Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti matematika fakulteti

Matematik kutilma va dispersiyalar haqidagi statistik gipotezalarni tekshirish

Ikki bosh to’plamlar matematik kutilmalari va dispersiyalarining tengligini tekshirish masalalariini ko’raylik. Ikkala bosh to’plam normal taqsimlangan deb faraz qilamiz. Demak, birinchi bosh to’plamdan X⁽ⁿ⁾=(X₁,

…, X_n) , ikkinchi bosh to’plamdan esa Y^(m)=(Y₁, …, Y_m) tanlanmalari olingan bo’lsin.

1. 
   Matematik kutilmalar noma’lum bo‘lganida dispersiyalar tengligi haqidagi gipotezani tekshirish
   

x


X₁, X₂, …, X_n lar o’rta qiymati noma‘lum va dispersiyasi ² bo’lgan
normal taqsimlangan X t.m. kuzatilmalari va Y₁, Y₂, …, Y_m lar esa o’rta

y


qiymati noma‘lum va dispersiyasi ² bo’lgan normal taqsimlangan

2

=


t.m.ning kuzatilmalari bo’lsin. Asosiy gipoteza H₀ : _x  _y tasdiqdan,
alternativ gipoteza H₁ : ^{ 2} ≠  ² tasdiqdan iborat bo’lsin. Dispersiyalarining
^x y
eng yaxshi statistik baholarini ko’raylik:

 ²  ¹ _ⁿ _ X
 x_²

va  ²  ¹

^m _Y  y _²

^x n 1


i
i1
^{y } i

m 1
i1

F – statistika deb ataluvchi quyidagi statistikani kiritamiz



x
t.m. erkinlik darajalari n-1 va m-1 bo’lgan Snedekor taqsimotiga ega bo’ladi. Teorema(Snedekor). Agarda X o’rta qiymati θ₁ va dispersiyasi ²
bo’lgan normal qonun bo’yicha taqsimlangan t.m. va Y o’rta qiymati θ₂ va





y
dispersiyasi ² bo’lgan normal qonun bo’yicha taqsimlangan t.m.lar

bo’lsa, u holda

 ² ²

_y x
 ² ²
_x y
■
Snedekor taqsimotining zichlik funksiyasi

 ^{n  m}  _n

n _
f x  ^{ n  2}  ^


2 _{ }

1
^{x 2} , x  0

n,m
 _m 
 ⁿ 
 ^m 
nm

  _
^
_ 1  nx m ²

 ²   ² 

formula bilan aniqlanadi.

Alomatning kritik sohasi quyidagicha tiziladi. Agarda

2

2

1


^{ x}  C

yoki ^{ x  C}

(C <1<C )

2
1 2

2

2
y ^ y

bo’lsa, asosiy gipoteza H₀ ni rad etmoq lozim.

Yuqorida keltirilgan Snedekor teoremasidan foydalanib C₁ va C₂ – sonlarni aniqlaylik. Jadvaldan erkinlik darajasiga asosan Snedekor taqsimotining 1-α kvantili topiladi. Masalan, α = 0.15 va n = m = 9 bo’lsa

C₁ = 3.44,
C₁  _C
 0.29 .

1
2

2. 
   Matematik kutilmalar ma’lum bo‘lganida dispersiyalar tengligi haqidagi gipotezani tekshirish
   

2
Bu gipoteza oldingi gipotezaga o’xshash tekshiriladi. Ammo  _x va

2
^ y ^{dispersiyalar mos ravishda quyidagicha hisoblanadi:}

3. 
   Dispersiyalar noma’lum bo‘lganida matematik kutilmalar tengligi haqidagi gipotezani tekshirish
   

Faraz qilaylik, X va Y t.m.lar mos ravishda o’rta qiymatlari  _x va  _y ,

dispersiyalari
 ²   ²   ² bo’lgan normal qonun bo’yicha taqsimlangan

bo’lib,  ² , 
x y

x
va  _y lar noma‘lum bo’lsin. (X₁, …, X_n) X t.m.ning

tanlanmasi va (Y₁, …, Y_m) –Y t.m.ning tanlanmasi bo’lsin. Asosiy gipoteza

H₀ :
 _x =  _y
va alternativ gipoteza H₁ :
 _x ≠  _y
lardan biri o’rinli ekanini

tekshirish kerak. Tanlanmalar o’rta qiymatlari ayirmasi x  y
Shartga ko’ra
ni qaraylik.

