Begimov umidning geometriya fanidan " geometriyada modellar yasashga oid masalalar"

Geometriyada modellar yasashga oid masalalar

Geometriyani o’qitishda yasashga oid masalalar mustahkam o’rin egallaydi.
Haqiqatdan ham yasashlarda geometrik almashtirishlar alohida ahamiyatga ega.
Yasashga doir geometrik masalalar o’quvchilarda fazoviy fazoviy va mantiqiy
fikrlashni kengaytiradi, matematik intuitsiyani o’stiradi. Ushbu maqolaning
maqsadi o’quvchilarda geometrik yasashlarga bo’lgan qiziqishni ongli ravishda
o’stirish, olingan bilimlarni amalda qo’llash, shu bilan birga bo’lg’usi matematika
o’qituvchilariga mavzuni chuqur o’zlashtirisha erishishdir. Asosiy tamoyillar:
butunlik, deduksiya va induksiya, analiz va sintez, fanlar aro aloqa va fan ichidagi
uzviylik modellashtirish, oddiydan murakkabga tomon rivojlanish. Bu
tamoyillarning har birini bilish talab etiladi. Fikrlarni o’rganish, nazariy bilimlarni
o’stirish, amaliy ko’nikmalarni shakllantirish, yuqorida aytilgan barcha
tamoyillarni o’rganishni ta’lab etadi. O’quvchilarni matematik tayyorgarligini
o’stirishda geometrik yasashlar muhim o’rin tutadi.
Yasashga doir masalalar ushbu asosiy metodlar yordamida bajariladi.
1. Parallel ko’chirish metodi. Ko’p hollarda geometrik yasash, figuralar
bir biridan uzoq bo’lgani uchun qiyinlashadi. Bu xollarda izlanayotgan figuraning
bir qismi parallel ko’chiriladi.
2. Geometrik o’rinlar metodi. Nuqtalarning geometrik o’rni deb, faqat
shu nuqtalarga tegishli xossaga ega bo’lgan nuqtalar to’plamiga aytiladi.
3. O’xshashlik metodi. Bu yerda talab etilgan figura emas balki unga
o’xshash figurani yasash qulay bo’ladi. Bu metodga misol tariqasida: va
uning ichida yotuvchi nuqta berilgan tomondan shunday nuqtani
topingki, u tomon va nuqtadan bir xil masofada yotsin.
4. Simmetriya va to’g’rilash metodi.
5. Parallel ko’chirish metodi
6. Nuqta atrofida aylantirish metodi.
Yasashga oid geometryada geometrik o`rinlar metodi faqatgina shakllarni
chizg`ich va sirkulda chizishni o`rganish emas, balki o`quvchilarning fazoviy
tasavvurini oshirishda asosiy ko`makchi bo`ladi.
To`plamlar kesishmasi amalidan foydalangan holda yasashga doir
masalalarni yechishda bir-biriga bog`liq bo`lmagan ikki xil shartni
qanoatlantiruvchi nuqtalarni yasash talab etilgan bo`lsin. Bunday holda berilgan
shartlardan bittasini, masalan, 2-shartni tashlab, faqat birinchi shartni
qanoatlantiruvchi nuqtalardan iborat F1 geometrik figurani yasaymiz. Keyin esa
birinchi shartni tashlab, faqat ikkinchi shartni qanoatlantiruvchi nuqtalardan tashkil
topgan F2 figurani yasaymiz va biz izlayotgan nuqtalarning geometrik o`rni ikkala
shartni ham qanoatlantirayotgani uchun F1  F2 geometrik shaklni yasaymiz.
Demak, F1 va F2 to`plamlarni kesishmasiga ya’ni F1  F2 ga tegishli bo`lgan
har qanday nuqta (agar bu kesishma bo`sh bo`lmasa) masalani bitta yechimi
deyiladi va bu nuqtalar to`plami masalada so`raglan shakl hisoblanadi.
Bu usul yordamida masala yechish uchun quyidagi asosiy nuqtalarning
geometrik o`rnini yasay olish zarur.
2-masala: Berilgan A nuqtadan a masofada, berilgan B nuqtadan b masofada
yotgan nuqtalarning geometrik o`rnini toping.
