Қаторлар 3-мавзу. Сонли қаторлар ва уларнинг яқинлашиш белгилари

3. Қатор яқинлашишининг зарурий белгиси(шарти).
Теорема. (2)
қатор яқинлашувчи бўлса,

шарт бажарилади.
Исбот. (2) қатор яқинлашувчи бўлганлиги учун


.

Шундай қилиб, келиб чиқди.

Натижа. Қатор умумий ҳадининг даги лимити 0 га тенг бўлмаса, у узоқлашувчи бўлади. Лекин шартдан қаторнинг
яқинлашувчилиги келиб чиқмайди. Бу шарт фақат зарурий шарт бўлиб, етарли эмас.
4. Мусбат ҳадли қаторлар яқинлашишининг етарли белгилари
1) Қатор яқинлашишининг таққослаш белгиси.



қаторлар учун тенгсизликлар ҳамма лар учун бажарилиб: (4) қатор яқинлашувчи бўлса, (3) қатор ҳам яқинлашувчи бўлиди ва унинг йиғиндиси (4) қатор йиғиндисидан катта бўлмайди; (3) қатор узоқлашувчи бўлса, (4) қатор ҳам узоқлашувчи бўлади.
2-мисол.
қатор махражи га тенг бўлган геометрик прогрессия яқинлашишини текширинг.
Ечиш. Берилган қаторни

қатор билан таққослайимз. Маълумки, кейинги қатор махражи га тенг бўлган геометрик прогрессия бўлиб, яқинлашувчидир. Ҳамма лар учун .
тенгсизликлар бажарилади, демак таққослаш белгисига асосан, берилган қаторнинг ҳам яқинлашувчи эканлиги келиб чиқади.
2). Даламбер белгиси. Мусбат ҳадли

қатор берилган бўлсин. лимит мавжуд бўлиб: бўлса,
қатор яқинлашувчи; бўлса, қатор узоқлашувчи; бўлса, қатор яқинлашувчи ҳам узоқлашувчи ҳам бўлиши мумкин, бундай ҳолларда қаторни бошқа белгилардан фойдаланиб текшириш керак бўлади.
3-мисол.
қатор яқинлашишини текширинг.
Ечиш.
Демак, берилган қатор Даламбер белгисига асосан яқинлашувчи.
4-мисол.
қатор яқинлашишини текширинг.
Ечиш. .
Бу ҳолда Даламбер белгиси саволга жавоб бермайди. Берилган қатор учун қатор яқинлашишининг зарурий белгисини текширайлик.

Қатор яқинлашишининг зарурий шарти бажарилмайди, демак берилган қатор узоқлашувчи.
3) Коши белгиси.

мусбат ҳадли қатор берилган бўлиб,

лимит мавжуд ва бўлса, қатор яқинлашувчи; бўлса, қатор узоқлашувчи; бўлса, қатор яқинлашувчи ҳам, узоқлашувчи ҳам бўлиши мумкин, бу ҳолда Коши белгиси саволга жавоб бермайди.
5-мисол.
қатор яқинлашишини текширинг.
Ечиш. Коши белгисидан

Шундай қилиб, берилган қатор Коши белгисига асосан яқинлашувчи бўлади.