 ^.
D x  y   ^{2 n  m}
n  m

Quyidagi statistikani kiritamiz:


t 




x  y _

Bu statistika erkinlik darajasi n + m – 2 bo’lgan Styudent taqsimotiga ega bo’ladi. U holda asosiy gipoteza H₀ o’rinli bo’lishini tekshiruvchi statistik

alomat quyidagicha tuziladi: agarda ^{t  t n  m  2} bo’lsa gipoteza H₀
gipoteza rad etiladi. Bu yerda ^t_ ^{n  m  2} qiymatdorlik darajasi α –
bo’lgan Styudent taqsimotining kritik nuqtasidir.


Dispersiyalar ma’lum bolganida o‘rta qiymatlar tengligi haqidagi gipotezani tekshirish




Endi o’rta qiymatlar tengligi haqidagi gipotezani dispersiyalar ma‘lum bo’lganida tekshiruvchi alomat ko’rib o’tamiz. Bu holda
_{t } x  y

t.m. standart normal qonunga ega. Shuning uchun agarda
t  U_
bo’lsa H₀

:  _x = _y asosiy gipoteza rad etiladi. Bu yerda U_α– qiymatdorlik darajasi α
(0<α<1) bo’lgan standart normal qonun kritik nuqtasidir.

Xulosa

Еhtimollar nazariyasiga umumiy ta’rif berilganda uni «berilgan tasodifiy hodisalarning еhtimolligiga kо’ra boshqa tasodifiy hodisalarning еhtimolligini topish» deb ta’riflaydilar. Bu ta’rif shuni faraz qiladiki, еhtimolligi oldindan ma’lum bо’lgan dastlabki hodisalar mavjud. Ularning еhtimolligi qanday topilgan? Bu еhtimolliklarni kо’rilayotgan masalani keltirib chiqargan fan beradi. Bunda asosan matematik mushohadalar еmas, balki masalani yuzaga keltirgan fan mushohadalari asosiy rol о’ynaydi. Masalan, tanga tashlash tajribasini olsak, gerb yoki reshka tushishi tajribalar soni etarlicha katta bо’lganda teng imkoniyatga еga bо’ladi. Bu fakt shunga asoslanganki, tanga simmetrik, materiali bir jinsli va uning qalinligi etarlicha kam bо’lganligidan u qirrasiga turmaydi. Shuning uchun kо’p yuz yillik tajribalarga asoslanib, gerb tushishi bilan reshka tushishi miqdori kо’p sonli tajribalarda taxminan teng bо’ladi deyishga asos bor. Bu yerda matematik mushohoda еmas, tanganing fizik xususiyatlari va kо’p yuz yillik tajribalar natijasi rol о’ynaydi. Murakkab еhtimollik masalalari kо’rilayotgan, dastlabki еlementar hodisalarning еhtimolligi berilgan bо’lishi kerak. Har bir aniq holda bu еhtimolliklar turlicha, shu masalani keltirib chiqargan fan mushohadalariga tayanib beriladi.

Foydalanilgan adabiyotlar

1 . Б.А.Севастьянов,Курс теории вероятностей и математической статистики , М, 《Наука 》, 1982 .

2. Г Крамер , Математические методы статистики , М, Ми р , 1975 .
3. И.Н.Коваленко , А.А.Филиппова, Теория вероятностей и математическая статистика , М. , 《Высшаяшкол а 》, 1 9 7 3 .
4 . С.Х. Сиражиддинов , М. М.Маматов , Эхтимоллар назарияси ва математик статистика , Т., 《Уқитувчи 》, 1980
5 . Е.У. Соатов , Олий математика , 2 - жилд , Т . ,
《Уқитувчи 》, 1994
6 . Б.Орымбетов , У .Размеров , Тосыннанлы шамалар
системасы хәм болистириүлердиң параметирлериниң статистикалық базалары, Нокис , 1989 .
7 .Б.Г. Володин , М. П . Гарнирид р . Сборник задач потеори и вереоятностей , математической статистикеи теории случайных
функция , М. , 《Наука 》, 1970 .

https://arxiv.org/abs/2001.04769

http://library.ziyonet.uz/uzc/book/90651
http://reja.tdpu.uz/shaxsiyreja/content/615/html/64494/8-ma'ruza.htm
https://uz.wikipedia.org/wiki/Matematik_statistika