Applied Speech and Audio Processing: With matlab examples

Speech communications
q
k
= cos ω
k
.
(5.26)
To perform the conversion, we first need to solve the following set of recursive equations
as an intermediate step:
for
k
= 1, . . . , P
f
k
= − 2f
(k−1)
q
(2k−1)
+ 2f
(k−1)
for
m
= (k − 1), . . . , 1
f
m
= f
m
− 2f
(m−1)
q
(2k−1)
+ f
(m−2)
.
(5.27)
We then apply initial conditions of f
0
= 1 and f
−1
= 0, and calculate the coefficients of
g similarly as follows:
for
k
= 1, . . . , P
g
k
= − 2g
(k−1)
q
(2k)
+ 2g
(k−1)
for
m
= (k − 1), . . . , 1
g
m
= g
m
− 2g
(m−1)
q
(2k)
+ g
(m−2)
.
(5.28)
Once the values of f and g have been determined, they form a second set of equations:
f

k
= f
k
+ f
(k−1)
for
k
= 1, . . . , P/2
(5.29)
g

k
= g
k
+ g
(k−1)
for
k
= 1, . . . , P/2
(5.30)
which are then averaged to form LPC coefficients from the following:
a
k
=
1
2
f

k
+
1
2
g

k
for
k
= 1, . . . , P/2
(5.31)
a
k
=
1
2
f

(k−P/2)
−
1
2
g

(k−P/2)
for
k
= P/2 + 1, . . . , P.
(5.32)
Using Matlab, we can create a function that reads in LSPs (represented in radians),
converts them to cosine domain and then replicates the steps above:
function a=lsp-lpc(theta)
p=length(theta);
q=cos(theta(1:p));
f1(10)=1; f1(9)=0;
for i=1:p/2
f1(10+i)=-2*q(2*i-1)*f1(10+i-1) + 2*f1(10+i-2);
for k=i-1:-1:1
f1(10+k)=f1(10+k) - 2*q(2*i-1)*f1(10+k-1) + f1(10+k-2);
end
end
f2(10)=1; f2(9)=0;
for i=1:p/2

---

5.2. Parameterisation
111
f2(10+i)=-2*q(2*i)*f2(10+i-1) + 2*f2(10+i-2);
for k=i-1:-1:1
f2(10+k)=f2(10+k) - 2*q(2*i)*f2(10+k-1) + f2(10+k-2);
end
end
f1b(1)=f1(11)+1;
f2b(1)=f2(11)-1;
for i=2:p/2
f1b(i) = f1(10+i) + f1(10+i-1);
f2b(i) = f2(10+i) - f2(10+i-1);
end
for i=1:p/2
a2(i)
= 0.5*(f1b(i) + f2b(i));
a2(i+p/2) = 0.5*(f1b((p/2)-i+1) - f2b((p/2)-i+1));
end
a=[1,a2];
The example LSP and LPC coefficient values given in Section 5.2.4.1 can again be used
for testing of the function.
5.2.4.3
Visualisation of line spectral pairs
As discussed previously, line spectral pairs are resident in the frequency domain. Their
values can be denominated in Hz, more normally in radians, or as the cosine of their
radian value. In this book, unless stated otherwise, all LSP values used in equations and
Matlab
code will be given in radians.
Whatever the units, each line is located at a particular frequency. Thus a traditional
method of visualising the value of lines is to plot them as an overlay on the LPC spec-
trum. This was illustrated in Figure 5.10. The Matlab freqz() function generates a
frequency response from an LPC polynomial, so we shall use that to plot a spectrum,
and then overlay the LSPs on top of this, drawn as lines:
function lpcsp(a, lsp)
[HH, FF]=freqz(1, a, 100);
semilogy(abs(HH),’m-’);
hold on V=axis;
axis([1,length(FF),V(3),V(4)]);
hold on;
lsc=100/pi;
for lp=1:length(lsp)
line([1+lsp(lp)*lsc,1+lsp(lp)*lsc], [V(3),V(4)]);
end
hold off;

---

112