Случайной величиной

1. 
   Случайная величина — переменная, значения которой представляют собой численные исходы некоторого случайного феномена или эксперимента. Другими словами, это численное выражение результата случайного события. Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей.
   
2. 
   Случайной величиной называется такая величина, которая случайно принимает какое-то значение из множества возможных значений.
   

Случайные величины обозначаются: X, Y, Z,... Значения, которые они принимают: x,y,z. 
По множеству возможных значений различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Дискретными называются случайные величины, значениями которых являются только отдельные точки числовой оси. (Число их может быть как конечно, так и бесконечно).

3. 
   Нормальное распределение или распределение Гаусса НСВ
   
4. 
   Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, – распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике.
   
5. 
   
6. 
   Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.
   
7. 
   
8. 
   Плотность распределения нормальной случайной величины X имеет вид:
   
9. 
   
10. 
    f(x)=1σ2π−−√exp(−(x−a)22σ2).
    
11. 
    При a=0 и σ=1 эта функция принимает вид:
    
12. 
    
13. 
    φ(x)=12π−−√e−x2/2.
    
14. 
    Скачать таблицу для функции φ(x)
    
15. 
    
16. 
    Числовые характеристики для нормального распределения:
    
17. 
    
18. 
    M(X)=a,D(X)=σ2.
    
19. 
    Биномиальное распределение ДСВ
    
20. 
    Пусть дискретная случайная величина X - количество "успехов" в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность "успеха" в каждом из них равна p ("неуспеха" - q=1−p).
    
21. 
    
22. 
    Закон распределения X имеет вид:
    
23. 
    
24. 
    xk 0 1 ... k ... n
    
25. 
    pk qn n⋅p⋅qn−1 Ckn⋅pk⋅qn−k pn
    
26. 
    Здесь вероятности находятся по формуле Бернулли:
    
27. 
    
28. 
    P(X=k)=Ckn⋅pk⋅(1−p)n−k=Ckn⋅pk⋅qn−k,k=0,1,2,...,n.
    
29. 
    Числовые характеристики биномиального распределения:
    
30. 
    
31. 
    M(X)=np,D(X)=npq,σ(X)=npq−−−√.
    

4. Доказательство свойства (F2). Заметим сначала, что существование пределов в свойствах (F2), (F3) вытекает из монотонности и ограниченности функции . Остается лишь доказать равенства

, и .

Для этого в каждом случае достаточно найти предел по какой-нибудь подпоследовательности , так как существование предела влечёт совпадение всех частичных пределов.

Докажем, что при . Рассмотрим вложенную убывающую последовательность событий :

Пересечение всех этих событий состоит из тех и только тех , для которых меньше любого вещественного числа. Но для любого элементарного исхода значение вещественно, и не может быть меньше всех вещественных чисел. Иначе говоря, пересечение событий не содержит элементарных исходов, т.е. . По свойству непрерывности меры, при .

5. Ряды распределения одна из разновидностей статистических рядов (кроме них в статистике используются ряды динамики), используются для анализа данных о явлениях общественной жизни. Построение вариационных рядов вполне посильная задача для каждого. Однако есть правила, которые необходимо помнить.

Как построить дискретный вариационный ряд распределения

Пример 1. Имеются данные о количестве детей в 20 обследованных семьях. Построить дискретный вариационный ряд распределения семей по числу детей.

0 1 2 3 1

2 1 2 1 0
4 3 2 1 1
1 0 1 0 2

6. Нормальное распределение или распределение Гаусса НСВ

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, – распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике.

Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.

Плотность распределения нормальной случайной величины X имеет вид:

f(x)=1σ2π−−√exp(−(x−a)22σ2).

При a=0 и σ=1 эта функция принимает вид:

φ(x)=12π−−√e−x2/2.

Скачать таблицу для функции φ(x)

Числовые характеристики для нормального распределения:

M(X)=a,D(X)=σ2.

7. Биномиальное распределение ДСВ

Пусть дискретная случайная величина X - количество "успехов" в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность "успеха" в каждом из них равна p ("неуспеха" - q=1−p).

Закон распределения X имеет вид:

xk 0 1 ... k ... n
pk qn n⋅p⋅qn−1 Ckn⋅pk⋅qn−k pn
Здесь вероятности находятся по формуле Бернулли:

P(X=k)=Ckn⋅pk⋅(1−p)n−k=Ckn⋅pk⋅qn−k,k=0,1,2,...,n.

Числовые характеристики биномиального распределения:

M(X)=np,D(X)=npq,σ(X)=npq−−−√.

8.