Архимеднинг ҳаёти ва ижоди
Download 33.48 Kb.
|
2-lekciya
|
2-лекция Aleksandriya ilimiy mektebi. Evklidtiń «Baslamalar» shıǵarmasınıń strukturası hám roli. Aristoteldiń deduktiv pán koncepciyası hám XIX-XX ásirlerdegi aksiomatika. Evklidtiń «Baslamalar» shıǵarmasınıń analizi, jetiskenlikleri hám kemshiliklerin úyreniw. Matematikanı aksiomatikalıq tiykarda qurıw hám XIX ásir ilimpazlarınıń aksiomatikası haqqında maǵlumatlar beriw. Архимеднинг ҳаёти ва ижоди; Аполлонийнинг конус кесимлари назарияси ва уни методикадаги роли; Диофонт ҳарфий алгебранинг бошланиши Александрия илмий мактаби; 5. Аристотельнинг дедуктив фан концепцияси; 6. Евклид “Бошланғичлар” нинг структураси ва уни математикани ривожлан тиришдаги роли; 7. Антик давр ва XIX –XX аср математикасидаги аксиоматик позиция. Э.о. 323 йили Александр Македонский Вавилонда вафот этади. Унинг лашкарбошилари катта империяни булиб оладилар. Мисрда Птоломейлар ҳукмдорлиги урнатилади. Александрия шаҳри денгиз буйида жойлашганлиги яъни порт шаҳри булгани, техникани жамлаганлиги савдо – сотик учун кулайлиги уни янги давлатнинг хужалик ва бошкариш марказига айлантирди. Бу кулайликлар Птоломейларни Александрия шаҳрида илмий – укув маркази – Музейон ташкил этишга , бу марказга йирик олимларни жамлаш (ойлик тулаш асосида) илмий ишларни ва укитиш ишларини йулга куйишни ташкил этди. Бу Музейон 700 йил давомида илмий марказ булиб колди ва бу ерда 500 мингдан ортик кулёзмалар жамланди. Шундан сунг реакционер христианлар томонидан бошка тиллик олимлар кувғин килинди ёки улдирилди, Музейонни эса таладилар ва охири ут куйдилар. 700 йил давомида бу илмий марказда куплаб антик олимлар ишладилар.Булардан; Евклид (360 – 283 й э.о), Аполлоний (э.о 260й) , Диофант (250 й), Эратосфен (э.о. 250) , Менелой (100 й), Герон (I-II), Птоломей (150 й), Аристотель (384 – 322).ва бошкалар. Конкрет масалаларни ечишда абстрактлаш, бир хил типдаги масалаларни ечиш натижасида математикани ранг-баранглиги ва мустакиллиги ошкора була бошлади. Бу фактлар математик билимлар системалаштириш ва унинг асосларини мантикий кетма-кетликда баён этиш заруриятини куйди.Бу вазифани муваффакиятли ҳал килишда Аристотелнинг фалсафий дунёкарашлари, ҳамда мантик фанининг ютуклари катта роль уйнади. Бу даврга келиб фикрлашнинг асосий форматлари шаклланган, системалашган ва илмий ишлаб чикарилган булиб, дедуктив фан куришнинг асосий принциплари илгари сурилган эди. Бу принципга кура мантикан мураккаблашиб борувчи фан аксиомалар системаси асосида курилиши керак. Математика эса айнан шундай фан эди. Шундан сунг математика “Бошланғичлар” куринишида айнан дедуктив метод асосида яратила бошлади. Биз шулардан энг машҳури (300) асари билан танишайлик. Евклиднинг узи Аристотель принципи асосида китоб ёзишни максад килиб куйган булса керак, натижада эса математик билимлар энциплопедияси вужудга келади. Бошланғичлар 13 та китобдан иборат. Буларнинг ҳар бирида теоремалар кетма-кетлиги бор. I – китоб; таъриф, аксиома ва постулатлар берилган.Бошка китобларда факат таърифлар учрайди.(2-7,10,11). Таъриф – бу шундай жумлаки, унинг ёрдамида автор математик тушунчаларни изохлайди. Мас; “ нукта бу шундайки, у кисмга эга эмас” ёки “ куб шундай жисмки, у тенг олтита квадрат билан чегараланган”. Аксиома – бу шундай жумлаки, микдорларнинг тенглиги ва тенгсизлигини киритади.