Arifmetik vektor fazo va unga misollar

6a  6  0

_Rn
 a  1.
arifmetik fazoda kiritilgan skalyar koʻpaytma xossalaridan foydalanib

quyidagi teoremani isbotlaymiz.

Teorema (Koshi - Bunyakovskiy tengsizligi). ^Rn
ixtiyoriy ^X va ^Y vektorlar uchun
arifmetik fazodan olingan

( X ,Y )  X
 Y yoki



_x_i y_i 

Isbot. Ixtiyoriy
  R

uchun
i1

0  ( X  Y,X  Y )  ( X ,X )  2( X ,Y )  ²(Y,Y )
hosil boʻlgan kvadrat uchhad nomanfiy boʻlganligi sababli bu kvadrat uchhadning diskriminanti musbat boʻlmaydi. Bundan

4( X ,Y )²  4( X ,X )(Y ,Y )  0
yoki
( X ,Y )  X
 Y _.

Bu teorema asosida ^Rn arifmetik fazo vektorlari orasidagi burchak tushunchasini kiritamiz.
6-ta’rif. Ikkita ⁿ oʻlchovli noldan farqli ^X va ^Y vektorlar orasidagi ^ burchak
n

( X ,Y )
^{ x}i ^yi

cos   ^i1 ,  [0; ]
X  Y _
formula bilan aniqlanadi.

Izoh:
^Rn arifmetik fazodagi ⁿ oʻlchovli vektorlar orasidagi burchak taʻrifining

korrektligi yuqorida isbotlangan Koshi - Bunyakovskiy tengsizligidan kelib chiqadi.

8. 
   misol.
   

X (3;4;2;5)
va Y (1;3;7;2)
vektorlar berilgan:

1. 
   3X  2Y
   

vektorni toping;

2. 
   _ X ,Y _
   

skalyar koʻpaytmani toping;

3. 
   ^{X va Y} vektorlar orasidagi burchakni toping;
   
4. 
   ⁾ Koshi - Bunyakovskiy tengsizligini tekshiring.
   

Yechish.

 ³   ^1  ⁷ 

 _4   ₃   _6 
a) 3X  2Y  3^{ }  2^{ }  ^{ }.
^ 2 ^{ } 7 ^{ } 8^
 ₅   ₂   ₁₉ 
     
b) _ X ,Y _  3 12 14 10  19.

c) X 
 54; Y 
 63.

cos 
;   arccos^{ }    arccos^{ 19 }.

   
   

d) 19 
54 
19  9
9 42  58,33.

8. 
   misol.
   

A₁(3; 4;1;7;2) _va
A₂ (4;6; 3;3;6)

nuqtalar berilgan.

a  A₁ A₂

vektorning koordinatalarini toping.

Yechish: ushbu holda
x₁  3,
x₂  4,
x₃  1 _,
x₄  7 _,
x₅  2, _va

y₁  4,
y₂  6,
y₃  3,
y₄  3,
y₅  6.
a  A₁ A₂
vektorning koordinatalarini

^{a  A1A2 }  ^{y1  x1; y2  x2; y3  x3; y4  x4; y5  x5} 
formula boʻyicha hisoblab

a  A₁A₂  _1; 10;  4;4;8_
ga ega boʻlamiz.

8. 
   misol. Parallelogrammning uchta ketma-ket uchlari:
   

A(1;2;3), B(3;2;1)

C(6;4;4)

toping.
koordinatalari bilan berilgan. Parallelogrammning toʻrtinchi ^D uchini

Yechish: parallelogrammning toʻrtinchi ^D uchining koordinatalarini
x, y, z

bilan belgilaymiz
D(x; y; z).
^BC va ^AD vektorlarning koordinatalarini topamiz.

BC  _6  3; 4  2; 4 1_,
BC  _3; 2; 3_,
AD  _ x 1; y  2; z  3_.

ABCD

parallelogrammda ^BC va ^AD vektorlar tengligidan,
x 1  3,
y  2  2, _{z  3  3.}

Demak,
x  4,
y  0, _{z  6}  D(4; 0; 6).


_Ox Oy

8. 
   misol. Uch oʻlchovli fazoda ^a
   

vektor berilgan boʻlib, bu vector va


oʻqlari bilan mos ravishda


  60⁰
va  120⁰

burchak tashkil qiladi. Agar

a  2

boʻlsa, ^a vektorning koordinatalarini toping.
_ 

Yechish. ^a
vektorning koordinatalarini
^{x, y, z} deb olamiz, yaʻni
a  _ x; y; z_. _U


holda ^a

vektorning yoʻnaltiruvchi kosinuslarini
cos  ^x ,
cos   ^y ,
cos  ^z

munosabatlardan topamiz. Bizga maʻlumki
cos²   ¹ .



cos²   cos²   cos² 
1

cos²  1 cos² 60⁰  cos²120⁰ 
cos 
Bu yerdan ² yoki
vektolar qanoatlantiradi:
2
cos  . ^{ 
2} Masala shartini ikkita ^a1 va ^{a 2 .}



1. 
   ^a1
   

vektorning yoʻnaltiruvchi kosinuslari
cos  ¹ ,
2
cos   ¹ ,
2

cos  ² 
1 _ x_{1 ,}



 ¹ 



y_{1 ,}



 ¹  ^y1 




2 2 2


a₁  _1; 1; 2 _
2 2 _va 2 2
x₁ 1,
y₁  1,
z₁  



2. 
   ^{a 2}
   

vektorning yoʻnaltiruvchi kosinuslari
cos  ¹ ,
2
cos   ¹ ,
2

cos  _ ¹  ^x2 ,  ¹  ^y2 ,



_ 2 _ z_{2 }


2 2 2 2 2

a₂
^  _1;1; 2 _.
_{2 2} x₂ 1, y₂  1,
z₂   

8. 
   misol.
   

   
a  m i  3 j  4 k
   
_va b  4 i  m j  7 k

vektorlar berilgan. ^m ning

qanday qiymatlarida vektorlar perpendikulyar boʻladi.
Yechish. Bu vektorlarning skalyar koʻpaytmasini topamiz:

 
(a, b)  4m  3m  28;
 
a  b
 
boʻlgani uchun ^{(a,b)  0}
boʻladi. Bundan ^{7m  28  0,}

yaʻni
m  4.
   
   

8. 
   misol.
   

hisoblang.
a  i  2 j  3k
_va b  6 i  4 j  2 k
vektorlar orasidagi burchakni


_a,b_

 
 
_ a, b _ 
Yechish. ^{ }


boʻlgani uchun
Cos 
a b

_a, b_ 1 6  2  4  3_2_  8,
 14,

 2 14.
cos  ⁸  ²
2

 
arccos .

Demak,
^{ 2 7} va ⁷

8. 
   misol.
   

toping.
a  2i  3 j  5k
_va b  i  2 j  k
vektorlarning vektor koʻpaytmasini

Yechish.
a  b  7i  3 j  k.

yaʻni

8. 
   misol.
   

a  2i  5 j  7k ,
b  i 
j  k,
c  i  2 j  2k


vektorlarning

komplanarligini koʻrsating.
Yechish. Uch vektorning aralash koʻpaytmasini topamiz:
2 5 7

_^_a  b^_  c_  1 1 1  2  ¹
1 _{ 5 } 1 1 _{ 7 } 1 1
 8 15  7  0,

1 2 2
2 2 1 2 1 2

_^_a  b^_  c_  0
boʻlgani uchun <sup>a, b,


c</sup> lar komplanar.