Berilgan A nuqtadan a masofada yotuvchi nuqtalarning geometrik o`rni
markazi A nuqtada, radiusi a ga teng bo`lgan aylanadir( F1 figura).
Berilgan B nuqtadan b masofada yotuvchi nuqtalarning geometrik o`rni
markazi B nuqtada, radiusi b ga teng bo`lgan aylanadir( F2 figura). Mo’ljallab shunday bir nuqtani inversiya markazi deb qabul qilinadiki, bu nuqtani markaz qilib chizilgan aylanaga nisbatan berilgan va so’ralganlarni inversion almashtirganda masala yechishning osonroq yo’li topilsin, ya’ni masalada berilgan va so’ralganlar orasidagi munosabatga qaraganda ularga inversion mos figuralar orasidagi munosabat soddaroq bo’lsin.
Bu shartni qanoatlantiradigan inversiya aylanasi chizib, masalada berilgan va so’ralganlar bu aylanaga nisbatan inversion almashtiriladi.
3. Chizilgan inversion figuralar orasidagi munosabatni o’rganib, so’ralgan figuraga mos figurani yasash mumkinligi aniqlanadi, ya’ni berilgan masalaga nisbatan osonroq bo’lgan yordamchi masalani yechish yo’li belgilanadi. Shu bilan yechishning analiz bosqichi tugaydi. Yasashga doir masalalarni boshqa yasash asboblari vositasida yechish.
Shu vaqtgacha yechilgan yasashga doir masalalarda keltirilgan ifodalarda berilgan kesmalarning ratsional funksiyalari, yo faqat ularning kvadrat ildizlarini o’z ichiga olgan ifodalar ekanligini ko’rdik. Bu hol tasodifiy emas. Masalaning sirkul va chizg’ich vositasida yechilish belgisi (alomati) quyida berilmoqda:
Teorema. Ma’lum a,b,c,…kesmalar orqali ifodalangan x f (a, b, c,...) kesmani sirkul va chizg’ich yordamida yasash mumkin bo’lishi uchun bu ifoda berilgan kesmalardan iborat argumentlarga nisbatan ratsional va birinchi darajali bir jinsli funksiya bo’lishi yoki ratsional amallar (qo’shish, ayirish, ko’paytirish va bo’lish amallari) bilan birga faqat kvadrat ildizlarni o’z ichiga olgan funksiya bo’lishi zarur va yetarlidir.
Teoremaning zururiy shartini isboti o’zidan-o’zi ko’rinib turibdi. Chunki, algebraik metod bilan yechiladigan barcha masalalar maktabda ko’rilgan
1-7 masalalarga keltirib yechiladi.
Yechimga ega bo’lmagan yasashga doir masalalarga ko’plab misollar keltirish mumkin. Masalan, kvadrat bo’lmagan to’g’ri to’rtburchakka ichki aylana chizish, aylana ichida yotgan nuqtadan shu aylanaga urinma o’tkazish mumkin emas va h.k.
Berilgan elementlari soni talabdan ko’p bo’lgan yasashga doir masalalarni yechimga ega bo’lgan masalalari kiradi. Masalan, birilgan ikki burchagi bo’yicha uchburchak yasash yoki berilgan 4 ta nuqtadan aylana o’tkazish va sh.k.
Amaliyotda yechimi mavjud, lekin tanlab olingan yoki berilgan yasash asboblari bilan yechib bo’lmaydigan masalalar kata ahamiyatga ega. Bu holda berilgan masalani berilgan yasash vositalari bilan yechish mumkin emasligi ko’rsatib bilishimiz lozim bo’ladi. Bu– qiyin masalalar qatoriga kiradi. Qadimdan juda ko’p olimlar sirkul va chizg’ich yordamida yechib bo’lmaydigan masalalar bilan shug’ullanishganliklari bizga ma’lum.
Algebradan ma’lumki bu tenglik keltirilmaydi. Ya’ni 600 ni sirkul va chizg’ich yordamida teng 3 ga bo’lib bo’lmaydi. R.Otajonov kitobida, ushbu masalani sirkul va ikkita nuqtasi belgilangan chizg’ich yordamida yechish mumkinligi ko’rsatilgan.