Ankara üNİversitesi fen biLİmleri enstiTÜSÜ

x , V 
 
Q
 
x
 
x
2
 , V
x
1
 , V
Q
in
 
x
in
 
x
k
 , V
................
Q
1
 
x
1
 
Q
2
x
2
Q
k-1
 
x
k-1
 
Q
k
x
k
500 m
 
Tributary
 
Effluent 
i
th
 reach 
Flow in 
Flow out 
Yan kol 
Giren akım 
Çıkan akım
Atık deşarjı
i.bölüm 

---

 
56
Amonyum azotu (Kardurmuş and Berber 2004) 
 
V
Q
).
N
 -
 
(N
 
A 
F
 -
 
d
 
 
N
 -
 
N
1
0
1
1
1
3
1
1
4
3
1
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
μ
α
σ
β
β
dt
dN
 
   (7.1) 
 
Burada, 
)
).
1
(
(
3
1
1
1
N
P
N
P
N
P
F
N
N
N
−
+
⋅
=
⋅
   
 
 
 
 
(7.2) 
(Brown and Barnwell 1987) 
 
Nitrit azotu (Kardurmuş and Berber 2004) 
 
V
Q
N
N
N
N
dt
dN
)
(
.
.
2
0
2
2
2
1
1
2
−
+
−
=
β
β
 
 
 
 
 
 
(7.3) 
 
Nitrat azotu (Kardurmuş and Berber 2004) 
 
V
Q
)
N
 -
 
(N
 
A 
 
)
F
-
(1
 -
 
N
3
0
3
1
1
2
2
3
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
μ
α
β
dt
dN
   
 
 
 
(7.4) 
 
Organik azot (Kardurmuş and Berber 2004) 
 
V
Q
N
N
N
N
A
dt
dN
).
(
.
.
.
.
4
0
4
4
4
4
3
1
4
−
+
−
−
=
σ
β
ρ
α
 
 
 
 
 
(7.5) 
 
Organik fosfor (Kardurmuş and Berber 2004) 
 
V
Q
P
P
P
P
A
dt
dP
).
(
.
.
.
.
1
0
1
1
5
1
4
2
1
−
+
−
−
=
σ
β
ρ
α
 
 
 
 
 
(7.6) 
 
Çözünmüş fosfor (Kardurmuş and Berber 2004) 
 
V
Q
P
P
A
d
P
dt
dP
).
(
.
.
.
2
0
2
2
2
1
4
2
−
+
−
+
=
μ
α
σ
β
 
 
 
 
 
(7.7) 
 

---

 
57
Biyolojik oksijen ihtiyacı (BOİ) (Kardurmuş and Berber 2004) 
 
V
Q
L).
 -
 
(L
 
 
L
K
  
-
  
L
K
 -
0
3
1
+
⋅
⋅
=
dt
dL
 
 
 
 
 
 
(7.8) 
 
Çözünmüş oksijen (ÇO) (Kardurmuş and Berber 2004) 
 
V
Q
O
O
dt
dO
).
(
N
-
   
          
          
          
          
          
          
          
 
N
 -
 
d
K
- 
L
K
 -
A 
)
 -
 
(
 
O)
- 
(O
K
 
0
2
2
6
1
1
5
4
1
4
3
*
2
−
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
=
β
α
β
α
ρ
α
μ
α
  
(7.9) 
 
   
)
T
1011
 
8.621949
(
 -
 
)
T
1010
 
1.243800
(
          
          
          
          
          
)
T
107
 
6.642308
(
 -
 
)
T
105
 
1.575701
(
 
 
139.34410
 -
 
 
O
ln 
4
3
2
*
+
+
=
 (7.10)
 
(Brown and Barnwell 1987) 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
)
1
).(
1
(
)
.
1
).(
/
1
(
.
.
*
θ
θ
wv
wv
p
P
P
P
P
P
O
O
  
 
 
 
 
 
(7.11) 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
2
216961
70
.
3840
8571
.
11
ln
T
T
P
wv
   
 
 
 
 
(7.12) 
 
(
) (
)
2
8
5
10
436
.
6
10
426
.
1
000975
.
0
T
T
−
−
⋅
+
⋅
−
=
θ
 
 
 
 
 
(7.13) 
(Brown and Barnwell 1987) 
 
 
Koliform (Kardurmuş and Berber 2004) 
 
V
Q
E).
 -
 
(E
 
 
o
5
+
⋅
−
=
E
K
dt
dE
   
 
 
 
 
 
 
(7.14) 
 
Konservatif olmayan bileşen (Kardurmuş and Berber 2004) 
 
