Belgisiz parametrlerdi esaplaw

i	Xi	i
Xi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	10.9 10.7 11.0 10.5 10.6 10.4 11.3 10.8 11.2 10.9	11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	10.8 10.3 10.5 10.8 10.9 10.6 11.3 10.8 10.9 10.7

X t. m. dıń matematikalıq kutilmasi θ ushın β = 0. 86 isenimlilik múmkinshiligına uyqas keliwshi isenimlilk aralıǵın dúziń.

Tańlanma orta baha hám dispersiyani tabamız.
; ;.
(15) formula boyınsha isenimlilik aralıǵın dúzemiz:
hám ;, ol halda isenimlilk aralıǵı ℮β= (10. 70; 10. 86 ) eken.
Normal bólistiriw matematikalıq kutilmasi ushın isenimlilik aralıǵı. Styudent bólistiriwi
Aldınǵı paragraflarda biz bólistiriwi funksiyası qálegen bolǵan t. m. matematikalıq kutilmasi ushın ámeliy isenimlilik aralıǵı tuzdik. Egerde tańlanma orta ma`nisiniń bólistiriwi málim bolsa, anıq isenimlilik aralıǵın dúziw múmkin.
Shama menen oylayıq, X1, …, Xn lar matematikalıq kutilmasi θ hám dispersiyasi σ2 bolǵan normal nızam boyınsha bólistirilgen X t. m. dıń tájiriybeler nátiyjesinde alınǵan kólemi n - ga teń bolǵan tańlanmasi bolsın.
Tómendegi statistikanı kiritemiz:
(16 )
Bul jerde,,. Teorema. Egerde X1, X2, …, Xn - baylanıslısız hám (θ, σ 2) parametrli normal nızam boyınsha bólistiril statistikalıq tańlanma bolsa, ol halda t - statistika erkinlik dárejesi n-1 ge teń bolǵan Styudent bólistiriwine iye boladı.
Styudent bólistiriwiniń tıǵızlıq funksiyası quydagi kóriniste boladı :
- gamma funksiya joqarıdaǵı formuladan kórinip turıptı, olda, Styudent bólistiriwi hám statistikalarǵa baylanıslı bolmay, tek gúzetilbeler kólemi n ga baylanıslı.
Endi Styudent bólistiriwiniń isenimlilik aralıǵı qurıwǵa nátiyjeni ámelde qollanıwın kóreylik.
Normal nızam boyıch bólistirilgen X t. m. dıń tájiriybeler nátiyjesinde bahaları tabılǵan bolsın. Bular tiykarında hám statistikalardı esaplaymiz. T. m. belgisiz matematikalıq kutilmasi θ - ushın isenimlilik múmkinshiligı β (0<β<1) bolǵan ℮β isenimlilik aralıǵın qurıw máselesin qaraylıq.
Tómendegi itimaldı kóreylik:. Bul teńliktiń shep tárepinde t. m. den t - statistikaǵa ótemiz. Onıń ushın teńsizliktiń eki tárepin ga kópaytiramiz. Ol halda,
teńlik payda boladı. (3. 8) formuladan paydalansak,
munasábetke kelamiz.
Styudent bólistiriwi tıǵızlıq funksiyasınıń juftligidan paydalanıp tómendegin payda etemiz:
(17)
Endi (17) teńlikten tβ ni tabıwıniz múmkin. Styudent bólistiriwi bahaları kesteden paydalanıp, isenimlilik múmkinshiligı β hám erkinlik dárejesi n-1 ge uyqas tβ ni anıqlaymız:
Bul bolsa ℮β isenimlilik aralıǵı uzınlıǵınıń yarımına teń
Sonday eken,
℮β=.
5 - mısal. (θ, σ 2) parametrli normal nızam boyınsha bólistirilgen X t. m. dıń 10 baylanıslısız tájiriybeler nátiyjesinde tómendegi bahaları tapildi:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Xi 2. 5 2 -2. 3 1. 9 -2. 1 2. 4 2. 3 -2. 5 1. 5 -1. 7
matematikalıq kutilma θ ushın isenimlilik múmkinshiligı β = 0. 95 bolǵan ℮β - isenimlilik aralıǵın tabıń.
Tańlanmaning orta ma`nisi hám dispersiyasini tabamız :,. Kesteden erkinlik dárejesi n-1=9 hám itimallıq β = 0. 95 boyınsha Styudent bólistiriwiniń (1-tβ) - kvantilini tabamız tβ=2. 26. Sonday eken,
hám ızlenip atırǵan isenimlilik aralıǵı ℮β= = (-1. 18; 1. 98) kóriniste bo'lar eken.
2. 2. Belgisiz parametrlerdi statistikalıq bahalar hám olardıń ózgeshelikleri
