Axborot Texnologiyalari fakulteti
Chiziqli bog`liqlik va chiziqli erklilik
Download 0.5 Mb.
|
Chiziqli fazo ta`rifi
Chiziqli bog`liqlik va chiziqli erklilik.
1 Chiziqli fazo elementlari uchun chiziqli bogʻliqlik va erklilik tushunchalariga misollar koʻramiz. 11-misol. boʻladimi? C[a,b] fazoda x et va x2 3et funksiyalar chiziqli bogʻliq nolga tenglaymiz: x x 0 et 3 et 0 , 3 0 . 1 1 2 2 1 2 Demak, bu funksiyalar chiziqli bogʻliq. Xuddi shunga oʻxshab koʻrsatish mumkinki y 1 1 2 C[a,b] fazoda y sin 2t , y cos2 t , 3 2 funksiyalar ham chiziqli bogʻliq boʻladi. Chunki y y 2 y 0 1 2 1 2 3 ta’rif. Agar chiziqli fazo cheksiz sondagi chiziqli erkli vektorlar sistemasiga ega boʻlsa, u holda bunday chiziqli fazoga cheksiz oʻlchovli chiziqli fazo deyiladi. Yuqorida koʻrilgan 1, t, t2 ,...,tn C[a,b] fazo cheksiz oʻlchovli chiziqli fazo boʻladi, chunki n N funksiyalar barcha lar uchun chiziqli erkli boʻladi. ta’rif. L chiziqli fаzoning V qism toʻplamining oʻzi ham L da aniqlangan elementlarni qoʻshish va elementlarni songa koʻpaytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qilsa, u holda V fazo L fazoning chiziqli qism fazosi deyiladi. 12-misol. Barcha n -tartibli kvadrat matritsalar chiziqli fazosini qaraymiz. Bu fazo uchun barcha n -tartibli diagonal matritsalar fazosi chiziqli qism fazo boʻladimi? Yechish. Ixtiyoriy a11 0 ... 0 b11 0 ... 0 0 a ... 0 0 b ... 0 D 22 D 22 1 ... ,,, ... ... 2 ... ... ... ... 0 0 ... a 0 0 ... b nn nn matritsalarni qaraymiz. Maʻlumki bunda a11 b11 0 ... 0 0 a b ... 0 D D 22 22 1 2 ... ... ... ... 0 0 ... a b nn nn yaʻni ikkita diagonal matritsaning yigʻindisi yana diagonal matritsa boʻladi. Endi diagonal matritsaning songa koʻpaytmasini tekshiramiz: a11 0 ... 0 a11 0 ... 0 D 0 a22 ... 0 0 a22 ... 0 1 ... ,,, ... ... ... ... ... ... 0 0 ... a 0 0 ... a nn nn yaʻni diagonal matritsani songa koʻpaytirsak yana diagonal matritsa hosil boʻladi. Bundan tashqari bizga maʻlumki, n tartibli matritsalar uchun chiziqli fazo uchun oʻrinli boʻlgan yuqoridagi 8 ta aksioma bajariladi. Demak, n -tartibli diagonal matritsalar toʻplami n tartibli matritsalar fazosining chiziqli qism fazosini tashkil koʻpaytma tushunchasini chiziqli fazo uchun umumlashtiramiz. ta’rif. L chiziqli fazoning har bir x va y vektorlar juftligiga biror qoida bilan haqiqiy son x, y 1) x, y y, x ; mos qoʻyilgan boʻlib, bu moslik uchun quyidagi shartlar: 2) x y, z x, z y, z ; 3) x, y x, y . 4) x, x 0 , ixtiyoriy x L bajarilsa, u holda x, y deyiladi. uchun x, x 0 x ; son x va y vektorlarning skalyar koʻpaytmasi ta’rif. Agar chiziqli fazo elementlari orasida skаlyar koʻpаytmа aniqlangan boʻlsa, bu fazo Yevklid fаzosi dеyilаdi va En koʻrinishda belgilanadi. Har qanday n oʻlchovli haqiqiy arifmetik fazoda skаlyar koʻpаytmаni aniqlash orqali uni Yevklid fаzosigа aylantirish mumkin. ta’rif. Yevklid fаzosidаn olingan x vеktor uchun quyidagicha aniqlangan songa x vektorning normаsi (uzunligi) dеb аytilаdi: Vеktorning uzunligi uchun quyidаgi хossаlаr oʻrinlidir: barcha x L elementlar uchun. 2. 3. (x, y) 4. , bundа R ; x y (Koshi-Bunyakovskiy tеngsizligi); (uchburchаk tеngsizligi). ta’rif. Agar x, y En elementlar uchun (x, y) 0 boʻlsa u holda x va y elementlar ortogonal vektorlar deyiladi. ta’rif. Noldan farqli a ,a ,..., a En elementlardan tashkil topgan vektorlar 1 2 n sistemasidagi vektorlarning har qanday ikki jufti oʻzaro ortogonal boʻlsa, u holda bu sistema ortogonal vektorlar sistemasi deb ataladi. a ,a ,...,a En ta’rif. Agar 1 2 n ortogonal vektorlar sistemasi boʻlib ai 1 i 1,2,...,n boʻlsa, u holda a1,a2 ,a3,...,an vektorlar sistemasi ortonormal vektorlar sistemasi deyiladi. e ,e ,e ,...,e En n ta’rif. Agar 1 2 3 n vektorlar sistemasi E fazoning bazisi boʻlib, ortonormal vektorlar sistemasini tashkil qilsa, u holda bu bazisga ortonormal bazis deyiladi. e ,e ,e ,...,e En Ortonormallangan oʻrinli: 1 2 3 n bazis uchun quyidagi munosabat ei ,ek 1, agar i k bo 'lsa 0, agar i k bo 'lsa a ,a ,...,a En teorema. (Pifagor teoremasining umumlashmasi) Agar 1 2 n vektorlar sistemasi juft-jufti bilan ortogonal boʻlsa, u holda quyidagi munosabat oʻrinli a ,a ,...,a En teorema. Agar 1 2 n vektorlar noldan farqli va juft-jufti bilan orthogonal boʻlsa u holda bu vektorlar chiziqli erkli boʻladi. Isbot. Bu vektorlarning chiziqli kombinatsiyasini tuzib uni nolga tenglaymiz 1a1 2 a2 ... n an 0 1(a1,a1) 2(a2 , a1) ... n(an , a1) 0 Teorema shartiga koʻra (a1,a1) 0, (a1, ai ) 0i 2,3,..., n 2 boʻlgani uchun oxirgi tenglikdan 1(a1,a1) 1 a1 0, ga ega boʻlamiz. Bundan 1 0 ekani kelib chiqadi. Xuddi shunga oʻxshab 2 3 ... n 0 ekanligi isbotlanadi. Demak a1, a2 ,...,ak En chiziqli erkli vektorlar sistemasini tashkil qiladi. Teorema isbotlandi. teorema. Har qanday n oʻlchovli haqiqiy Yevklid fazosida ortonormallangan bazis mavjud. ortonormall boʻlmagan bazislaridan biri boʻlsin. Biz bu bazisdan ortonormallangan bazisni quramiz. Buning uchun Shmidt formulalaridan foydalanamiz: e e1, deb olib keyingi qadamda t 1 ei et |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling