Axborot Texnologiyalari fakulteti

i 1
^ei ^{ e}i _
^ei ^,


t  2, 3, ..., k

Teorema isbotlandi.

13-misol.
^R3 fazoda berilgan
a ₁(1, 1, 1) _,
a₂ (0, 1, 1) _,
a₃ (0, 0, 1)
vektorlar

sistemasidan ortonormallangan bazis quring.

Yechish. Birinchi navbatda sistemasining rangini aniqlab olamiz
a ₁(1, 1, 1) _,


1 1 1
0 1 1  1
0 0 1
a₂ (0, 1, 1) _,
a₃ (0, 0, 1)
vektorlar

rang( a₁,
a₂ ,
a₃ )  3
boʻlganligi sababli bu sistemadagi vektorlar chiziqli erkli.

Sistemani ortogonal sistemaga aylantirish uchun Shmidt formulasidan foydalanamiz:
1) b₁  a₁ (1, 1, 1) _;

_b₁ , a_{2 }
2 _ 2 1 1 _

2) b₂  a₂ 
^{b1 } ^{0, 1, 1} ^ ₃ ^{1, 1, 1} ^ _ ^{ , ,} _

_b₁ , b_{1 
} 3 3 3 _
;

_b₁ , a_{3 
}b₂ a_{3 }

_ 1 1 _

3)b₃  a₃ 
b₁ 
b₂  _ 0; ; _

_b₁ , b_{1 
}b₂ b_{2 }

_ 2 2 _

.

Berilgan vektorlar sistemasi ustida qurilgan ortogonal sistema vektorlarini butun
_{b   } 2 1 1 _

c  b (1, 1, 1) ^{2 }
, , _

koordinatali vektorlarga aylantirish uchun ^{1 1}
; ^{ 3 3 3 } ni unga

b  ^ 0; ¹ ; ^{1 }

c (2, 1, 1)  3b
3  _{2 2} 

kollinear boʻlgan ^{2 2}
bilan;
^{ } ni esa unga kollinear

boʻlgan

c₃(0, 1, 1)  2b₃

bilan almashtirib va
c₁  b₁ (1, 1, 1)
belgilash kiritib:

c₁ (1, 1, 1) _, c₂ (2, 1, 1) _,
^{c3 (0,  1, 1)} ortogonal vektorlar sistemasini hosil qilamiz.

Nol boʻlmagan ^c vektorning birlik vektori, deb
vektorga aytiladi.

Yuqoridagi misolda topilgan ortogonal
c₁(1, 1, 1) _,
c₂ (2, 1, 1) _,

c₃ (0,  1, 1)

vektorlar sistemasini ortonormal vektorlar sistemasiga keltiramiz.

_1, 1, 1_  ^{ 1} , ¹ , ^{1 }

 

 

_2, 1, 1_  ^ ² , ¹ , ^{1 }

 

 

_0, 1, 1_  ^ 0,  ¹ , ^{1 }

 

 

1. 
   Chiziqli fazoning o`lchovi va izomorfligi.
   

1-ta`rif. R chiziqli fazo n o`lchovli deyiladi, agarda unda n ta chiziqli erkli

element mavjud , ixtiyoriy
R fazoning o`lchovi odatda
n <sup>ta elementi esa chiziqli bog`liq bo`lsa.</sup>
dim R orqali belgilanadi.

2-ta`rif. R chiziqli fazo cheksiz o`lchovli deyiladi, agarda unga ixtiyoriy sondagi chiziqli erkli elementlar mavjud bo`lsa.

1. 
   teorema. Agar R n o`lchovli chiziqli fazo bo`lsa, u holda bu fazoning
   

ixtiyoriy n ta chiziqli erkli elementlari bazis tashkil etadi.

2. 
   teorema. Agar R fazoda n ta elementdan iborat bazis mavjud bo`lsa,u holda R fazoning o`lchovi n ga teng.
   
3. 
   ^{ta`rif. Ikkita haqiqiy R va</sup> R <sup>chiziqli fazolar izomorf deyiladi, agarda bu</sup> fazolar elementlari orasida o`zaro bir qiymatli shunday moslik o`rnatish mumkin <sup>bo`lsaki, agar R fazoning} x ^va y ^{elementlariga} R ^fazoning x ^va y ^elementlari
   

^{mos kelsa, u holda R fazoning} x y ^elementiga R ^fazoning x ^,


elementiga element mos kelsa.
^{Ko`rish qiyin emaski, agar R va</sup> R <sup>chiziqli fazolar izomorf bo`lsa , u holda}

1. 
   ^{R fazoning nol elementiga} R ^{fazoning nol elementi mos keladi;}
   

2. 
   ulardagi maksimal chiziqli erkli elementlar soni bir xil ya`ni ularning o`lchovi teng.
   

3. 
   ^{teorema. Ikkita n o`lchovli R va</sup> R <sup>chiziqli fazolar izomorf bo`ladi.} Faraz qilaylik, R fazoning L qism to`plami quyidagi shartlarni bajarsin:
   

1. 
   Agar x va y elementlar ^L qism to`plamga tegishli bo`lsa , u holda element ham shu qism to`plamga tegishli.
   
2. 
   Agar x element L qism yotsa va biror haqiqiy son bo`lsa, u holda
   

bu qism to`plamga tegishli.
x y
ham

Ko`rish qiyin emaski, 1 va 2 xossalar bajarilgan L qism to`plamni o`zi ham chiziqli fazo bo`ladi.