Shama menen oylayıq, bólistiriw funksiyası belgisiz parametr ga baylanıslı bolǵan jıynaq X berilgen bolsın. Basqasha etip aytqanda, kuzatilayotgan jıynaq X dıń bólistiriw funksiyası f () bir parametrli parametrik bólistiriw funksiyalar shańaraǵına tiyisli bolsın. Endi tájiriybe nátiyjesinde alınǵan maǵlıwmatlar járdeminde belgisiz parametr ni “qayta tiklew”, yaǵnıy málim mániste oǵan jaqın bolǵan hám tájiriybeler tiykarında tolıq tiklenetuǵın qandayda -bir muǵdardı dúziw máselesin kóreylik. Θ arqalı dıń bahaları kompleksin belgileymiz.
Shama menen oylayıq, X jıynaqtıń kólemi n ga teń bolǵan tańlanmasi bolsın.
gúzetilbelerdiń qálegen funksiyası statistika dep ataladı.
Tariypdan kelip shıǵadıki, statistika tek gúzetilbelerge baylanıslı bolǵan tosınarlı muǵdar bolıp, ol tájiriybe nátiyjesinde tolıq anıqlanadı.
Eger bolsa, ol halda statistika noma'lun parametr ushın baha dep ataladı.
Tariypdan kelip shıǵadıki, bir parametr ushın bir neshe statistikalıq baha usınıs etiliwi múmkin. Sol sebepli, statistikalıq bahalardan málim mániste “jaqsı” ózgesheliklerge ıyelewleri talap etiledi. Ádetde hár qanday statistikalıq bahalardıń tómendegi ózgesheliklerge ıyelewligi maqsetke muwapıq bolıp tabıladı.
Jıljımaǵan baha
Egerde statistikalıq bahoning matematikalıq kutilmasi belgisiz parametrge teń, yaǵnıy
(18)
bolsa, statistikalıq baha jıljımaǵan baha dep ataladı.
Eger statistikalıq baha ushın bolsa, ol jıljıǵan baha dep ataladı hám -jılısıw úlkenligi boladı.
Belgisiz parametr X jıynaqtıń matematikalıq kutilmasi hám lar oǵan uyqas gúzetilbeler bolsın. Tómendegi statistikanı kiritemiz. (19 )
Bul jerde -lar teńlikti qánaatlantıratuǵın ózgermeytuǵın sanlar. hám sonday eken, matematikalıq kutilmani esaplaw qaǵıydasınan
(20 )
iye bólemiz. Bul teńlikten (18) statistikanıń belgisiz parametr ushın jıljımaǵan baha ekenligi kelip shıǵadı. Atap aytqanda, bolsa (18) den statistikaǵa, egerde bolsa statistikaǵa iye bolamız. (3) munasábet teńlik atqarılatuǵın qálegen lar ushın tuwrı bolǵanlıǵınan hám statistikalar da belgisiz parametr ushın jıljımaǵan baha ekenligi kelip shıǵadı. Sonday eken, bir parametr ushın bir neshe jıljımaǵan baha dúziw múmkin eken. Bul juwmaqtan, tábiyiy, jıljımaǵan bahalardı salıstırıwlaw zárúriyatı kelip shıǵadı.
Optimal baha
Belgisiz parametr ushın jıljımaǵan bahalar kompleksin Ol menen belgileylik. Bilgenimizdey, tosınarlı muǵdar (jıynaq ) dispersiyasi sol t. m. dıń bahaları onıń matematikalıq kutilmasi átirapında qanshellilik tıǵız yamasa tarqaq jaylasqanlıǵınıń kriteryası boladı. Sol sebepli, tábiyiy, jıljımaǵan bahalardı olardıń dispersiyasiga kóre salıstırıwlaymız.
Shama menen oylayıq, () hám () lar belgisiz parametr ushın jıljımaǵan bahalar bolsın, () hám (). Egerde sol statistikalar ushın
() < ()
munasábet atqarılsa, () baha () bahodan anıqlaw baha dep ataladı.
Sonday eken, bir parametr ushın bir neshe jıljımaǵan bahalar ámeldegi bolsa, onıń statistikalıq bahası retinde anıqlaw bahoni qabıllaw maqsetke muwapıq boladı. Joqarıda biz belgisiz matematikalıq kutilma ushın eki jıljımaǵan hám -lardan ibarat bolǵan bahalardı kórdik. Endi olardı salıstırıwlaylik. Dispersiyani esaplaw qaǵıydasına tiykarlanıp :
(21)
hám boladı.joqarıda keltirilgen salıstırıwlaw qaǵıydasına muwapıq, kórinip turıptı, olda baha bahoga salıstırǵanda anıqlaw boladı.
Eger () bolsa,- statistikalıq baha optimal baha dep ataladı.
Kórsetiw múmkin statistika belgisiz matematikalıq kutilma ushın barlıq jıljımaǵan sızıqlı bahalar ishinde eń anıq (optimal ) batır.

