Anıq emes integral. Racional bólshekli funkciyalardı integrallaw Reje

1-misal. Tómendegi integraldi esaplaw ushın ni qa almastırıwıńız hám ornına qoyıp jazıwıńız kerek:

Hár qanday ratsional funksiyanı ratsional bólshek kórinisinde, yaǵnıy eki kóp aǵzalılardıń qatnası kórinisinde súwretlew múmkin:

Talqılawdıń ulıwmalıǵın sheklemesten, bul kóp aǵzalılar ulıwma korenge iye emes dep shama menen oylaymız.
Eger súwretiniń dárejesi bóliminiń dárejesinen tómen bolsa, bólshek tuwrı bólshek dep ataladı, keri jaǵdayda nadurıs bólshek dep ataladı.
Eger bólshek nadurıs bolsa, alımdı bólimge (kópaǵzlını kópaǵzalıǵa bóliw qaǵıydası boyınsha) bólip berilgen bólshekti kópaǵzalı menen qandayda bir tuwrı bólshektiń jıyındısı kórinisinde súwretlew múmkin.

Bul jerde M(X) –kópaǵzalı, -tuwrı bólshek.
1-mısal. Natuwrı racional bólshek berilgen bolsın:

Alımın bólimine (kópaǵzlını kópaǵzalıǵa bóliw qaǵıydası boyınsha) bólip, usını payda etemiz:

Kóp aǵzalılardı integrallaw hesh qanday qıyınshılıq tuwdırmagani ushın, ratsional bólsheklerdi integrallashdagi tiykarǵı qıyınshılıq tuwrı ratsional bólsheklerdi integrallawdan ibarat esaplanadi:
Anıqlama. Bul kórinistegi tuwrı ratsional bólshekler


(bóliminiń korenleri kompleks sanlar,
(k-pútkil oń san, k≥2;
bóliminiń korenleri kompleks sanlar ); I, II, II hám Iv tiptegi eń ápiwayı ratsional bólshekler dep ataladı.
I, II hám III tipdagi eń ápiwayı bólsheklerdi integrallawda úlken qıyınshılıqqa ushramaymiz, sol sebepli olardıń integralların hesh qanday túsindirmesiz keltiremiz:

IV tiptegi eń ápiwayı bólsheklerdi integrallaw quramalılaw esaplawdı talap etedi.

Tómendegishe almastıramız:

Birinshi integral

almastırıw járdemi menen alınadı:

Ekinshi integraldı tómendegi kóriniste jazamız:

Bul jerde

dep oylaymız (bólimniń korenleri oylawımızsha kompleks sanlar). Endi tómendegishe kirisemiz:

Sońǵı integraldı tómendegishe almastıramız:

Bóleklep integrallap,tómendegini payda etemiz:

Bul ańltpanı (1) teńlikke qoysaq tómendegini payda etemiz:

Oń tarepte I_k tipindegi integral bar, lekin integral astındaǵı funkciya bóliminiń dareje korsetkishi onıń dareje korsetkishinen bir birlik tomen (k-1) sonday etip, I_k dı I_k-1 arqalı ańlattıq.
Usı jol menen dawam etip belgili integral

ǵa jetip baramız. Soń t ham m ornına olardıń manislerin qoyıp, IV integraldıń X ham berilgen A,B,p,q sanlar arqalı ańlatpasın tabamız.
2-mısal.

Aqırǵı integralǵa x+1=t almastırılıwın qollaymız:

Aqırǵı integraldı qaraymız:

Demek,

Aqırǵı nátiyje tómendegi kóriniste boladı:

Endi hár qanday tuwi ratsional bolshekti eń ápiwayı bólshekler jıyındısına ajıratıw múmkinligin kórsetemiz. Bul tuwrı ratsional bólshek

berilgen bolsın. Bul bolshekke kirgen kóp aǵzalılardıń koefficentleri haqıyqıy sanlar hám berilgen bólshek qısqarmaytugın bólshek dep shama menen oylaymız (bul bolsa súwret hám bólim ulıwma korenge iye emes degen sóz bolıp tabıladı).
1 - t e o r e m a. x=a bolimniń k márteli koreni, yaǵnıy f (x) = (x-a) k
f1 (x) bolsın, bul jerde f1 (a) ≠0; ol halda …. Tuwrı bolshekti basqa eki tuwrı bólshek jıyındısı formasında tómendegishe súwretlew múmkin:

Bul jerde A nolge teń bolmaǵan ózgermeytuǵın san, F1 (x) kóp aǵzalılar, bunıń dárejesi (x-a) k-1 f1(x) bolimniń dárejesinen tómen.
2 - t e o r e m a. Eger f (x) = (x2+px+q) φ1 (x) bolsa (bul jerde φ1 (x) kóp aǵzalılar x2+px+q ga bólindiydi), …. tuwrı ratsional bolshekti basqa eki tuwri bólshektiń jıyındısı kórinisinde súwretlew múmkin: