Axborotlashgan jamiyat tezlik bilan shakllanib bormoqda. Axborot dunyosida davlat chegaralari degan tushuncha yo‘qolib bormoqda. Jahon kompyuter tarmog‘i davlat boshqaruvini tubdan o‘zgartirmoqda

Amaliyot ishini bajarish uchun quyidagi vazifalar qo’yildi :

1. 
   Gomomorfizm teoremalari.
   
2. 
   Tarmoq fayl tizimi.
   
3. 
   Diffi-Xellman algoritmi.
   
4. 
   SQL Serverda funksiyalar va protseduralar.
   

1.1 Normal qism gruppa
G gruppaning avtomorfizmlari gruppasi Aut(G)da bitta maxsus qism gruppa bor. Uni Inn(G) bilan belgilanadi va ichki avtomorfizmlar gruppasi deb ataladi. Quyidagi akslantirishlar bu gruppaning elementlari bo‘ladi:
I_a: g→aga^-1. Bu yerda I_a^-1= I_a-1, I_e – birlik avtomorfizm, I_a I_b= I_ab , chunki (I_a I_b)(g)= I_a( I_b (g))= I_a(bgb^-1)=abgb^-1a^-1= abg(ba)^-1= I_ab(g).
So‘nggi tenglik G gruppani uning ichki avtomorfizmlar gruppasi Inn(G) ga akslantiruvchi f(a)=I_a, a G formula bilan aniqlangan akslantirish izomorf akslantirishning f(a) f(b) = f(a*b) shartini qanoatlantiradi, biroq bunda biyektivlik sharti bajarilmaydi.
Agar G Abel gruppasi bo‘lsa, u holda barcha a G uchun aga^-1=g o‘rinli va demak, I_a= I_e , ya’ni butun Inn(G) gruppa faqat bitta I_e elementdan iborat.
Agar barcha a, b_G uchun f(a*b) = f(a) f(b) o‘rinli bo‘lsa, unda gruppani > gruppaga akslantiruvchi f:G_G‘ akslantirish gomomorfizm deb ataladi.
Ker f={g G |f(g)=e^’ – G‘ gruppaning birlik elementi} to‘plam f gomomorfizmning yadrosi deb ataladi.
Gruppani o‘z-o‘ziga gomomorf akslantirish endomorfizm deb ataladi.
Gomomorfizmning ta’rifida f akslantirishdan biyektivlik talab qilinmaydi. Lekin shunga qaramay f gomomorfizmning izomorfizmdan asosiy farqi, unda trivial bo‘lmagan Ker f yadroning mavjudligidir.
Agar Ker f={e} bo‘lsa, u holda f:G_ Inn f – izomorfizm bo‘ladi.
 a,b_ Ker f uchun f(a)=e^’, f(b)=e^’  f(a*b)= f(a) f(b) =e^’e^’=e^’ va f(a^-1 )= f(a)^-1 =(e)^-1 =e^’.
Demak, Ker f yadro G gruppaning qism gruppasi ekan.
Faraz qilaylik, N= Ker f G bo‘lsin. U holda hH , gG uchun f(ghg¹)=f(g)f(h)f(g^-1)=f(g)e^’ f(g^-1)= e^’ , ya’ni ghg^-1H bo‘ladi. Bu degani ghg^-1H bunda g ni g^-1 bilan, g^-1 ni g bilan almashtirib, g^-1 hgH ya’ni, H ghg^-1 ekanini aniqlaymiz. Demak,  gG uchun H= ghg^-1 . Bu xossa ega bo‘lgan qism gruppa normal qism gruppa deb ataladi.

1.2. Halqa. Ta’rif va umumiy xossalar

3.18-ta’rif. Biror G-to‘plamda ikkita “+” - qo‘shish va “*” - ko‘paytirish binar amallar (munosabatlar) aniqlangan bo‘lib, quyidagi:

1. 
   G-to‘plam additiv Abel gruppasini tashkil etadi;
   
2. 
   ko‘paytirish amali assosiativ, ya’ni _a, b, c _ G bo‘lgan elementlar uchun ushbu
   

a(bc) = (ab)c munosabat o‘rinli;

3. 
   distributivlik qonuni o‘rinli, ya’ni _a, b, c _ G bo‘lgan elementlar uchun ushbu a (b+c) = ab+ac va (a+b) c = ac+bc munosabatlar o‘rinli shartlari bajarilgan bo‘lsa, bu <G, +, *> - algebraik tuzilma halqa tashkil etadi deyiladi.
   