Жами аксиомалар 5 та ; (Евдокс системаси) а = в, в= с = а = с ; 2. а = в, с = а + с = в +с; 3. а = в, с = а –с = в – с 4. а = в = в = а; 5. Бутун кисмдан катта. Постулат – бу шундай жумлаки, унинг ёрдамида геометрик ясашлар тасдикланади ва алгоритмик операциялар асосланади. Жами постулатлар бешта; ҳар кандай икки нукта оркали туғри чизик утказиш мумкин; туғри чизик кесмасини чексиз давом эттириш мумкин; ҳар кандай марказдан исталган радиусда айлана чизиш мумкин; ҳамма туғри бурчаклар тенг; агар бир текисликда ётувчи икки туғри чизик билан кесилса вабунда ички бир томонли бурчаклар йиғиндиси 180 дан кичик булса, у ҳолда туғри чизиклар шу тарафда кесишади. Энди “Бошланғичлар” нинг мазмуни билан танишайлик; I – VI китоблар планаметриясига бағишланган; VII – IX китоблар арифметикасига бағишланган; X – китоб биквадрат иррационалликларга бағишланган; XI – XIII китоблар стереометриясига бағишланган. I – китобда асосий ясашлар, кесмалар ва бурчаклар устида амаллар, учбурчак, туртбурчак ва параллелограмм хоссалари ҳамда бу фигуралар юзаларини таккослаш берилган булиб, Пифагор теоремаси ва унга тескари теорема билан якунланади. II – китобда геометрик алгебрага бағишланган булиб, бунда туғри туртбурчак ва квадрат юзлари орасидаги муносабатлар алгебраик айниятларни интерпритация килиш учун буйсундирилган. III – китоб айлана ва доира, ватар ва уринма марказий ва ички чизилган бурчаклар хоссаларига бағишланган. IV – китоб ички ва ташки чизилган чизилган мунтазам купбурчаклар хоссаларига бағишланган.Мунтазам 3, 4, 5, 6 ва 15 бурчакларни ясашга бағишланган. V – китоб нисбатлар назарияси билан бошланиб (Евдокс назарияси булиб, ҳозирги замон ҳакикий сонлар назариясининг Дедекинд кесмаларига мос келади), пропорциялар назарияси ривожлантирилган. VI – китоб нисбатлар назариясининг геометрияга татбик этилиб умумий асосга эга булган туғри туртбурчаклар ва параллелограмм юзаларининг нисбатлари, бурчак томонларини параллел туғри чизиклар билан кесганда ҳосил буладиган кесмаларнинг пропорционаллиги, ухшаш фигуралар ва улар юзаларининг нисбати ҳакидаги теоремалар каралади. Юзалар учун эллиптик ва гиперболик тадбикларга доир теормелар берилган булиб, (а, в, с–берилган кесмалар, S –юза, х–номаълум кесма) куринишдаги тенгламаларни геометрик ечиш методи берилган. VIII – китоб-олдинги назария давом эттирилиб узлуксиз сонли пропорциалар билан IX-китоб якунланади. Геометрик прогрессия ва унинг ҳадлари йиғиндисини топиш усули берилади.Купгина Кисми туб сонларга бағишланган булиб, бу туплам чексиз эканлиги исботи мерос колган. Сонларнинг жуфт ва токлик хоссалари каралади. Сунгида эса ушбу теорема билан якунланади.; Агар куринишдаги сон туб булса, у холда S1=S*2n сонлар мукаммал булади,(Мукаммал сон –барча булувчиларнинг йиғиндиси плюс бир минус узи ) Бу теорима исботланмаган. X – китоб куринишидаги иррационалликларни 25 та классификатрияси берилган. Бундан ташкари бир канча леммалар берилган булиб, булар ни ичида инкор этиш (исчерпывание) методининг асосий леммаси, яьни агар берилган микдордан узининг ярмидан купини айириб ташланса ва колган учун яна шу пройесс такрорланса,у холда етарлича куп кадамдан сунг олдиндан берилган микдордан кичик буладиган микдора эга булиш мумкин. Яна чекланмаган микдорда ”Пифагор сонларни “ топиш усули . иккита ва учта рационал сонларнинг умумий энг катта улчовини топиш . икки микдорда улчамлик критерийсини берилган . Сунги уч китоб (ХI –ХIII) стереметрияга бағишланган булиб, булардан ХI-китоб бир канча таьрифлар берилган. Сунг туғри чизик ва текисликларнинг фазода жойлашувига оид катор теорималар хамда купекли бурчаклар хакида теорималар берилган.