3. 
   ta`rif. 1 va 2 shartlarni bajaruvchi R fazoning L qism to`plami R fazoning chiziqli qism fazosi deyiladi.
   

Misollar. 1.Faqat nol elementdan tashkil topgan R fazoning qism to`plami.

2. 
   R fazoning o`zi.
   

Bu ikki qism fazo xosmas qism fazolar deyiladi.

2. 
   C[a,b]
   

^dagi {P_n (t)}
darajasi n dan katta bo`lmagan algebraik ko`phadlarning

to`plami , C[a,b] ning qism fazosi bo`ladi.

2. 
   B₃
   

dagi biror tekislikka parallel bo`lgan erkin vektorlarning
B<sub>2</sub> <sup>qism to`plami.</sup>

2. 
   x, y,...,z elementlar ^R fazoning elementlari bo`lsin.
   

x, y,...,z elementlarning chiziqli qobig`i deb, bu elementlarning barcha chiziqli

kombinatsiyalai to`plamiga aytamiz, ya`ni

ko`rinishdagi elementlar to`plamiga aytiladi. Bunda
, ,...,
lar ixtiyoriy sonlar.

x, y,...,z
elementlarning chiziqli qobig`ini
L(x, y,..., z)
orqali belgilaymiz.

Ravshanki,
L(x, y,..., z)
chiziqli qobiq uchun 1 va 2 shartlar bajariladi. Shu sababli

ixtiyoriy chiziqli qobiq R fazoning qism fazosi bo`ladi.

x, y,...,z elementlarning chiziqli qobig`i shu elementlarni o`z ichiga oluvchi eng

kichik qism fazo bo`ladi.

Chiziqli qobiqqa misol bo`lib,
C[a,b]
dagi 1, t,
t ² ,...,t ⁿ
elementlarning chiziqli

qobig`i misol bo`ladi. Bu chiziqli qobiq
{P_n (t)}
darajasi n dan katta bo`lmagan

algebraik ko`phadlarning to`plamidan iborat.
Ravshanki, R fazoning har qanday qism fazosining o`lchovi bu fazo o`lchovidan katta emas.
Agar ^L qism fazo butun n o`lchovli <sup>R</sup> chiziqli fazo bilan ustma-ust tushmasa, u holda L ning o`lchovi n dan kichik bo`ladi.

Ko`rish mumkinki, butun R fazoda
e<sub>1</sub> ,e<sub>2</sub> ,...,e<sub>n</sub>
bazis tanlangan bo`lsa, u holda

ularni L qism fazoning bazisi sifatida olish mumkin emas (ba`zi yotmasligi ham mumkin), lekin teskari tasdiq o`rinli.
e_i ^{lar L da}

Tasdiq. Agar
e₁ ,e₂ ,...,e_k
^elementlar n ^{o`lchovli fazoning</sup> k <sup>o`lchovli qism}

fazosida bazis tashkil etsa, u holda bu bazisni R ni
e_{k 1} ,e_k
2 ,...,e_n
elementlari orqali

shunday to`ldirish mumkinki hosil bo`lgan bazis bo`ladi.
e<sub>1</sub> ,e<sub>2</sub> ,...,e<sub>n</sub>
elementlar to`plami R da

3. 
   teorema.
   

x, y,...,z
elementlarning
L(x, y,..., z)
chiziqli qobig`i o`lchovi

x, y,...,z elementlar sistemasining maksimal chiziqli erkli soniga teng. Xususan

agar elementlar
x, y,...,z
elementlar chiziqli erkli bo`lsa, u holda
L(x, y,..., z)

chiziqli qobiqning o`lchovi
x, y,...,z
elementlar soniga teng.

Qism fazoning yig`indisi va kesishmasi.

L₁ ^va L₂
R fazoning ikkita ixtiyoriy qism fazosi bo`lsin. ^R fazoning bir paytda

L₁ ^va L₂
da yotuvchi x elementlari to`plami R fazoning qism fazosi bo`ladi va u

L₁ va L₂
fazolarning ko`paytmasi deyiladi.

^R fazoning barcha y
z ko`rinishdagi elementlari to`plami, bunda y
L₁ fazoning

^elementi z ^esa
L₂ fazoning elementi ^R fazoning qism fazosi bo`ladi va u
L₁ va

L₂ fazolarning yig`indisi deyiladi.
<sup>Misol. R uch o`lchovli fazodagi barcha erkin vektorlarning chiziqli fazosi,</sup> L₁

Oxy tekislikka parallel bo`lgan barcha erkin vektorlarning qism fazosi, L₂
esa Oxz

tekislikka parallel bo`lgan barcha erkin vektorlarning qism fazosi bo`lsin. U holda

L₁ ^va L₂
fazolarning yig`indisi R fazoning o`zidan, fazolarning kesishmasi esa

Ox o`qiga parallel bo`lgan barcha erkin vektorlar to`plamidan iborat.

3. 
   teorema. Chekli o`lchovli R chiziqli fazoning
   

L₁ ^va L₂
qism fazolarining

o`lchovlarining yig`indisi, ushbu qism fazolar kesishmasi va yig`indisini o`lchovlari yig`indisiga teng.

L₁ ^va L₂

2.