Aniq integralning tatbiqlari

6.6.3 Jism hajmini hisoblash.

Fazoda o‘qiga proyeksiyasi kesma bo‘lgan qandaydir jism berilgan bo‘lsin. nuqtadan o‘tuvchi o‘qiga perpendikulyar har qanday tekislikning kesm bilan kesishmasi yuzi ga teng bo‘lgan shaklni hosil qiladi. U holda bu jismning hajmi quyidagi formula bilan hisoblanadi:

(6.7)

Xususiy holda, funksiya gafigi bilan berilgan egri chiziq, o‘qi va to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyani o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan jismning ko‘ndalang kesimi yuzi bo‘ladi. Shuning uchun bu aylanma jismning hajmi

(6.8)

formula bilan hisoblanadi. Qisqacha, .

Xuddi shu kabi, yassi shaklni o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jism hajmini topish uchun formula qo‘llanadi.

Eslatma. Qutb koordinatalar sistemasining o‘zgaruvchilari o‘rniga o‘zgaruvchilarini ishlatish ham mumkin. U holda yuqoridagi (6.3) va (6.6) formulalar quyidagi ko‘rinishni oladi:

va