Охирида параллепипед ва призма хажимларига доир масалалар берилган. ХII- китобда фазовий жисмларининг муносабатлари ҳакидаги теоремалар инкор этиш методи ёрдамида берилади. XIII – китоб бешта мунтазам купёкликларни; тетраэдр(4 ёкли), гексоэдр (6 ёкли), октаэдр (8 ёкли), додектаэдр (12 ёкли), икосаэдр (20 ёкли) ясаш усуллари ва шар ҳажми ҳакидаги маълумотлар берилган. Энг сунггида бошка мунтазам купёклилар мавжуд эмаслиги исботланади. Китобнинг ютук ва камчиликлари; Муҳокама усули синтетик, яъни маълумдан номаълумгача; Исботлаш усули; масала ёки теорема баён этилади, бунга мос теорема берилади, чизмада номаълум аникланади ёрдамчи чизиклар киритилинади, исботлаш процесси, якун ясаб хулоса чикариш. Геометрик ясаш куроли – церкуль ва чизғич булиб, булар улчаш куроли эмас. Шунинг учун кесма, юза, ҳажмларни улчаш эмас, балки уларни муносабатлари устида иш юритилинади. Баён этиш усули – тили соф геометрик булиб, сонлар ҳам кесмалар оркали берилган. Конус кесмалар назарияси, алгебраик ва трансцендент чизиклар ҳакида маълумотлар йук. Ҳисоблаш методлари умуман берилмаган. Бошидан то охиригача аксиоматик баён этиш усулига курилган. Идеалистик философия тенденцияси асосида баён этилиши ва урта мантикийлиги. Шунга карамасдан карийиб 2000 йил давомида бутун геометрик изланишларнинг асоси булиб хизмат килади. Юкоридаги кичикликларни бартараф этиш ва усиб бораётган математик катъийликни таъминлаш учун жуда куп уринишлар булди. Бунга мисол 1882 йили Паша ишлари, 1889 Пеано ишлари, 1899 й Пиери ишларини айтиш мумкин.Лекин 1899 йили Гильбертнинг “Геометрия асослари” да келтирилган аксиомалар системаси ҳамма томондан тан олинди.Асосий тушунчалар; (.), туғри чизик, текислик; тегишли, орасида, конгруэнт. Бешта группа аксиомалар; 8 та бирлаштирувчи ва тегишлилик; 4 та тартиб, 5 та конгруэнтлик ёки ҳаракат; 2 та узлуксизлик. Булар Евклидникига караганда юкори даражада предметларни фазовий ва микдорий абстракциялаш имконини беради. Эллинизм даврининг энг буюк математикларидан бири Архимед (э.о. 287-212й) асли Сиракузлик булиб, бирмунча вакт Александрияда ишлади, сунг ватанига кайтиб, шох Гиероннинг маслахатчиси булиб ҳам ишлади. Архимеднинг иншолари асосан хатларда булиб, бизгача 10та катта ва бир канча кичик асарлари етиб келган. Бу асарларнинг асосий хусусияти математиканинг катъий исботлаш методларини механикада ва физикада куланилишидир, амалий математика билимларини, ҳисоблаш техникаси, янги математик методларни ривожлантиришнинг ёркин намунасидир. Бу методларнинг умумий инфинитизималь методлар деб аталиб, унинг ассосларини: инкор этиш (ташлаб юбориш), орасига куйиш (вставка), интеграл йиғиндилар, дифференциалга олиб келиш, лимитга олиб келиш, экстремал масалаларга ва вариацион ҳисоблашга олиб келувчи методлардир. Бу методларнинг барчаси Архимед асарларида кулланилган булиб, улар дастлаб механикада ва инженерликда кулланилиб, сунгра математикада аналогияси топилар ва кулланилар эди. Энди Архимед ишлари билан танишайлик. Математикага оид назарий асарлардан: Текис фигураларнинг мувозанати ҳакида; Сузувчи жисмлар ҳакида; Таянчлар китоби; Доирани улчаш; Параболани юзини улчаш; Шар ва цлиндр ҳакида; Спираллар ҳакида; Каноноид ва сфероидлар ҳакида; ва бошкалар. Механикага оид кашфиётлари ва ихтиролари: Архимед винти; катта массали жисмларни кутариш ва силжитиш учун ричаг, блок ва винтлар системаси; котишмалар таркибини аниклаш; планетарий; сопкон (ирғитувчи машина) ва бошкалар. Механика ва физикада анология принципи XVIIIда Д.