esa bir nechta egri chiziqli trapetsiyalar yuzlarining yig‘indisi yoki ayirmasi deb qarash mumkin. Bundan har qanday yassi shakllarning yuzini aniq integral yordamida hisoblash mumkinligi kelib chiqadi.
1-misol

Berilgan funksiya grafigi, koordinata chizig‘i va to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan shaklning yuzini hisoblang.

►Avval berilgan chiziqlar bilan chegaralangan yassi shaklni yasaymiz

(1-chizma). Izlanayotgan yuza yoki dan iborat,



. ◄
Umumiy holda, agar yassi shakl ikkita , funksiyalar grafiklari va vertikal chiziqlar bilan chegaralangan bo‘lib, bo‘lsa, bu yassi figura yuzi

(6.1)

formula bilan hisoblanadi.

Agar egri chiziqli trapetsiyaning chegarasidagi egri chiziq parametrik tenglamalar bilan berilsa, u holda bu yassi shakl yuzi

(6.2)

formula bilan hisoblanadi. Bu yerda va chegara tenglamalardan aniqlanadi.
2-misol

Ellips chizig‘i bilan chegaralangan shakl yuzuni toping.

►Avval ellipsning parametrik tenglamasini yozamiz: .

Shaklning simmetrikligini va (6.2) formulani e’tiborga olib quyidagini hosil qilamiz:

.◄

Egri chiziq qutb koordinatalar sistemasidagi tenglama bilan berilgan bo‘lsin. Agar yassi shakl tenglama bilan berilgan egri chiziq va qutb burchaklariga mos keluvchi , qutb radiuslari bilan chegaralangan egri chiziqli sektor bo‘lsa, uning yuzi

(6.3)

formula bilan hisoblanadi.

3-misol

Qutb kооrdinаtаsidа bеrilgаn chiziq bilаn chеgаrаlаngаn shakl yuzini hisоblаng: .

►,

Qutb radiusi , ya’ni bo‘ladi.

Bundаn,

,

Topilgan oraliqda shaklni yasaymiz(2-chizma):

◄


2-chizma