Asosiy masalalarning qo’yilishi

Koshi – Kovalevskaya teoremasi. Bu bandda biz tekshiradigan tenglamalardagi noma’lum funksiyalar n+1 o’zgaruvchiga bog’liq bo’lib, bulardan bittasini t orqali, qolganlarini esa orqali belgilab olamiz. Avvalo ikkita ta’rif kiritamiz.

N ta noma’lum funksiya ushbu


Ixtiyoriy xususiy xosilali differensial tenglamalar sistemasini umuman (77) ko’rinishga keltirish mumkin emasligini eslatib o’tamiz. Agar funksiya nuqtaning biror atrofida tekis yaqinlashuvchi
,

Darajali qator bilan ifodalansa, u nuqtada analitik funksiya deyiladi. nuqta kompleks bo’lishi xam mumkin.
Agar funksiya G soxaning xar bir nuqtasida analitik bo’lsa , u G soxada analitik deyiladi. t ga nisbatan normal Sistema uchun Koshi masalasi bunday qo’yiladi (77) sistemaning da ushbu
k=0,1, … , i=1,2, … , N (78)
Boshlang’ich shaartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. Bu yerda – biror G soxada berilgan funksiyalar. Berilgan (78) boshlang’ich shartalrga asosan funksiyalar ishtirok etayotgan barcha xosilalar va da ma’lum bo’ladi, masalan

Xususan birinchi tartibli xususiy xosilali differensial tenglamalarning normal sistemasi

Ko’rinishga ega bo’ladi.
K o sh i – K o v a l e v s k i y t e o r e m a s i. Agar barcha funksiyalar nuqtaning biror atrifida analitik funksiya esa nuqtaning biror atrofida analitik bo’lsa, u holda (77) (78) koshi masalasi ( ) nuqtaning biror atrofida analitik yechimgs ega bo’ladi, shu bilan birga bu yechim analutik funksiyalar sinfida yagona bo’ladi.
4. Elliptik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalar. (56) tenglama (elliptiktip) uchun chegaraviy masala bunday qo’yiladi; G soxada (56) tenglamani va S chegarada quyidagi shartlardan bittasini qanoatlantiruvchi funksiya topilsin:
I.
II.
III.
Bu yerda n – S sirtga o’tkazilgan tashqi normal, , , , da berilgan uzluksiz funksiyalar.
Masalalarni qo’yishdan darhol shu narsa ma’lumki, I holda u(x) funksiya sinfga , II, III, xollarda esa
Sinfga tegishli bo’lishi kerak.
Bu masalalardan I ni birinchi chegaraviy masala yoki Dirirxle masalasi, II ni ikkinchi chegaraviy masala yoki Neyman masalasi, III, ni esa uchinchi chegaraviy masala deyiladi.
Masalan bunday shartlar Laolas tenglamasi uchun IxI→∞ da
Ko’rinishda bo’lishi mumkin. Yuqoridagilarga o’xshash G soxada berilgan umumiy ikkinchi tartibli chiziqli

Tenglama uchun chegaraviy masalalar qo’yiladi.
G soxada (80) tenglamaning

Shartni qanoatlantiruvchi regulyar yechimi topilsin.
Bu yerda va – S da berilgan funksiyalar; va deganda x nuqta G soxaning ichidan S nuqtasiga intilgandagi bu funksiyalarning limit qiymatlari tushuniladi. (80),(81) masala Pyankare masalasi deyiladi.
Barcha S da bo’lgan xolda (81) chegaraviy shartni

Ko’rinishda yozib olish mumkin. (80), (81) masala birinchi chegaraviy masala yoki Dirixle masalasi deyiladi.
S da bo’lganda, Puankare masalasining xususiy holi

Masala xosil bo’ladi. (80),(83) masala qiya xosilali masala deyiladi.
S sirtning nuqtasidagi yo’nalturuvchi kosinuslari

Bo’lgan birlik vektorni – konormalni N orqali belgilaymiz. Bu yerda n – S sirtga nuqtada o’tkazilgan tashqi normal,

Agar (83) chegaraviy shartda barcha S da

Bo'lsa, qiya xosilali masala ikkinchi chegaraviy masala yoki Neyman masalasi deyiladi.
5) Aralash masala. Tebranishlar tenglamasi (giperbolik tip), ya'ni (37) tenglama uchun aralash masala bunday qo'yiladi:
sinfga tegishli, silindrda (37) tenglamani, , da (70) boshlang'ich shartlarni va , ( ) da I, II yoki III chegaraviy shartlardan bittasini qanoatlantiruvchi funksiya topilsin. Xuddi shunga o'xshash, (44) diffuziya tenglamasi uchun aralash masala qo'yiladi: silindrda (44) tenglamaning , grad sinfga tegishli, (71) boshlang’ich shartni xamda I, II, yoki III chegaraviy shartlardan bittasini qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.