Tıyanaqlı baha

Egerde n sheksizlikke intilganda () statistika itimal boyınsha belgisiz parametr ga jaqınlashsa, yaǵnıy qálegen kishi >0 san ushın
{ < }=1
munasábet orınlı bolsa, ol halda () statistikalıq baha tıyanaqlı baha dep ataladı.
Sonday eken, tıyanaqlı baha () tájiriybeler sanı artıp barǵanında belgisiz parametrge itimal boyınsha jaqınlashar eken. Ádetde hár qanday statistikalıq bahodan tıyanaqlı bolıw talap etiledi. Matematikalıq ststistikada tıyanaqlı bolmaǵan bahalar úyrenilmaydi.
1- mısal. Tańlanma orta baha belgisiz matematikalıq qurılma ga tıyanaqlı baha ekenligin kórsetiń.
Chebishev teńsizligine hám (20 ) munasábetke qálegen kishi >0 san ushın
{ }.
Aqırǵı teńsizlikte dispersiya chekli bolsa, de limitga ótsek, haqıyqattan da statistikanıń tıyanaqlı baholigi kelip shıǵadı.
Ulıwma, qálegen jıljımaǵan baha () dıń belgisiz parametrge tıyanaqlı baha bolıwlıq shártini keltiremiz.
Teorema. Eger () statistika parametr ushın jıljımaǵan baha bolıp, onıń dispersiyasi bolsa, ol halda ol tıyanaqlı baha boladı.
Tastıyıq. () statistika jıljımaǵan baha bolǵanı ushın (). Ol halda qálegen >0 ushın Chebishev teńsizliginen tómendegi teńsizlikti jaza alamız :
{ < }. (22)
Biraq, shártga kóre, qálegen tayınlanǵan >0 ushın de
Sonday eken, (5) teńsizlikten () statistikanıń tıyanaqlı baha ekenligi kelip shıǵadı.
Noqatlıq bahalaw usılları
Biz joqarıda statistikalıq bahalar hám olardıń ózgeshelikleri menen tanıstık. Statistikalıq bahalar qanday tabıladı? Mine sol sorawǵa juwap beremiz. Statistikalıq bahalar dúziwdiń eki usılın kórip shıǵamız.
Momentler usılı
Shama menen oylayıq, gúzetilbeleri lardan ibarat hám bólistiriw funksiyası belgisiz parametr ga baylanıslı bolǵan t. m. bolsın. Birinshi bapta tańlanma momentler túsiniklerin kirgizdik hám olardıń ayırım ózgeshelikleri menen tanıstık. Atap aytqanda, KSQ ga tiykarlanıp tańlanma momentler tájiriybeler sanı úlken bolǵanında teoriyalıq momentlerge qálegenshe jaqın bolıwlıǵın bildik. Momentler usılı tiykarında mine sol jaqınlıq ideyası jatadı.
Shama menen oylayıq tosınarlı muǵdardıń birinshi ta momentleri ámeldegi bolsın. Tuwrısıda, olar belgisiz parametrdiń funksiyaları boladılar., tańlanma momentlerin uyqas túrde, larda teńlestirip r ta teńlemeler sistemasın tuzib alamız :

(23)
Mine sol teńlemeler sistemasın larga salıstırǵanda sheship, sheshimlerge iye bolamız. Sonday tabılǵan, statistikalar momentler usılı menen belgisiz, paramertlar ushın dúzilgen statistikalıq bahalar boladı.

