Aniqmas integrallarni hisoblash

3. Jadval ko`rinishida berilgan funksiyalarni integrallash. Faraz qilaylik, [х<sub>0</sub>, х] oraliqning teng uzoqlikda joylashgan
х<sub>п</sub> = х<sub>0</sub> + nh(n = ; x<sub>0</sub> + Nh X х<sub>0</sub> + Nh + h)
nuqtalarida f(x) ning qiymatlari berilgan bo`lib, shu qiymatlar bo`yichа

ni o`sha teng uzoqlikda joylashgan х<sub>п</sub> = х<sub>0</sub> + nh nuqtalarda hisoblash talab qilinsin.
Biz avval dastlabki jadvalni davom ettirish masalasini ko`rib chiqamiz. Jadvalning boshlang`ich va oxirgi qismlarini tuzish masalalarini keyinroq ko`ramiz. Faraz qilaylik, hisoblashlar х_п=х₀+nh тугунгача bajarilgan bo`lib, у(х) ning oxirgi hisoblangan qiymati y(x<sub>n</sub>) bo`lsin. Keyingi у(х_п+1) qiymatni topish uchun ixtiyoriy ma`lum у(х<sub>к</sub>)(к п) qiymatlardan va f ning jadvaldagi ixtiyoriy qiymatidan foydalanish mumkin. Biz faqat hisoblangan bitta у(х<sub>п</sub>) qiymatdan foydalanib, у(х<sub>п+1</sub>) ni hosil qiladigan usullarni ko`rib o`tamiz. Ma`lumki, у(х_п+1) ning aniq qiymati

formula bilan topiladi. Bundan foydalanish uchun f(t) [x_n , х_п+1] oraliqning barcha nuqtalarida ma`lum bo`lishi kerak. Lekin, bizga f(t) ning aniq qiymati ma`lum emas, f(t) ning [х<sub>п ,</sub> х<sub>п+1</sub>] dagi taqribiy qiymati interpolyatsiya nuli bilan topilishi kerak. Interpolyatsiyalash uchun [х<sub>п</sub>, х<sub>п+х</sub>] oraliqda yaqinroq joylashgan nuqtalardan foydalanish maqsadga muvofiqdir. Shu maqsadda Bessel formulasidan foydalanish mumkin. Agar [х<sub>п</sub> - kh, x<sub>n</sub> + kh + h] opaliqda f(x) 2k + 2 marta uzluksiz hosilaga ega bo`lsa, u holda Bessel formulasini quyidagicha yozish mumkin:


Endi f ning bu ko`rinishini

integralga qo`yib, uncha murakkab bo`lmagan amallar bajargandan so`ng у(х_n+1) uchun quyidagi ifoda kelib chiqadi:
(12.18)

Bundagi (u+k) (u+k-1) ... (u-k-1) ko`paytma [0,1] oraliqda o`z ishorasini saqlagani uchun o`rta qiymat haqidagi teoremani qo`llash mumkin, u holda

Agar (12.18) formulada qoldiq had R_{n k} ni tashlasak у_п+1 ni topish uchun taqribiy formulaga ega bo`lamiz. Agar bu formulani y<sub>1</sub> ,y<sub>2</sub>, ...,у<sub>п</sub> dastlabkilarni hisoblash uchun qo`llaydigan bo`lsak u holda [х<sub>0</sub>, X] oraliqdan chapga chiqishga, ya`ni
f(х₀- h),f(х₀- 2h), ...,f(х₀- kh) larni hisoblashga to`g`ri keladi.
Agar bu qiymatlar bizga ma`lum bo`lmasa, u holda dastlabki qiymatlarni hisoblash uchun boshqacha yo`l tutish mumkin. Masalan, у(х₁) ni

formula bilan hisoblashda f(t) ni [х₀,х₁] oraliqda interpolyatsiyalash uchun Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasidan foydalanish mumkin:

Buni integralga qo`yib, quyidagini hosil qilamiz:

R_n,k qoldiq hadni tashlab, y(x₁) ni aniqlaydigan taqribiy formulaga ega bo`lamiz. Bu yerda x<sub>0</sub> ni x<sub>1</sub> bi lan almashtirib, у(х<sub>2</sub>) ni hosil qilamiz va h.k. Shunga o`xshash y(x_N-k+1),..., y(x_N) larni hisoblash uchun Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasidan foydalanib, quyidagi formulani chiqarish mumkin