V
Q
R).
 -
 
(R
 
0
7
6
6
+
+
⋅
−
⋅
−
=
d
R
R
K
dt
dR
σ
σ
   
 
 
 
 
(7.15) 
 

---

 
58
Klorofil a (Fitoplankton yosun) (Kardurmuş and Berber 2004) 
 
V
Q
A
A
A
d
A
A
dt
dA
).
(
0
1
−
+
⋅
−
⋅
−
⋅
=
σ
ρ
μ
 
 
 
 
 
 
(7.16) 
 
Yosun spesifik büyüme hızı (Brown and Barnwell 1987); 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
FP
FN
FL
1
1
2
).
(
max
μ
μ
 
 
 
 
 
 
 
(7.17) 
 
 
Yosun–Işık İlişkisi (Brown and Barnwell 1987); 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
− d
L
L
e
I
K
I
K
d
FL
.
.
ln
).
.
1
(
λ
λ
  
 
 
 
 
 
 
(7.18) 
 
3
/
2
0
2
0
1
0
)
.
.(
.
.
A
A
α
λ
α
λ
λ
λ
+
+
=
 
 
 
 
 
 
 
(7.19) 
 
Yosun–besin ilişkisi; 
 
Azot (F
N
) ve fosfor (F
p
) yosun büyüme limit faktörleri olup, Monod yaklaşımına göre 
aşağıdaki gibi ifadelerle verilmiştir (Brown and Barnwell 1987). 
 
N
e
e
N
K
N
N
F
+
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(7.20) 
 
P
P
K
P
P
F
+
=
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(7.21) 
 
N
e
=N
1
+N
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(7.22) 
 
N
e 
: Kullanılabilir inorganik azotun etkin lokal derişimi, mg–N/L  
N
1 
: Amonyum azotu derişimi, mg–N/L 
N
3
 : Nitrat azotu derişimi, mg–N/L   

---

 
59
Yukarıda ifade edilen eşitliklerin içerdiği tepkime hız sabitlerinden bir kısmı sıcaklığa 
bağlı olarak değişir. Bu sabitler, 20 
o
C sıcaklık referans alınarak Streeter–Phelps 
formülasyonuna (Eşitlik 7.23) göre düzeltilerek kullanılır (Brown and Barnwell 1987). 
 
(
)
20
20
−
⋅
=
T
T
p
p
θ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  (7.23) 
 
p: Sıcaklığa bağlı parametre 
T: Sıcaklık (
o
C) 
θ
: Düzeltme katsayısı 
 
 
Benzetim yapılırken bu bağımlılığın dikkate alınması gerekir. Çizelge 7.1’de sıcaklığa 
bağlı olan hız sabitleri ve düzeltme katsayıları verilmiştir. 
 
 
 

---

 
60
Çizelge 7.1  Sıcaklık düzeltme katsayıları (Brown and Barnwell 1987) 
 
Hız sabiti 
Düzeltme katsayısı (
θ
)
ρ 
1.047 
σ
1
 
1.024 
σ
2
 
1.074 
σ
3
 
1.074 
σ
4
 
1.024 
σ
5
 
1.024 
σ
6
 
1.024 
σ
7
 
1.000 
K
1
 1.047 
K
2
 1.024 
K
3
 1.024 
K
4
 1.060 
K
5
 1.047 
K
6
 1.000 
β
1
 
1.083 
β
2
 
1.047 
β
3
 
1.047 
β
4
 
1.047 
μ 
1.047 
 
 
 
 
 

---

 
61
8. OPTİMİZASYON ÇÖZÜM ALGORİTMASI 
 
 
Bölüm 7’de açıklanan modelin ihtiva ettiği 33 parametre (
α
i
, 
β
 i
, 
σ
 i
, 
μ
max
, .....gibi) için 
en uygun değerler deneme–yanılmaya gerek duyulmadan optimizasyonla bulunmuştur. 
Bu bölümde parametre tahmini için gerçekleştirilen çalışmalar anlatılmıştır. 
Problemin matematiksel formülasyonu Eşitlik 8.1’de verilmiştir. 
 
f
t
t
t
x
t
x
p
x
t
f
dt
dx
≤
≤
=
=
0
0
0
,
)
(
),
;
,
(
 
 
 
 
 
 
 (8.1) 
 
 
Burada y, hal değişkeni vektörünü, p ise model parametrelerini göstermektedir. 
Dinamik optimizasyon probleminin çözümü için kontrol vektör parametrelemesine 
dayalı, ancak duyarlılık fonksiyonları bilgisini gerektirmeyen pratik bir yaklaşım 
kullanılmıştır. Dinamik model, Şekil 8.1’de görüldüğü gibi, kesikli zaman alanına 
dönüştürülmüştür. Böylece sadece karar değişkenleri ‘diskretize’ edilerek ‘kontrol 
vektörü’ oluşturulmuştur 
 