Бернуллига торнинг тебраниш тенгламасини топишда, XIXда эса Б.Риманга ҳар кандай ёпик Риман сиртида алгебраик функция мавжуд эканлигини аниклашда ёрдам берди. XVI-XVII асрларда: Паскал-интеграцион методда; Борроу-уринма масаласини ҳал килишда; квадратура ва уринма узаро тескари масалалар эканлигини исботлашда; Лейбниц дифференциал ҳисобини яратишда Архимеднинг интеграл йиғиндилар методидан ҳосил буладиган учбурчаклардан фойдаланганлар. Дарбу эса куйи ва юкори интеграл йиғиндиларни куриш, аник интеграл тушунчаларни ишлаб чикишда айнан Архимед йулидан борган. Булардан ташкари Архимед «Шар ва цлиндр» ҳакида асарида кисман экстримал масала: (шарни берилган нисбатда (m,n) иккита сигментга ажратиш) ва вариацион масалага урин берган. Элинизм даврининг кейинги буюк математиги Аполлоний (Пергам, э.о. 260-170й). Дастлаб Александрияда сунгра ватани Пергамада илмий ишларини давом эттирди. Унинг ёзган асарларидан энг машҳури «Конус кесимлари» булиб, 7та китоб-дастлабки 4таси грек тилида, 5-7 китоблар араб тилида, 8-китоб эса (охиргиси) англиялик олим Галлей (1656-1742) томонидан тикланди. Конус кесимларига доир жуда куп антик олимлар асарлар ёзганлар. Хатто Евклид асари ҳам Аполлоний асари олдида хом булиб колди. Бу асар узининг туликлиги, умумлашганлиги ва назарияни баён этилишини системалилиги буйича узига тенги йукдир. 1-китоб. Етарли даражада умумий булган маълумотлар асосий килиб олинади. Ўзаро симметрик булган иккала доиравий конусни ихтиёрий текислик билан кесимини карайди. Бунинг натижасида ҳосил буладиган эгри чизиклар бирор диаметрга ва унга кушма булган ватарлар оиласига нисбатан карайди. Диаметр ватарга перпендикуляр булган ҳолда бу эгри чизиклар синфи каноник формалариниберади, шуларни Апаллоний конус кесимлари деб атайди. Бундай усулда ёндошиш барча конус кесимларга ягона ёндошиш имконини беради. Бу усул ҳозирги замон координат методининг энг содда усулидир. Китоб сунгида уринмалар ҳакидаги теоремалар билан якунланади. 2-китоб. Асосий уклар, асимптоталар, кушма диаметрлар назариясига бағишланган. Эллипс, гипербола ва параболада бир жуфт узаро перпендикуляр уклар булиб, иккита урунма кесишиш нуктасини ватар уртаси билан тутуаштирилса, бу туғри чизик диаметр булиши исботланади. Конус кесимларини марказлари ва укларини ясаш усуллари берилади. 3-китоб. Кесувчи, асимптота ва урунмалар билан ҳосил буладиган фигураларнинг юзалари ҳакидаги теоремалар берилган. Помос ва кутблар ҳамда эллипс ва гиперболанинг фокуслари ҳакидаги теоремалар берилади. 4-китоб. Туғри чизикни гармоник булиши, икки конус кесимининг кесишиши ёки унуниши натижасида ҳосил буладиган нукталарнинг сони ҳакидаги масалалар каралган. 5-китоб. Берилган нуктадан берилган конус сиртгача булган энг киска масофа (экстремал масала) ҳакидаги масалалар, эгрилик марказларининг геометрик урни (ёйилма назарияси) ҳакидаги масалалар каралган. 6-китоб. Конус кесимларининг ухшашлиги, берилган конус кесимдан утувчи конуслар оиласини ясашларга бағишланган. 7-китоб. Қушма диаметрлар, параметр узунликларининг функциялари, масалалари, масала шартларига куйиладиган чекланишларни (диоризмы) урганишга бағишланган. Бу китобда каралган материалларни назарий ишлаш кейинги 8-китобда берилишини кайд этади. Шунга асосланиб Э.