Бинарные и унарные отношения. Решение задач по отношениям между множествами

ЗАДАНИЕ 2. Проверить, является ли отношением эквивалентности на множестве всех прямых на плоскости отношение «непересекающихся прямых».
РЕШЕНИЕ. Формализуем задачу. Введем множество X – множество всех прямых на плоскости и отношение R =∈ =∈ {, : xy X x y xy X x y не пересекает } {, : параллельна }. Это отношение будет отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Проверим наличие этих свойств. 1) R рефлексивно, так как для любой прямой x∈ X справедливо xRx (считаем, что прямая параллельна самой себе). 2) R симметрично, так как для любых прямых x, y X ∈ выполняется xRy yRx ⇒ (так как если x параллельна y , то и y параллельна x ). 3) R транзитивно, так как для любых прямых ,, x yz X ∈ выполняется , xRy yRz xRz ⇒ (так как две прямые ( x и z ), параллельные третьей ( y ), параллельны). Таким образом, R – отношение эквивалентности.


ЗАДАНИЕ 3. Найти область определения, область значений отношения Р. Является ли отношение Р рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. 2 2 2 P Z x y P x y ⊆ < >∈ ⇔ + = , , 1.
РЕШЕНИЕ. Так как отношение определено на множестве целых точек плоскости ( 2 P Z ⊆ ), можно легко представить его графически. Представляем на плоскости окружность 2 2 x y + =1 радиуса 1 с центром в начале координат. Выделяем целые точки, которые на ней лежат. Это, очевидно: P = < > < > < − > < − > { 0,1 , 1,0 , 0, 1 , 1,0 } . Область определения отношения P тогда равна D P( ) = −{ 1;0;1} . Область значения отношения P равна E P( ) = −{ 1;0;1} . Отношение не является рефлексивным, так как ни для каких целых x Z ∈ не выполняется, что 2 2 x x + =1, так как в таком случае 1 2 x Z = ± ∉ . Отношение является симметричным, так как для любых x y Z , ∈ , таких что < >∈ x y P , (то есть 2 2 x y + =1), верно, что < >∈ y x P , (то есть 2 2 y x + =1). Отношение не является антисимметричным. Отношение не является транзитивным, так как для любых x y t Z , , ∈ , таких что < >∈ < >∈ x y P y t P , , , (то есть 2 2 2 2 x y y t + = + = 1, 1), не следует, что < >∈ x t P , (то есть 2 2 x t + = 1). Действительно, если 2 2 2 2 x y y t + = + = 1, 1, то отсюда 2 2 x t = , поэтому 2 2 2 1 2 1, 2 x t t t Z + = = = ± ∉ . Также эти свойства отношения можно было получить, опираясь на явный вид отношения: P = < > < > < − > < − > { 0,1 , 1,0 , 0, 1 , 1,0 } .


ЗАДАНИЕ 4.Для бинарного отношения ρ между элементами множеств
A = {1,2,3,4,5}, B = {{1}, {1,2}, {2,5}, {3}}, aρX ⇔ a∉X
найдите область определения Dρ и область значений Rρ.


Решение. Определим
Dρ : Dρ = {a | ∃X (aρX )}
Такое множество X можно подобрать для каждого элемента a , кроме 4. Иными словами:
Dρ = { 5,3,2,1 }
Определим
Rρ : Rρ = {X | ∃ (aa ρX )} Такой элемент a можно подобрать для каждого множества X . Иными словами:
Rρ = B

Ответ. Dρ = { 5,3,2,1 }; Rρ = B .