2-mısal. Matematikalıq kutilmasi hám dispersiyasi no'malum bolǵan, tıǵızlıq funksiyası bolǵan normal nızamdı qaraylıq. Belgisiz hám parametrlerdi momentler usılında bahalaylik. Bul halda (22) teńlemeler tómendegi kóriniste boladı
hám
Nátiyjede momentler usılı menen dúzilgen statistikalıq bahalar
kóriniste boladı.
Momentler usılı menen tabılǵan statistikalıq bahalar ayırım jaǵdaylarda jıljımaǵan, tıyanaqlı hám eń anıq bahalar boladı.
Haqıyqatqa maksimal uqsawlıq usılı
Gúzetilbeleri lardan hám ulıwmalasqan tıǵızlıq funksiyası den ibarat t. m. ni alaylıq. Eger diskret t. m. bolsa, itimallıqlardan, úzliksiz t. m. bolǵan halda bolsa tıǵızlıq funksiyadan ibarat boladı. Tómendegi funksiyaǵa haqıyqatqa maksimal uqsawlıq funksiyası dep ataladı. Shama menen oylayıq, funksiya jabıq tarawda qandayda bir noqatda eń úlken mániske eriwsin:. Haqıyqatqa maksimal uqsawlıq funksiyası eń úlken mániske erisetuǵın baha belgisiz parametr ushın haqıyqatqa maksimal uqsawlıq usılı menen dúzilgen statistikalıq bahalar dep ataladı. Olardı tómendegi teńlemeler sistemasınan da tabıw múmkin:
(24)
(24) teńlemeler sisteması haqıyqatqa maksimal uqsawlıq teńlemeleri dep ataladı.
Kóbinese (24) teńlemeler sisteması ornına tómendegi teńlemer sistemasın sheshiw qolay boladı :
(25)
3-mısal. Matematikalıq kutilmasi hám dispersiyasi belgisiz bolǵan, tıǵızlıq funksiyası bolǵan normal nızamdı alaylıq. Haqıyqatqa maksimal uqsawlıq funksiyasın dúzemiz:
Bunnan
Aldın (6 ) sistemanıń birinshi teńlemesin qaraylıq :. Ápiwayılashtirgandan keyin teńlemege kelamiz.
Endi (6 ) sistemanıń ekinshi teńlemesin dúzemiz:. Ápiwayılashtirgandan keyin teńlemege kelamiz.
Nátiyjede hám lar ushın

Kórinistegi statistikalıq bahalardı tabamız.

Sonday eken, normal nızam ushın momentler hám haqıyqatqa maksimal uqsawlıq usılları menen dúzilgen statistikalıq bahalar áyne birdey eken.
Isenimlilik aralıǵı
Aldında biz belgisiz parametrlerdiń noqatlıq statistikalıq bahaları menen tanıstık. Dúzilgen noqatlıq bahalar tańlanmaning anıq funksiyaları bolǵan jıynaq bolıp, olar belgisiz parametrlerdiń túp ma`nisine jaqın bolǵan noqattı anıqlap beredi tek. Kóp máselelerde belgisiz parametrlerdi statistikalıq bahalaw menen birgelikte bul bahoning anıqlıǵın, isenimliligin tabıw talap etiledi. Matematikalıq statistikada statistikalıq bahalardıń anıqlıǵın tabıw isenimlilik aralıǵı hám oǵan uyqas isenimlilik itimallıǵı arqalı sheshiledi.
Shama menen oylayıq, tańlanma járdeminde belgisiz θ parametr ushın jıljımaǵan T () baha dúzilgen bolsın. Tuwrısıda │T () - θ│ ańlatpa belgisiz θ parametr bahosining anıqlıq dárejesin belgileydi. T () statistikalıq bahoning belgisiz θ parametrge qanshellilik jaqınlıǵın anıqlaw máselesi qóyılsin. Aldınan qandayda -bir β (0<β<1)- sannı 1 ge jetkiliklishe jaqın tańlap qoyaylik. Endi tómendegi
Ρ{│ T () - θ │<δ}=β
munasábet orınlı bolatuǵın δ>0 sanın tabıw kerek bolsın. Bul munasábetti basqa kóriniste jazamız

P{T ()-δ<θ< T () +δ}=β (26 )

(9 ) teńlik belgisiz θ parametrdiń ma`nisi β itimallıq menen
℮β = ( T ()-δ ; T () +δ ) (27)
aralıqta ekenligin ańlatadı.
Sonı da aytıw kerek, (27) dagi ℮β - aralıq tosınarlı muǵdarlardan ibarat shegaralarǵa iye. Sol sebepli, β - itimallıqtı belgisiz θ parametrdiń anıq ma`nisi ℮β - aralıqta jatıw múmkinshiligı emes al, bálki ℮β - aralıq θ noqattı óz ishine alıw múmkinshiligı dep aytıw tuwrı boladı (2 - súwret).
℮β

• • •
T ()-δ θ T () +δ

2 - súwret.
Sonday eken, anıqlanǵan ℮β aralıǵı isenimlilik aralıǵı, β - itimal bolsa isenimlilik múmkinshiligı dep ataladı.

