Arifmetik va geometrik progressiyalar

Arifmetik progressiya

Arifmetik progressiya ketma-ketlik chaqiriladi, uning har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab oldingisiga teng bo'lib, unga bir xil son qo'shiladi.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .
har qanday natural son uchun arifmetik progressiyadir n shart bajariladi:
a n +1 = a n + d,
qayerda d - ba'zi raqam.
Shunday qilib, berilgan arifmetik progressiyaning keyingi va oldingi a'zolari o'rtasidagi farq doimo doimiy bo'ladi:
a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.
Raqam d chaqirdi arifmetik progressiyaning farqi.
Arifmetik progressiyani o'rnatish uchun uning birinchi hadini va farqini ko'rsatish kifoya.
Misol uchun,
agar a 1 = 3, d = 4 , keyin ketma-ketlikning birinchi beshta hadi quyidagicha topiladi:
a 1 =3,
a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,
a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Birinchi hadli arifmetik progressiya uchun a 1 va farq d uni n
a n = a 1 + (n- 1)d.
Misol uchun,
arifmetik progressiyaning o‘ttizinchi hadini toping
1, 4, 7, 10, . . .
a 1 =1, d = 3,
a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
a n-1 = a 1 + (n- 2)d,
a n= a 1 + (n- 1)d,
a n +1 = a 1 + nd,
keyin aniq

a n=	a n-1 + a n+1
	2

arifmetik progressiyaning ikkinchidan boshlab har bir a'zosi oldingi va keyingi a'zolarning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng.
a, b va c raqamlari ba'zi arifmetik progressiyaning ketma-ket a'zolari bo'ladi, agar ulardan biri qolgan ikkitasining o'rta arifmetik qiymatiga teng bo'lsa.
Misol uchun,
a n = 2n- 7 , arifmetik progressiyadir.
Keling, yuqoridagi bayonotdan foydalanamiz. Bizda ... bor:
a n = 2n- 7,
a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Demak,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄
Eslab qoling n -arifmetik progressiyaning a'zosi nafaqat orqali topiladi a 1 , balki oldingi har qanday a k
a n = a k + (n- k)d.
Misol uchun,
uchun a 5 yozish mumkin
a 5 = a 1 + 4d,
a 5 = a 2 + 3d,
a 5 = a 3 + 2d,
a 5 = a 4 + d. ◄
a n = a n-k + kd,
a n = a n+k - kd,
keyin aniq

a n=	a n-k + a n+k
	2

arifmetik progressiyaning ikkinchisidan boshlab istalgan a'zosi bu arifmetik progressiyaning undan teng masofada joylashgan a'zolari yig'indisining yarmiga teng bo'ladi.
Bundan tashqari, har qanday arifmetik progressiya uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Misol uchun,
arifmetik progressiyada
1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;
2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kabi
a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,
a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,
birinchi n arifmetik progressiya a'zolari ekstremal hadlar yig'indisining yarmining hadlar soniga ko'paytmasiga teng:
Bundan, xususan, agar shartlarni jamlash kerak bo'lsa, shundan kelib chiqadi
a k, a k +1 , . . . , a n,
keyin oldingi formula o'z tuzilishini saqlab qoladi:
Misol uchun,
arifmetik progressiyada 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Agar arifmetik progressiya berilgan bo'lsa, u holda miqdorlar a 1 , a n, d, n vaS n ikkita formula bilan bog'langan:
Shuning uchun, agar uch
bu miqdorlardan berilgan, keyin qolgan ikki miqdorning tegishli qiymatlari ikkita noma'lum ikkita tenglamalar tizimiga birlashtirilgan ushbu formulalardan aniqlanadi.
Arifmetik progressiya monotonik ketma-ketlikdir. Bunda:
· agar d > 0 , keyin u ortib bormoqda;
· agar d < 0 , keyin u kamayadi;
· agar d = 0 , keyin ketma-ketlik statsionar bo'ladi.

Geometrik progressiya

geometrik progressiya ketma-ketlik chaqiriladi, uning har bir atamasi ikkinchisidan boshlab oldingisiga teng bo'lib, bir xil songa ko'paytiriladi.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
har qanday natural son uchun geometrik progressiyadir n shart bajariladi:
b n +1 = b n · q,
qayerda q ≠ 0 - ba'zi raqam.
Shunday qilib, bu geometrik progressiyaning keyingi hadining oldingisiga nisbati doimiy son:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Raqam q chaqirdi geometrik progressiyaning maxraji.
Geometrik progressiyani o'rnatish uchun uning birinchi hadi va maxrajini ko'rsatish kifoya.
Misol uchun,
agar b 1 = 1, q = -3 , keyin ketma-ketlikning birinchi beshta hadi quyidagicha topiladi:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 va maxraj q uni n -chi hadni quyidagi formula bilan topish mumkin:
b n = b 1 · q n -1 .
Misol uchun,
geometrik progressiyaning yettinchi hadini toping 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,