Ar amallar ham tushuniladi

a⁻¹ ∗ a = a ∗ a⁻¹ = e
tenglikni qanoatlantiruvchi a⁻¹ ∈ G element mavjud bo‘lsa, u holda (G, ∗) algeb-raik sistemaga gruppa deyiladi. a⁻¹ element esa a elementning teskari ele-menti deb ataladi.
Demak, gruppa bu biror to‘plamda aniqlangan algebraik amalga nisbatan as-sosiativlik xossasi o‘rinli bo‘ladigan, birlik elementi mavjud bo‘lib, ixtiyoriy ele-menti teskarilanuvchi bo‘ladigan algebraik sistema ekan.
Agar (G, ∗) gruppaning ixtiyoriy a, b ∈ G elementlari uchun
a ∗ b = b ∗ a
tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda (G, ∗) gruppa kommutativ gruppa yoki Abel gruppasi deyiladi. Kommutativ bo‘lmagan gruppa esa nokommutativ gruppa deyiladi.
1.4-misol.
• (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) algebraik sistemalar kommutativ gruppa bo‘ladi.
• (Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·), (C \ {0}, ·) algebraik sistemalar kommutativ gruppa bo‘ladi.
• (M_n(R), +) – elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan n-tartibli kvadrat matritsalar to‘plami, matritsalarni qo‘shish amaliga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qiladi.
• (GL_n(R), ·) – elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lib, determinanti noldan farqli bo‘lgan n-tartibli matritsalar to‘plami, matritsalarni ko‘paytirish ama-liga nisbatan nokommutativ gruppa tashkil qiladi.
• (SL_n(R), ·) – elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lib, determinanti 1 ga teng bo‘lgan n-tartibli matritsalar to‘plami, matritsalarni ko‘paytirish ama-liga nisbatan nokommutativ gruppa tashkil qiladi.
Qiyudagi misolda X to‘plamning barcha qism to‘plamlaridan tuzilgan P (X) oilani qarab, bu oila ikki to‘plamning birlashmasi, kesishmasi va simmetrik ayirmasi kabi amallarga nisbatan qanday algebraik sistema tashkil qilishini aniqlaymiz.
1.5-misol. Bo‘sh bo‘lmagan X to‘plamning barcha qism to‘plamlaridan tuzilgan P (X) sistema uchun quyidagilar o‘rinli bo‘ladi:
• P (X) to‘plam birlashma ∪ amaliga nisbatan monoid tashkil qiladi, lekin (P (X), ∪) gruppa emas. Haqiqatdan ham, birlashma amali binar amal bo‘lib, ushbu amal uchun assosiativlik xossasi o‘rinli bo‘ladi. Birlik element vazi-fasini e = ∅ bajarsa, bo‘sh to‘plamdan farqli bo‘lgan ixtiyoriy to‘plam teska-rilanuvchi emas. Shuning uchun (P (X), ∪) monoid bo‘lib, gruppa tashkil qilmaydi.
• P (X) to‘plam kesishma ∩ amaliga nisbatan monoid tashkil qiladi, lekin (P (X), ∩) gruppa emas. Bu yerda ham aniqlangan amal binar amal bo‘lishi va assosiativlikning bajarilishi ravshan. Birlik element vazifasini e = X ba-jarsa, X dan farqli bo‘lgan ixtiyoriy to‘plam teskarilanuvchi emas.
• P (X) to‘plam simmetrik ayirma △ amaliga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qiladi. Chunki, simmetrik ayirmaga nisbatan birlik element e = ∅ bo‘lib, ixtiyoriy A ∈ P (X) elementning teskarisi o‘ziga teng bo‘ladi, ya’ni A⁻¹ = A.
Bizga sonlar nazariyasidan ma’lumki, ixtiyoriy n natural son uchun Z_n = {0, 1, . . . , n − 1} chegirmalar sinfini hosil qilish mumkin, hamda bu chegirmalar sinfida qo‘shish va ko‘paytirish amallari aniqlanadi.
1.6-misol. Z_n = {0, 1, . . . , n − 1} chegirmalar sinfi uchun quyidagilar o‘rinli: • (Z_n, +_n) kommutativ gruppa tashkil qiladi.
• (Z_n, ·_n) monoid tashkil qiladi, lekin gruppa bo‘lmaydi.

1.7-misol. (Z_n, ·_n) monoidning barcha teskarilanuvchi elementlari to‘plami

U_n = {a ∈ Z_n \ {0} | (a, n) = 1}