Asl va tasvir. Laplas almashtirishi xossalari va asosiy teoremalar. Laplas boʻyicha tasvirlar jadvali

13-MA’RUZA.
Asl va tasvir. Laplas almashtirishlari.

REJA:

1. 
   Asl va tasvir.
   
2. 
   Laplas almashtirishi xossalari va asosiy teoremalar.
   
3. 
   Laplas boʻyicha tasvirlar jadvali.
   
4. 
   Asl boʻyicha tasvirni topish.
   
5. 
   Tasvir boʻyicha aslni topish.
   

Tayanch soʻz va iboralar. Asl funksiya, Laplas almashtirishi, tasvir, teskari Laplas almashtirishi, Xevisayd funksiyasi, asl va tasvir jadvali.
1.Asl va tasvir
Butun sonlar uqida aniqlangan va qo’ydagi shartlarni qanatlantiruchi f(t)
funksiani qaraylik:
1) Ot oʻqning ixtiyoriy chekli intervalida f(t) funksiya uzluksis yoki chekli sondagi I-tur uzilish nuqtaga ega;
2) Barcha t<0 lar uchun, f(t)=0;

3. 
   f(t)-chegaralangan oʻsuvchi funksiya, koʻrsatkichli funksiyaga nisbatan tezroq oʻsmaydi, yaʼni shunday M>0, sonlar mavjudki, har qanday t lar uchun .
   

Taʼtif 1. Yuqoridagi 1)-3) shartlarni qanoatlantiruch t haqiqiy argumentli f(t)
ixtiyoriy kompleks funksiyaga аsl funksiya feyiladi
Taʼtif 2. Haqiqiy oʻzgaruvchili f(t) funksiyaning Laplas almashtirishi deb kompleks oʻzgaruvchili

tenglik bilan aniqlanadigan F(p) funksiyaga aytiladi.
Ushbu ifodaning oʻng tomoniga Laplas integrali deyiladi.
f(t) funksiyaga Laplas almashtirilishining asli, F(p) funksiya esa f(t) funksiyaning tasviri deyiladi.
Adabiyotlarda asl bilan tasvir oʻrtasidagi bogʻliqlik yoki , kabi belgilanadi.
Xevisayd birlik funksiyasi ning tasvirini topamiz:
, bu yerda dan foydalanildi.
Agar funksiya asl funksiyaning 1) va 3) shartlarini qanoatlantirsa, funksiya uchala shartni ham qanoatlantiradi.
Bundan keyin o‘rniga oddiygina deb yozamiz va argumentning manfiy qiymatlarida nol deb hisoblaymiz.
Ushbu funksiyaning tasvirini, yaʼni Laplas almashtirishini topamiz:

Demak, , xususan boʻlganda 1 va , c=const.
Xuddi shu kabi, funksiyaning tasvirini topamiz:




Bundan, .