Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов

Свойства биномиальных коэффициентов.

Для коэффициентов бинома Ньютона справедливы следующие свойства:

• 
  коэффициенты, равноудаленные от начала и конца разложения, равны между собой  , p=0,1,2,…,n;
  
• 
  ;
  
• 
  сумма биномиальных коэффициентов равна числу 2, возведенному в степень, равную показателю степени бинома Ньютона:  ;
  
• 
  сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах.
  

Первые два свойства являются свойствами числа сочетаний.

1. 
   Проверим справедливость разложения для какого-нибудь n, допустим, для n = 3.
   
   

Получили верное равенство.

2. 
   Предположим, что равенство верно для n-1, то есть, что справедливо равенство  .
   
3. 
   Докажем, что верно равенство  , основываясь на предположении второго пункта.
   

Поехали!

Раскрываем скобки

Группируем слагаемые

Так как  и  , то  ; так как  и  , то  ; более того, используя свойство сочетаний  , получим

Подставив эти результаты в полученное выше равенство

придем к формуле бинома Ньютона  .
Этим доказана формула бинома Ньютона.

С натуральным nn формула Бинома Ньютона принимает вид(a+b)n=C0n⋅an+C1n⋅an−1⋅b+C2n⋅an−2⋅b2+...+Cn−1n⋅a⋅bn−1+Cnn⋅bna+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+...+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn, где имеем, чтоCkn=(n)!(k)!⋅(n−k)!=n(n−1)⋅(n−2)⋅...⋅(n−(k−1))(k)!Cnk=(n)!(k)!·(n-k)!=n(n-1)·(n-2)·...·(n-(k-1))(k)!- биномиальные коэффициенты, где есть nn по kk, k=0,1,2,…,nk=0,1,2,…,n, а "!""!" является знаком факториала.

В формуле сокращенного умножения(a+b)2=C02⋅a2+C12⋅a1⋅b+C22⋅b2=a2+2ab+b2a+b2=C20·a2+C21·a1·b+C22·b2=a2+2ab+b2
просматривается формула бинома Ньютона, так как при n=2n=2 является его частным случаем.
Первая часть бинома называют разложением (a+b)n(a+b)n, а Сkn⋅an−k⋅bkСnk·an-k·bk - (k+1)(k+1)-ым членом разложения, где k=0,1,2, …,nk=0,1,2, …,n.