 
 
Şekil 8.1   Zaman ufkunun aralıklara bölünmesi ve arayüzeyler. (x
1
,x
2
, ... : hal 
değişkenleri, y: amaç fonksiyonu değeri, u: kontrol vektörü, t: zaman) 
 

---

 
62
Optimizasyon değişkenlerinin başlangıç değerlerinden başlayarak her aralıkta model 
integre edilmiş, bu arada bir aralığın sonunda elde edilen hal değişkeni değerleri, onu 
takip eden aralık için başlangıç değerleri olarak alınmıştır. Bu şekilde ilerlenerek zaman 
ufkunun sonuna ulaşıldığında amaç fonksiyonunun değeri elde edilebilmiştir (Agun 
2002, Yüceer 
et al. 2005).  
 
 
Amaç fonksiyonu olarak Eşitlik 8.2 de verilen tüm hal değişkenleri için tahmin ve 
deneysel veriler arasındaki hata farkının kareleri toplamı seçilmiştir. Diferansiyel 
denklemlerin integrasyonunda 4. dereceden Runge–Kutta yönteminden yararlanılmıştır. 
 
(
)
∑∑
=
=
−
=
n
i
m
j
ij
d
ij
x
x
J
1
1
2
,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  (8.2) 
 
Burada 
J: amaç fonksiyonu, x: hesaplanan veriler, x
d 
: deneysel veriler, 
n: toplam hal 
değişkeni sayısı ve 
m: toplam gözlem sayısıdır.  
 
 
Parametrelerin başlangıç değerleri kullanılarak her bir ölçüm aralığında modelin ihtiva 
ettiği diferansiyel denklemler integre edilerek hal değişkenlerinin değerleri hesaplanır. 
Örnekleme zamanı t=[ t
o
 t
1
 . . . . . .t
n
 ] şeklinde bir vektörse t
o
–t
1
 aralığında integrasyon 
işlemi gerçekleştirilerek t
1
 anındaki hal değişkeni değerleri alınır ve saklanır. Aynı işlem 
t
1
–t
2
 , .... t
n-1
–t
n 
aralıkları için tekrarlanır ve her bir örnekleme zamanındaki (t
i
) hal 
değişkenlerinin (x
ij
) değerleri bulunmuş olur.  
 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
)
(
.
).........
(
)
(
.
..........
.
.
.
..........
.
.
)
(
.
).........
(
)
(
)
(
.
).........
(
)
(
2
1
1
1
2
1
1
0
0
2
0
1
^
n
n
n
n
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
x
 
 
 
 
 
 
 
(8.3) 
 

---

 
63
Bulunan x değerlerinin deneysel değerlerle karşılaştırılması için seçilen amaç 
fonksiyonu kullanılır. Bundan sonra sıra optimizasyon algoritmasına gelmiştir. Seçilen 
optimizasyon algoritmasına göre amaç fonksiyonunun minimize edilerek yeni 
parametreler hesaplanır. Hesaplanan yeni parametrelerin uygunluğu kullanılan 
optimizasyon algoritmasına bağlıdır. Hesaplanan parametreler modelde tekrar 
kullanılarak integrasyon işlemi gerçekleştirilerek amaç fonksiyonunun değişimine göre 
işlemler tekrar edilir. İstenen toleranslara ulaşıldığında optimizasyon işlemi sonlanır. 
Şekil 8.2’deki algoritma bilgi akış  şemasında parametre belirlemede kullanılan temel 
adımlar gösterilmiştir. Model parametrelerinin belirlenmesinde kullanılan yöntemin alt 
basamağı olan optimizasyon bölümünde quasi–Newton, Nelder–Mead Simplex, Gauss–
Newton, Levenberg–Marquardt, Sequential Quadratic Programming (SQP) 
optimizasyon algoritmaları kullanılabilir.  
 
 
Doğrusal olmayan optimizasyon adımı için en çok ‘Gauss–Newton’, ‘Levenberg–
Marquardt’ ve SQP algoritmaları kullanılmaktadır (Nocedal and Wright 1999). Akarsu 
model parametrelerinin belirlendiği bu çalışmada, parametre belirleme için kullanılan 
integral tabanlı algoritmanın optimizasyon adımı bölümünde ‘Gauss–Newton’, 
‘Levenberg–Marquardt’ ve SQP yöntemleri kullanılmıştır. 

---

 
64
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Şekil 8.2  Parametre belirleme temel adımları 
 
 
 
 
Hal değişkenleri ve parametrelerin 
başlangıç değerleri x
i
(0) & 
θ
(0)