Barisentr tushunchasining mexanik geometrik,ma’nosi

2-misol.
uchburchakning asosidagi nuqta uning uchidan hisoblaganda 3:1 , va yon tomonlarini esa va nuqtalar va uchidan boshlab hisoblaganda 1:6 nisbatda bo’ladi. va kesmalar kesishish nuqtasida qanday nisbatda bo’linadi.
Yechish.
va nuqtalarga shunday massalar yuklaymizki uchga bir birlik, uchga uch birlik massa to’g’ri kelsin. uchga esa x massani richag qoidasiga ko’ra mos qo’yamiz

bunda nuqta va nuqtalar uchun og’irlik markazi va sistema 1 va moddiy nuqtalar uchun yuqoridagi va tengliklar bajarilishi kerak. va nuqtaga ham ni og’irlik markazi qilib va massalarni qo’ysak bundan
Endi nuqtadan ikkita 5 va har xil massalarni qo’yib to’rtta sistemani qaraymiz.Ularning og’irlik markazi
va moddiy nuqtalar uchun ,
va moddiy nuqtalar uchun nuqtalar og’irlik markaziligidan
va moddiy nuqta deb olsak bu ikkilik uchun barisentr bo’ladi.
Demak , yani Z kesmada yotadi.


1.2-§. Geometrik masalalarni barisentr usulida yechishning qisqartirilgan shakli.
Fazodagi ixtiyoriy O nuqta uchun n-ta moddiy nuqtalarning barisentrini topishda qisqalik uchun vektor belgisini yozmaymiz.
,
Almashtirishlar o’tkazgan holda
tenglik hosil bo’ladi.
Bu ikkita tenglikda ham nuqta sistemaning barisentri bo’ladi.
Masalan bu ko’rinishdagi

tenglikda nuqta va moddiy nuqtalarning barisentri ekanligini ko’rish mumkin.
moddiy nuqtalar uchun ham
tenglikni barisentrini xuddi shunga o’xshatib yozish mumkin .
Qisqartirilgan shaklga keltirish uchun og’irlik markazini quyidagicha guruhlaymiz
=P , P
va nuqtalar uchun barisentri.Agar va moddiy nuqtalarning barisentrini og’irlik markaziga ko’chirsak nuqta va moddiy nuqtalar uchun ham og’irlik markazi bo’ladi.Shunga ko’ra .
3-misol. uchburchakning va tomonlarda va nuqtalar olingan va ular quyidagi nisbatda bo’linadi
va , va kesmalar Q nuqtada kesishadi (a-rasm).
a-rasm
uchburchakning yuzi 1 bo’lsa uchburchak ni yuzini toping?
Yechish. Misolda ekanligi ma’lum shuning uchun ni hisoblaymiz.
Shuning uchun uchlarga shunday massalar joylashtirilganki nuqta va nuqtalarni barisentri, esa va moddiy nuqtalarning.
Richag qoidasi va masala shartiga ko’ra
uchiga 1 birlik, uchiga 6 birlik, uchiga 3 birlik massalar joylashtirilgan. olingan uchta nuqtani og’irlik markazi bo’lganligidan

.
Demak nuqta va kesmalarning kesishish nuqtasi bundan ko’rinadi
Oxirgi tenglikdan ma’lumki nuqta 1A va 9 nuqtalarning ham barisentri richag qoidasiga ko’ra ,
Demak, bundan ekanligi kelib chiqadi.
Endi bu misolga boshqacha yondoshib elementar usul bilan yechishga urinamiz.
Bu yerda va lar uchun balandliklar umumiy shuning uchun


va bundan yuzalar nisbatini topsak = va
va

= .
bo’lsa
bo’ladi, chunki . Ikkinchi tomondan esa , va ekanligidan bunda
bu yuzalar nisbatlarini olsak
bo’ladi.
, +
, + bundan yuzalar nisbatini topsak
va

4-misol.
Agar tenglik bajarilsa,fazoda olingan ixtiyoriy nuqta uchun quyidagi tenglik o’rinli bo’lishini ko’rsating:

tenglikdan ma’lumki nuqta moddiy nuqtalarning barisentri va tengliklar bajariladi.
ko’rinishda maydalasak moddiy nuqtalar uchun ham nuqta barisentr bo’ladi va ixtiyoriy nuqta uchun
tenglik bajariladi tenglikka kelamiz.
Elementar usulda tatbiq qilsak vektorlarni yig’indisidan foydalanamiz
, , bularni
ga qo’ysak dan biz izlagan tenglikka olib kelish mumkin.