Bankdan kredit olgan mijozlarning qarzini muddatida qaytarish nisbiy chastotasi

Jadval kurinishi.

Ehtimoliylik	Qiymat
1/7	0.142857
1/6	0.1666666…
1/5	0.2
1/4	0.25
1/3	0.333333…
1/2	0.5
1	1

Ushbu jadval tanganing "raqam" tomoniga tushish ehtimoliylik qiymatlarini o'z ichiga oladi. Jadvalning ilk ustunidagi "Ehtimoliylik" yozuvlari tanganing "raqam" tomoniga tushishning ehtimoliylik qiymatlarini ifodalaydi, ikkinchi ustunidagi "Qiymat" yozuvlari esa tanganing "raqam" tomoniga tushishning ehtimoliylik qiymatlarining qarashli sonlarini ko'rsatadi.




5). Diskrеt tasodifiy miqdorning matеmatik kutilmasi uning mumkin bo’lgan eng kichik va eng katta qiymatlari orasida yotishini isbot qiling?
Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi - bu, bir o'zgaruvchining yalniz diskret qiymatlarni olish mumkin bo'lgan tasodifiy miqdorlari, ya'ni butun sonlarni olishi mumkin bo'lgan miqdorlarini ifodalaydi.
Biz, tasodifiy miqdorni yotishning mumkin bo'lgan eng kichik va eng katta qiymatlari orasida yotishini isbotlash uchun, Pigeonhole tamoyillaridan foydalanishimiz mumkin.
Agar bir tasodifiy miqdor n o'zgaruvchisining qiymatlari o'zaro farq qilmasa, ya'ni qiymatlar orasidagi har bir farq bir-biriga teng bo'lsa, unda tasodifiy miqdorlar soni n dan katta bo'lishi kerak. Bu tartibdagi tasodifiy miqdorlarning har bir qiymati tasodifiy bir raqamga mos keladi, shuningdek, har bir raqam birorta tasodifiy miqdorga mos keladi.
Bundan tashqari, agar tasodifiy miqdor qiymatlari o'zaro farq qiladi, unda, tasodifiy miqdorlarning eng kichik qiymati tasodifiy miqdorni aniqlash uchun ishlatilgan eng kichik raqam bo'ladi, va eng katta qiymati esa tasodifiy miqdorni aniqlash uchun ishlatilgan eng katta raqam bo'ladi.
Shunday qilib, tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi mumkin bo'lgan eng kichik va eng katta qiymatlari orasida yotishini isbotlaymiz.
Isboti. Ko'rsatilayotgan misolda tasodifiy miqdorni yotishning mumkin bo'lgan eng kichik va eng katta qiymatlari orasida yotishni Pigeonhole tamoyillaridan foydalanarak isbotlashni ko'rsatishimiz mumkin.
Misol: N ta elementdan iborat tasodifiy miqdor (N element tasodifiy tanlangan miqdor) mavjud bo'lsin. Tasodifiy miqdor qiymatlari N elementlaridan farqli bo'lsin.
Yechimi:
Agar tasodifiy miqdor qiymatlari bir-biridan farq qilishni o'z ichiga olmasa, ya'ni hech qanday tasodifiy miqdor bir-biridan farq qilmaydi, unda tasodifiy miqdorlar soni N dan katta bo'lishi kerak. Bu tartibdagi tasodifiy miqdorlarning har bir qiymati tasodifiy bir raqamga mos keladi, shuningdek, har bir raqam birorta tasodifiy miqdorga mos keladi. Bu holatda yotish mumkin bo'ladi.
Agar tasodifiy miqdor qiymatlari bir-biridan farq qilsa, unda tasodifiy miqdorlarning eng kichik qiymati tasodifiy miqdorni aniqlash uchun ishlatilgan eng kichik raqam bo'ladi, va eng katta qiymati esa tasodifiy miqdorni aniqlash uchun ishlatilgan eng katta raqam bo'ladi. Tasodifiy miqdor qiymatlari N ta bo'lsa, unda tasodifiy miqdorlarning eng kichik qiymati 1 dan katta, va eng katta qiymati N dan kichik bo'ladi. Shuningdek, tasodifiy miqdorni aniqlash uchun ishlatilgan eng kichik va eng katta raqamlar ham 1 dan katta va N dan kichik bo'ladi.
Bundan tashqari, tasodifiy miqdorlar soni N dan kichik bo'lishi mumkin emas, shuningdek tasodifiy miqdor qiymatlari ham bir-biridan farq qila oladi. Bunday holatda, yotish mumkin emas.
Shunday qilib, tasodifiy miqdorni yotishning mumkin bo'lgan eng kichik va eng katta qiymatlari orasida yotishni Pigeonhole tamoyillaridan foydalanarak isbotladik.