III. Juwmaq

Belgisiz parametr ushın jıljımaǵan bahalar kompleksin Ol menen belgileylik. Aldınǵı baplardan ekenin aytıw kerek, t. m. dispersiyasi sol t. m. dıń bahaları onıń matematikalıq kutilmasi átirapında qanshellilik tıǵız yamasa tarqaq jaylasqanlıǵınıń kriteryası boladı. Sol sebepli, tábiyiy, jıljımaǵan bahalardı olardıń dispersiyasiga kóre salıstırıwlaymız. Shama menen oylayıq, () hám () lar belgisiz parametr ushın jıljımaǵan bahalar bolsın, () hám (). Egerde sol statistikalar ushın
() < ()
munasábet atqarılsa, () baha () bahodan anıqlaw baha dep ataladı.
Sonday eken, bir parametr ushın bir neshe jıljımaǵan bahalar ámeldegi bolsa, onıń statistikalıq bahası retinde anıqlaw bahoni qabıllaw maqsetke muwapıq boladı. Joqarıda biz belgisiz matematikalıq kutilma ushın eki jıljımaǵan hám -lardan ibarat bolǵan bahalardı kórdik. Endi olardı salıstırıwlaylik. Dispersiyani esaplaw qaǵıydasına tiykarlanıp :
hám boladı.joqarıda keltirilgen salıstırıwlaw qaǵıydasına muwapıq, kórinip turıptı, olda baha bahoga salıstırǵanda anıqlaw boladı.
Biz aldınǵı paragraflarda statistikalıq bahalar hám olardıń ózgeshelikleri menen tanıstık. Statistikalıq bahalar qanday tabıladı? Mine sol sorawǵa juwap beremiz. Statistikalıq bahalar dúziwdiń eki usılın kórip shıǵamız.
Isenimlilik aralıǵı. Aldınǵı paragraflarda biz belgisiz parametrlerdiń noqatlıq statistikalıq bahaları menen tanıstık. Dúzilgen noqatlıq bahalar tańlanmaning anıq funksiyaları bolǵan t. m. bolıp, olar belgisiz parametrlerdiń túp ma`nisine jaqın bolǵan noqattı anıqlap beredi tek. Kóp máselelerde belgisiz parametrlerdi statistikalıq bahalaw menen birgelikte bul bahoning anıqlıǵın, isenimliligin tabıw talap etiledi.
Iv. Paydalanılǵan ádebiyatlar
1. Abdushukurov A. A. Xi-kvadrat kriteriysi: teoriyası hám qollanıwı, O'zMU, 2006.
2. Abdushukurov A. A., Azlarov T. A., Djamirzayev A. A. Itimallar teoriyası hám matematikalıq statistikadan mısal hám máseleler kompleksi. Tashkent «Universitet», 2003.
3. Azlarov T. A., Abdushukurov A. A. Itimallar teoriyası hám matematikalıq statistikadan Anglichan-orıssha -ózbekshe sózlik. Tashkent: «Universitet», 2005.
4. Abdushukurov A. A. Itimallar teoriyası. Lekciyalar teksti. Tashkent: «Universitet», 2000.
5. Bocharov P. P., Pechinkin A. V. Teoriya veroyatnostey. Matematicheskaya statistika.- 2-ye izd.- M.: FIZMATLIT, 2005.
6. Vatutin V. A., Ivchenko G. I., Medvedev Yu. I., Shistyakov V. P. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika v zadachax M.: 2003.
7. Ivchenko G. I., Medvedev Yu. I. Matematicheskaya statistika. M.: Visshaya shkola, 1984.
8. Kibzun A. I., Goryainova Ye. R., Naumov A. V., Sirotin A. N. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika. Bazoviy kurs s primerami i zadachami / Uchebn.posobie.- M.: FIZMATLIT, 2002.
9. Kibzun A. I., Pankov A. R., Sirotin A. N. Uchebnoe posobie po teorii veroyatnostey. — M.: Izd-vo MAI, 1993.
10. Kremer N. Sh. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika : Uchebnik dlya vuzov. 2-ye izd., pererab. i dop.- M.: YuNITIDANA, 2004.
11. http://www. lib. homelinex. org/math/;
12. http://www. eknigu. com/lib/mathematics/;