Галей 8-китобни тиклади. Диофант (250й)-кейинги эллинизм даврининг буюк математикларидан бири. У Александрияда яшаб ижод этди. Бизгача «Арифметика» асарининг 6та китоби ва купбурчакли сонлар ҳакида китобининг колдиклари етиб келган. Диофант даврига келиб математиада ҳисоблашларнинг кенгрок урин олиши алгебрани ва алгебраик символикани дастлабки формалари пайдо була бошлади. Бу борада Диофант етарлича катта ютукларга эришди. Диофант «Арифметика» асарида асосий арифметик тушунчалар, купайтиришнинг ишоралар коидаси, купҳадлар устида амаллар ва чизикли тенгламаларни ечиш каби маълумотлар 1-китобда берилган. Факат рационал сонлар каралган. Шунга кура коэффицентлар ҳам илдизлар ҳам факат рационал булиши керак. Биринчилар катори Диофант суз билан берилган алгебраик боғланишларни кискартма сузлар ёрдамида символикага утказишга ҳаракат килган. Санок системаси-алфавитли. Символикадан баъзи намуналар: кушиш йук урни буш колган, айириш - , тенглик – , озод ҳад - ва бошкалар. Шундай символикалар ёрдамида 2-6 китодларда Диофант иккинчи даражали аникмас тенгламаларга келтирилувчи купдан куп масалалар ечади. 50 дан ортик синфга кирувчи 130 дан ортик аникмас тенгламаларни рационал илдизларини (факат биттасини) топади. Умумий ечиш усули ва исботлашлар берилмаган, ечимларнинг туғрилиги текшириш билан чегараланилган булиб, Вавилион рухи яккол сезилиб туради. Биринчи даражали Диофант тенгламаларининг (ах+ву=1, (а,в)=1) умумий назарияси XVII асрга келиб француз математиги Баше де Мезериак (1587-1638 й) томонидан яратилган. 1621 йилда эса у асарни узини грек ва лотин тилида шарҳлар билан нашр килдирди. Иккинчи даражали Диофант тенгламаларининг (ах2+вху+су2+dx+ey+f=0, бутун коэффициентлар) умумий назарияси П.Ферма, Д.Валлис, Л.Эйлер, Ж.Логранж, К.Гаусларнинг умумий уринишлари натижасида ХIХ асрга келиб ҳал килинди. Диофант факат мусбат рационал илдизларни кидирганлиги сабабли, иррационал ечимларни тан олмаган ва шу сабабли коэффициентларни диккат билан танлаган. Масалан: х2-26у2=1, х2-30у2=1 лар (ҳозирги даврда Пелл тенгламалари деб юритилади). Бутун коэффицентли аникмас алгебраик тенгламалар ва улар системаларининг бутун ёки рационал илдизларини кидириш, уларнинг умумий назариясини яратиш купдан-куп илмий изланишларга ва математиканинг бундан кейинги ривожланиши учун сабаб булди. Бу сохада совет олимларидан А.Гельфонт, Б.Делони, Д.Фадеев, В.Тартаковскийлар томонидан фундаментал ишлар бажарилган. Сонлар назариясига оид бир канча теоремалар, жумладан (III, 19) агар купайтувчиларнинг ҳар бири иккита квадратларнинг йиғиндисидан иборат булса, у ҳолда бу икки сон купайтмасини икки хил усул билан иккита квадратнинг йиғиндиси куринишида тасвирлаш мумкин (сонлар бутун). Берилган сонни учта, туртта квадратлар йиғиндиси куринишида тасвирлаш теоремалари бор. Диофант яратган якинлашиш методи ёрдамида сонлар назариясига оид масалалар (рационал сонлар билан ҳакикий сонларга якинлашиш), ҳакикий коэффициентли тенгсизликлар ва улар системаларини ечиш, трансцендент сонлар назариясига оид масалаларни ҳал килган. Бу ишларнинг кейинги ривожланиши И.Виноградов билан боғлик. Булардан куриниб турибдики Диофант ишлари математикани бундан кейинги ривожланиши учун катта замин яратган. Текшириш саволлари: Архимеднинг математикага оид ишларини санаб беринг. Архимеднинг механикага оид ишларини санаб беринг. Аполлонийнинг конус кесимлар назариясини изоҳалар. Диофант тенгламаларидан намуна келтиринг. Кубни иккилантириш масаласи нимадан иборат? Бурчакни учга булишга доир масалалардан намуна келтиринг. Доирани квадратлаш нима? Муаммони кейинги ривожи кандай кечган? Download 33.48 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|