Bitta (tegishli xossalarga ega bo‘lgan) amal aniqlangan gruppa tashkil
etuvchi to‘plamdan farqli ravishda halqa tashkil etuvchi to‘plamda uning ta’rifida keltirilgan xossalarga ega bo‘lgan ikkita amal aniqlangan.
3.19-ta’rif. Halqa birlik elementli deyiladi, agarda multiplikativ birlik
elementga ega bo‘lsa, ya’ni shunday element 1_G majud bo‘lsaki, uning uchun ushbu a1=1a=a munosabat _a_ G elementda bajariladi.
3.20-ta’rif. Halqa kommutativ deyiladi, agarda ko‘paytirish amali kommutativlik xossasiga ega bo‘lsa.
3.21-ta’rif. Halqa butun yoki butun sohali deyiladi, agarda u e _ 0-birlik elementli kommutativ halqa tashkil etib, a, b_G elementlar uchun
ab=0 munosabatdan a=0 yoki b=0 kelib chiqsa.
3.22-ta’rif. G – ixtiyoriy halqa bo‘lsin. Shunday natural son p_{1,2,3,…} mavjud bo‘lsaki, har bir element g_G uchun pg = 0 bajarilsa, u holda eng kichik shunday p-son G-halqaning xarakteristikasi deyiladi. Agarda shunday natural son mavjud bo‘lmasa, u holda halqa 0 (nol) xarakteristikaga ega deyiladi. Halqaning tartibi shu halqaning additiv gruppasi tartibi bilan aniqlanib, halqaning elementlari soniga teng.
3.23-ta’rif. Biror G-to‘plamda ikkita “+” - qo‘shish va “*” - ko‘paytirish binar amallar (munosabatlar) aniqlangan bo‘lib, quyidagi:

1. 
   G-to‘plam 0 (nol) birlik elementli additiv Abel gruppasini tashkil etadi;
   
2. 
   G-to‘plamning noldan farqli elementlari 1(bir) birlik elementli
   

multiplikativ Abel gruppasini tashkil etadi; ko‘paytirish amali assosiativ, ya’ni _a, b, c _ G bo‘lgan elementlar uchun ushbu
a(bc) = (ab)c
munosabat o‘rinli;

3. 
   qo‘shish va ko‘paytirish amallari distributivlik qonuni bilan bog‘langan;
   
4. 
   qo‘shish va ko‘paytirish amallari uchun teskari amallar mavjud: ayirish va bo‘lish (nolga bo‘lishdan tashqari) shartlari bajarilgan bo‘lsa bu <G, +, *> - algebraik tuzilma maydon tashkil etadi deyiladi.
   

3.24-ta’rif. Agar maydon tashkil etuvchi to‘plam q-chekli sondagi elementlardan iborat bo‘lsa, u holda maydon chekli maydon yoki Galua maydoni deyiladi va GF(q) yoki F_q deb belgilanadi.
1-tasdiq. Chekli maydon mavjud bo‘lishi uchun maydonning elementlari sonini ifodalovchi q-tub son bo‘lishi yoki tub sonning darajasi q=p^m, bu yerda p - tub son, m - natural son ko‘rinishida ifodalanashi zarur va yetarli. Bunda p - tub son GF(q) - chekli maydonning xarakteristikasi, m soni GF(q) maydonning GF(p) qism maydonga nisbatan darajasi deyiladi hamda m=1 bo‘lsa, oddiy, aks holda kengaytirilgan maydon deyiladi. Agar p - tub son bo‘lmasa, u holda <G, +, *> - algebraik tuzilmada aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallari biror n-asosli modul (mod n) bo‘yicha aniqlangan bo‘lsa, hatto noldan farqli elementga bo‘lish har doim ham mumkin bo‘lavermaydi va bu tuzilma maydon tashkil etmay halqa tashkil etadi.
Har qanday maydonning barcha elementlari to‘plami qo‘shish amaliga ko‘ra additiv Abel gruppasini va noldan farqli barcha elementlari to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan multiplikativ siklik gruppa tashkil etadi.
Mumkin bo‘lgan har bir q – tartib uchun faqat bitta maydon mavjud, ya’ni barcha q – tartibli chekli maydonlar izomorfdir. Misol uchun, agarda q=p – tub son bo‘lsa, u holda maydonning elementlari 0, 1, ..., (p-1) – sonlar bo‘lib, qo‘shish va ko‘paytirish amallari mod p qo‘shish va ko‘paytirish amallaridan iborat, ya’ni GF(p)=Z/p. Shunday qilib, tub sonli modul bo‘yicha chegirmalar halqasi oddiy maydon tashkil etadi.
2-tasdiq. Ixtiyoriy GF(q) - chekli maydonning noldan farqli elementlari multiplikativ siklik gruppa tashkil etadi.
3.20-ta’rif. Siklik gruppaning - yasovchisi (tuzuvchisi, generatori) chekli
maydonning primitiv elementi deyiladi hamda bu maydonning barcha elementlarini quyidagicha ifodalash mumkin:
GF(q)={0, _, ² , …, ^q2 , ^q1 , ⁰ =1}.